御制历象考成后编 - 第 19 页/共 63 页

九十度积　　　　七八四六六○九○二五九四六七 　　一度积　　　　　　　八七一八四五四四七三二七 　　一分积　　　　　　　　一四五三○七五七四五五 　　一秒积　　　　　　　　　　二四二一七九二九一太阴本天心距地及最高行随时不同 　　太阴之行有迟疾由于本天有高卑其説一为不同心天一为本轮与太阳同西人第谷以前定本轮半径为本天半径千万分之八十七万即不同心天之两心差其最大迟疾差为四度五十八分二十七秒第谷用其法惟中距与实测合最高前后则失之小最卑前后则失之大因将本轮半径三分之存其二分五十四万为本轮半径取其一分二十七万为均轮半径其高卑之数迟疾之差虽各有不同而其距地之有定数最高之有常行则一也自刻白尔创为撱圆之法専主不同心天而不同心天之两心差及最高行又随时不同惟日当月天中距时最大迟疾差为四度五十七分五十七秒两心差为四三三一九○倍差即为八十六万有竒与旧数相去不逺若日当月天最高或当月天最卑则最大迟疾差为七度三十九分三十三秒两心差为六六七八二○日厯月天高卑而后两心差渐小中距而后两心差渐大日距月天高卑前后四十五度两心差适中又日当月天高卑时最高之行常速至高卑后四十五度而止日当月天中距时最高之行常迟至中距后四十五度而止与日月之盈缩迟疾相似而周转之数倍之是则太阴本天之心必更有一均轮以消息乎两心差及最高行之数因以地心为心以两心差最大最小两数相加折半得五五○五○五为最高本轮半径相减折半得一一七三一五为最高均轮半径均轮心循本轮周右旋行最高平行度本天心循均轮周右旋行日距月最高之倍度用切线分外角法求得地心之角为最高均数即最高行之差求得两心相距之边为本天心距地数即本时之两心差也今考其表中所载其最大迟疾差不在中距最高前后九十度多最卑前后九十度少与上编小轮之理同其求两心差则在本天高卑之适中而亦不正九十度与本编日躔之理同而其测量诸均数则必在高卑中距或高卑中距之间其数乃整齐而易辨要之测得高卑中距之差则两心差之数巳见而求得两心差之数则高卑中距之差悉合矣 　　如甲为地心乙为太阴本天心丙为最高丁为最卑戊己为中距【戊己乃实行之中距非平行之中距因朔望相对故借实行以明之】设日天最高当月天最高丙太阳在最高后中距戊太阴亦在戊合朔测得太阴实行比平行少四度四十五分四十一秒太阴在最高前中距己望测得太阴实行比平行多五度九分二十一秒又设太阳在最高前中距己太隂亦在己合朔测得太阴实行比平行多四度四十五分四十一秒太阴在最高后中距戊望测得太隂实行比平行少五度九分二十一秒两测太隂在戊实行皆比平行为少太阴在己实行皆比平行为多是知太阴在最高后则减最高前则加为初均之故矣然太阳在戊则少数小多数大太阳在己则少数大多数小是必另有一均因太阳在戊而加在己而减者若不因太阳之故则太隂在戊为减在己为加其数必相等也于是以大小两数相减折半得一十一分五十秒别为一平均以减大数加小数得四度五十七分三十一秒为日距月天最高前后九十度时月距最高前后九十度之初均数最高后为减最高前为加也 　　又设日天最高当月天最高后中距戊太阳在最高戊太阴在最高后中距戊合朔测得太阴实行比平行少四度五十九分五十六秒太阴在最高前中距己望测得太阴实行比平行多四度五十五分六秒又设日天最高当月天最高前中距己太阳在最高己太阴在最高前中距己合朔测得太阴实行比平行多四度五十九分五十六秒太阴在最高后中距戊望测得太阴实行比平行少四度五十五分六秒两测太阴在戊实行皆比平行为少太阴在己实行皆比平行为多是知太阴在最高后则减最高前则加为初均之故矣然日天最高在戊月天最高距日天最高二百七十度则少数大多数小日天最高在己月天最高距日天最高九十度则多数大少数小是必另有一均因月高距日高九十度而加二百七十度而减者于是以大小两数相减折半得二分二十五秒别为三均以减大数加小数得四度五十七分三十一秒为日距月天最高前后九十度时月距最高前后九十度之初均数最高后为减最高前为加与前测合 　　又设日天最高当月天最高丙太阳在最高丙太阴在中距戊上测得太阴实行比平行少七度三十五分三十四秒太阴在中距己下测得太阴实行比平行多七度三十五分三十四秒又设日天最高当月天最卑丁太阳在最高丁太阴在中距己上测得太阴实行比平行多七度四十分二十四秒太阴在中距戊下测得太阴实行比平行少七度四十分二十四秒两测太阴在戊实行皆比平行为少太阴在己实行皆比平行为多是知太阴在最高后则减最高前则加为初均之故矣然上则少数小多数大下则少数大多数小是必另有一均因上而加下而减者于是以大小两数相减折半得二分二十五秒别为三均以减大数加小数得七度三十七分五十九秒为日在月天最高最卑时月距最高前后九十度之初均数最高后为减最高前为加也 　　