御制历象考成后编 - 第 21 页/共 63 页

壬亥丁一小弧矢积故实 　　引止少一十秒且此之平 　　引为九十度乃差之最大 　　者九十度前后愈近最高 　　最卑其差愈少故推太阴 　　初均用此法也 　　依前法设平引九十度甲 　　乙为最小两心差四三三 　　一九○求得乙甲午角八 　　十五度二分二十九秒为 　　实引与平引九十度相减 　　余四度五十七分三十一 　　秒为最小两心差平引九 　　十度之初均数又设甲乙 　　为中数两心差五五○五 　　○五求得乙甲午角八十 　　三度四十二分一十秒为 　　实引与平引九十度相减 　　余六度一十七分五十秒 　　为中数两心差平引九十 　　度之初均数如设平引九 　　十度日距月最高四十五 　　度两心差为五六二八六 　　六求初均数则以最大两 　　心差与中数两心差相减 　　余一一七三一五为一率最 　　大两心差之初均数与中数 　　两心差之初均数相减余一 　　度二十分八秒化作四千八 　　百零八秒为二率今有之两 　　心差与中数两心差相减余 　　一二三六一为三率求得四 　　率五百零七秒収作八分二 　　十七秒与中数两心差之初 　　均数相加得六度二十六分 　　一十七秒为平引九十度两 　　心差五六二八六六之初均 　　数盖均数因两心差为大小 　　故初均大小之差即用两心 　　差之较为比例若以甲乙两 　　心差五六二八六六用两三 　　角形法算 　　之则得乙甲午角八十三度 　　三十三分四十三秒为实引 　　与平引九十度相减余六度 　　二十六分一十七秒为初均 　　数与用两心差之较为比例 　　所得数同故初均表止列大 　　中小三限为省算也余仿此 　　求一平均 　　新法算书推歩朔望惟用初均数若月在本天最高或在本天最卑则平行与实行合为一线并无初均数矣刻白尔以来奈端等屡加测騐谓月在最高最卑虽无初均数而日在最卑后则太阴平行常迟最高平行正交平行常速日在最高后太阴平行常速最高平行正交平行常迟因定日在中距太阴平行差一十一分五十秒最高平行差一十九分五十六秒正交平行差九分三十秒其间逐度之差皆以太阳中距之均数与太阳逐度之均数为比例名曰一平均盖太阳平行自子正随天左旋复至子正是为一日月距日一日顺行一十二度余最高一日顺行六分余正交一日退行三分余皆随太阳平行为行度故为平行而太阴二均生于月距日之倍度最高均生于日距月最高之倍度正交均生于日距正交之倍度皆以太阳实行立算太阳实行有盈缩则诸行亦随之有进退此因太阳右旋之盈缩而差者也又太阳右旋加多一度则左旋之时刻差早一度诸行亦随之而差早一度之行太阳右旋减少一度则左旋之时刻差迟一度诸行亦随之而差迟一度之行此因太阳随天左旋之迟早而差者也由是二者故有一平均之法然太阴一平均则惟因左旋时差之故最高平均与正交平均则兼左旋右旋两差之故焉以太阴一平均言之太阴二均生于月距日之倍度而月距日之度乃置太阴实行减太阳实行而得之太阳右旋之度差而多则月距日之度反差而少太阳右旋之度差而少则月距日之度反差而多是月距日之行不随太阳右旋之盈缩为进退也惟是太阳左旋时刻差一度倍月距日已差二度太阴又随之差二度则平行即差四度时差行差早者应减差迟者应加然差早一度者太阳未至子正一度应加一度时差行差迟一度者太阳已过子正一度应减一度时差行是差三倍时差行也故以一小时六十分为一率一小时月距日平行一千八百二十 　　八秒六二为　　　　　　　　　　　　　　　　　【十三秒变时得七分四十】二率太阳中距均数一度【每度变为四分十五分变为一分十五秒变为一秒】五十六分一五秒为三率求得四率二百三十六秒二○用三因之得七百零八秒六○収为一十一分四十九秒为太阴一平均太阳均数加者为减减者为加是为太阳实行至子正时之太阴平行度也以最高平均与正交平均言之最高均生于日距月最高之倍度正交均生于日距正交之倍度而日距月最高与日距正交之度乃置太阳实行减月最高与正交而得之太阳右旋之度加而多则相距之度亦多太阳右旋之度减而少则相距之度亦少是最高与正交之行固随太阳右旋之盈缩为进退也又太阳左旋之时刻差一度日距月最高与日距正交之倍度巳差二度最高与正交又随之差二度则最高与正交即差四度时差行差早者应加差迟者应减且最高均与正交均皆随太阳行相距之倍度太阳实行差一度则最高与正交亦随之差一度之行太阳又加倍差一度则最高与正交又随之差半度之行是右旋左旋之差皆为一倍有半而未至子正应加巳过子正应减之时差行又其在外者也故以一日太阳平行三千五百四十八秒三三为一率一日最高平行四百零一秒○七为二率太阳中距均数一度五十六分一十三秒为三率求得四率七百八十八秒一六加四倍时差最高行八秒用一五因之再加最高时差行二秒得一千一百九十六秒二四収作一十九分五十六秒为最高一平均又以一日太阳平行为一率一日正交平行一百九十秒六三为二率太阳中距均数为三率求得四率三百七十四秒六二加四倍时差正交行四秒用一五因之再加正交时差行一秒得五百六十八秒九三収作九分二十九秒为正交一平均最高顺行故加减与太阳均数同正交退行故加减与太阳均数相反是为太阳实行至子正时之最高平行与正交平行也最高一平均与旧表合太阴一平均正交一平均皆少一秒今仍用旧数既得太阳中距之平均而逐度之平均皆由太阳均数立算故以太阳中距均数与中距平均之比即同于太阳逐度均数与逐度平均之比也测法附后 　　