又设日天最高在庚月天最高丙距日天最高三百一十五度太阳在庚距月天最高四十五度太阴在戊距最高九十度而距日四十五度为朔与上之间测得太阴实行比平行少五度五十七分四十五秒若日天最高在辛月天最高距日天最高二百二十五度太阳在辛距月天最高一百三十五度太阴仍在戊距月天最高九十度而距日三百一十五度为下与朔之间测得太隂实行比平行少六度五十四分四十九秒又设日天最高在壬月天最高距日天最高一百三十五度太阳在壬距月天最卑四十五度太隂在己距最高前九十度而距日四十五度为朔与上之间测得太隂实行比平行多六度五十四分四十九秒若日天最高在癸月天最高距日天最高四十五度太阳在癸距月天最高三百一十五度太隂仍在己距最高前九十度而距日三百一十五度为下与朔之间测得太隂实行比平行多五度五十七分四十五秒两测太阴在戊实行皆比平行为少太阴在己实行皆比平行为多是知太阴在最高后则减最高前则加为初均之故矣而朔与上之间则少数小多数大下与朔之间则少数大多数小是必另有一均因朔后而加朔前而减者而所大所小之数又不及二均加减之多是必又有别均加减于其间而此特为其加减之较于是以大小两数相减折半得二十八分三十二秒为二均与二平均末均加减之较【查朔后四十五度二均应加三十三分一十四秒而日距月天高卑后四十五度二平均应减三分三十四秒又月高距日高在四象限之正中朔后四十五度时末均应减一分八秒故以二十八分三十二秒为加减之较又查朔前四十五度二均应减三十三分一十四秒而日距月天高卑前四十五度二平均应加三分三十四秒又月高距日高在四象限之正中朔前四十五度时末均应加一分八秒故亦以二十八分三十二秒为加减之较详后各篇】以减大数加小数得六度二十六分一十七秒为日距月天高卑前后四十五度时月距最高前后九十度之初均数最高后为减最高前为加也 　　前测均数之大小皆在月距最高前后九十度时而测两心差之大小则必在本天高卑之适中其平引【即距最高之平行度】之多于九十度与实引【即距最高之实行度】之少于九十度或平引之少于九十度与实引之多于九十度者皆适相等【见日躔求两心差篇】如甲为地心乙为本天心甲乙为两心差甲子为倍差丙丑丁寅撱圆为月本天丙为最高丁为最卑丑寅为中距【丑寅为本天高卑之适中丙丑甲分撱圆面积为平引九十度多丑甲丙角为实引九十度少然相去不逺故亦名中距以便与日天较算也】乙丁为大半径一千万乙丑为小半径甲丑子丑皆与乙丁等设日天最高当月天最高前中距寅太阳在最高寅太阴在最高后中距丑望其丙丑甲分撱圆面积九十二度二十八分五十七秒五十八微半为平引其大于九十度之二度二十八分五十七秒五十八微半即丑甲乙勾股积与乙丑甲角度等【与日躔求两心差同但日躔从最卑起算月离从最高起算耳】此时测得太阴实行在最高后八十七度三十三分二十七秒一微半减此时应加之三均二分二十五秒【此时三均应加二分二十五秒若不因三均则实行应少二分二十五秒故减】余八十七度三十一分二秒一微半为实引其小于九十度者亦二度二十八分五十七秒五十八微半即丑甲卯角与乙丑甲角等亦与子丑乙角等平行实行之差四度五十七分五十五秒五十七微即甲丑子角折半得二度二十八分五十七秒五十八微半即乙丑甲角甲丑既为半径一千万则甲乙即乙丑甲角之正检表得四三三一九○即日在月天中距时之两心差也 　　又设日天最高当月天最高丙太阳在最高丙太阴在最高后中距丑上其丙丑甲分撱圆面积九十三度四十九分四十五秒二微半为平引其大于九十度之三度四十九分四十五秒二微半即丑甲乙勾股积与乙丑甲角度等此时测得实行在最高后八十六度一十二分三十九秒五十七微半减此时应加之三均二分二十五秒【同前】余八十六度一十分一十四秒五十七微半为实引其小于九十度者亦三度四十九分四十五秒二微半即丑甲卯角与乙丑甲角等亦与子丑乙角等平行实行之差七度三十九分三十秒五微即甲丑子角折半得三度四十九分四十五秒二微半即乙丑甲角检正得六六七八二○即日在月天最高最卑时之两心差也 　　前测日在月天高卑两心差大日在月天中距两心差小又日在月天高卑最高行速日在月天中距最高行迟用小轮之法算之如甲为地心乙丙丁戊为最高本轮甲乙半径为五五○五○五己庚辛壬为最高均轮乙己半径为一一七三一五均轮心循本轮周右旋自乙而丙而丁而戊行最高平行度本天心循均轮周右旋自己而庚而辛而壬行日距月最高之倍度本天心在均轮上半周顺轮心行故最高行速距地心逺故两心差大本天心在均轮下半周逆轮心行故最高行迟距地心近故两心差小日在月天最高或在月天最卑本天心皆在己甲己六六七八二○为最大两心差日在月天两中距本天心皆在辛甲辛四三三一九○为最小两心差本天最高与甲乙合为一线无最高均数如日距月最高四十五度则本天心自己行九十度至庚本天最高必对甲庚线之上用甲乙庚三角形求得甲角一十二度一分四十八秒为最高均数是为最大之加差以加于最高平行而得最高实行求得甲庚邉五六二八六六为本天心距地数即本时之两心差也【此乙角为直角可用勾股法亦可用切线分外角法若乙角非直角则用切线分外角法】如日距月最高一百三十五度则本天心自己行二百七十度至壬本天最高必对甲壬线之上用甲乙壬三角形求得甲角为最高均数与乙甲庚角等甲壬两心差亦与甲庚等但甲角为最大之减差以减最高平行而得最高实行也既得最高实行与两心差则以最高实行与太阴平行相减得平引而初均数可求矣 　　求初均数 　　新法算书用本轮均轮推初均数日躔月离数虽不同而其法则一也自刻白尔以平行为撱圆面积求实行用意甚精而推算无术噶西尼等立借角求角之法亦极补凑之妙矣然日天两心差为本天半径千万分之一十六万余所差之最大者不过百分秒之六十六【见日躔撱圆角度与面积相求篇】月天两心差之最大者为本天半径千万分之六十六万余若仍用日躔之法则其差之最大者即至四十秒虽于数不为踈而于法则犹未宻故又立用两三角形之法先以半径为一边两心差为一边太阴平引与半周相减【不及半周者与半周相减过半周者减半周】为所夹之角求得对两心差之小角与前所夹之角相加复为所夹之角仍用半径与两心差为两边求得对半径之大角为平圆引数次以大半径为一率小半径为二率平圆引数之正切线为三率求得四率查正切线得实引与平引相减余为初均数依日躔借积求积法细推之其差之最大者不过一十秒较借角求角之法为密云 　　如图甲为地心乙为本天 　　心甲乙为最大两心差六 　　六七八二○丙丁戊己为 　　月本天乙丙为大半径一 　　千万与乙庚等乙丁为小 　　半径九九七七六七五【小余 　　九○】设太阴平引距最高后 　　九十度用日躔借角求角 　　法依甲乙之分截乙丙线 　　于辛取丙辛壬角为九十 　　度自地心甲作甲壬线命 　　甲壬丙分撱圆面积为九 　　十度与乙丁丙面积等亦 　　与丙乙丁角度等用甲辛 　　壬三角形丙辛壬外角为 　　平引九十度甲辛为倍两 　　心差一三三五六四○甲 　　壬与辛壬共为二千万求 　　得壬角七度三十八分二 　　十八秒【小余七○】为初均数即 　　得壬甲丙角八十二度二 　　十一分三十一秒【小余三○】为 　　实引试依日躔借积求积 　　法细推之辛壬边为九九 　　五五四○一【小余六四】甲壬边 　　为一○○四四五九八【小余 　　三六】甲壬丙分撱圆面积为 　　七八三五四五六三一八 　　四七七三与最大两心差 　　之撱圆九十度积七八三 　　六四四八三二一一一四 　　二相减余九九二○○二 　　六三六九为甲壬癸积即 　　甲壬丙积小于九十度积 　　之较故知平引距最高九 　　十度时太阴必在壬防之 　　后如癸乃依最大两心差 　　中率半径九九八八八三 　　二截甲壬线于子截甲癸 　　线于丑成甲子丑分平圆 　　面与甲壬癸为同式形【甲壬 　　长于甲癸然为数无多故为同式形】以甲壬 　　自乗得一○○八九三九 　　五六二一三七一五为一 　　率甲子中率自乗方九九 　　七七六七五九○四一一 　　七二为二率甲壬癸积较 　　为三率求得四率九八一 　　○一八二○七五为甲子 　　丑分平圆面积以最大两 　　心差之一秒积二四一八 　　六五六八九除之得四十 　　秒【小余五六】为子甲丑角与壬 　　甲丙角相加得八十二度 　　二十二分一十一秒【小余八六】为癸甲丙角即平引距最 　　高后九十度之实引与平 　　引九十度相减余七度三 　　十七分四十八秒【小余一四】即 　　平引距最高后九十度时 　　之初均数前用日躔借角 　　求角法所得实引壬甲丙 　　角比细推少四十秒盖乙 　　丁丙为撱圆面四分之一 　　其积为九十度今命太隂 　　在壬以甲壬丙分撱圆积 　　为与乙丁丙积等其实甲 　　壬丙积比乙丁丙积多一 　　甲乙寅形少一寅壬丁形 　　而甲乙寅积仅与寅壬卯 　　积等以多补少尚少壬卯 　　丁弧矢积故推得壬甲丙