如甲为地心乙为日本天心丙丁戊己为日本天丙为最高戊为最卑丁己为中距设月天最高当日天最高丙太阳在中距丁太阴在最卑戊上测得太阴实行比平行多一十四分一十五秒太阴在最高丙下测得太阴实行比平行多九分二十五秒又设太阳在中距己太阴在最高丙上测得太阴实行比平行少九分二十五秒太阴在最卑戊下测得太阴实行比平行少一十四分一十五秒两测太阳在丁实行皆比平行为多太阳在己实行皆比平行为少是知太阳在最高后则加在最卑后则减为一平均之故矣而上则多数大少数小下则多数小少数大是必另有一均因月距日九十度而加二百七十度而减者于是以大小两数相减折半得二分二十五秒别为三均以减大数加小数得一十一分五十秒为太阳中距一平均最高后为加最卑后为减也 　　又设太阳在丁月天最高在丁距日天最高后九十度太隂在丁合朔测得太隂实行比平行多一十四分一十五秒月天最高在己距日天最高后二百七十度太隂在己望测得太隂实行比平行多九分二十五秒又设太阳在己月天最高在己距日天最高后二百七十度太隂在己合朔测得太阴实行比平行少一十四分一十五秒月天最高在丁距日天最高后九十度太阴在丁望测得太隂实行比平行少九分二十五秒两测太阳在丁实行皆比平行为多太阳在己实行皆比平行为少是知太阳在最高后则加在最卑后则减为一平均之故矣然月天最高在丁距日天最高后九十度则多数大少数小月天最高在己距日天最高后二百七十度则多数小少数大是必另有一均因月天最高距日天最高九十度而加二百七十度而减者于是以大小两数相减折半得二分二十五秒别为三均以减大数加小数得一十一分五十秒为太阳中距一平均最高后为加最卑后为减也 　　又设太阳在庚距最高后四十五度月天最高在庚太隂在庚合朔测得太隂实行比平行多九分五十八秒月天最高在辛太隂在辛望测得太隂实行比平行多六分三十二秒又设太阳在壬距最高前四十五度月天最高在壬太隂在壬合朔测得太隂实行比平行少九分五十八秒月天最高在癸太隂在癸望测得太隂实行比平行少六分三十二秒两测太阳距最高前后皆四十五度而在最高后庚太隂实行皆比平行为多在最高前壬太隂实行皆比平行为少是知太阳在最高后则加在最高前则减为一平均之故矣然月天最高在庚距日天最高后四十五度则多数大月天最高在辛距日天最高后二百二十五度则多数小月天最高在壬距日天最高后三百一十五度则少数大月天最高在癸距日天最高后一百三十五度则少数小是必另有一均因月天最高距日天最高半周内而加半周外而减者于是以大小两数相减折半得一分四十三秒别为三均以减大数加小数得八分一十五秒为太阳距最高前后四十五度之一平均最高后为加最高前为减也查太阳最高前后四十五度之均数为一度二十分五十七秒以太阳中距之均数一度五十六分一十三秒与中距一平均一十一分五十秒之比同于最高前后四十五度之均数一度二十分五十七秒与四十五度之一平均八分一十五秒之比是知逐度太隂一平均当以逐度太阳均数为比例也 　　又设太阳在最高后中距丁月天最高在丁太隂在最卑巳望正当交防此时应无初均惟一平均应加一十一分五十秒月天最高距日天最高九十度三均应加二分二十五秒然测太隂实行比平行多一十九分一十四秒较之一平均与三均应加之数仍多四分五十九秒为最卑后三十四分一十一秒所应加之初均数夫太隂本在最卑以一平均与三均应加之数计之应在最卑后一十四分一十五秒是必最高又有减差太隂始得在最卑后三十四分一十一秒乃于三十四分一十一秒内减一平均与三均应加之一十四分一十五秒余一十九分五十六秒为太阳在最高后中距应减之最高平均也又此时太隂正当交防应无距纬然测太阴纬度在黄道北二十六秒为太隂距正交后四分四十五秒之纬度夫太隂本在交防以一平均与三均应加之数计之则应距正交后一十四分一十五秒是必正交又有加差太隂始得在交后四分四十五秒乃于一平均与三均应加之一十四分一十五秒内减四分四十五秒余九分三十秒为太阳在最高后中距应加之正交平均也太阳在最高前仿此 　　求二平均 　　前篇言太阴在本天高卑虽无初均数而太阳在本天高卑前后犹有一平均若太阳亦在本天高卑则并无一平均矣奈端以来又屡加精测谓日天最高与月天最高同度或相距一百八十度日月又同在最高卑则实行与平行合为一线无诸均数太阳虽在最高卑而在月天高卑前后则平行常迟至高卑后四十五度而止在月天中距前后则平行常速至中距后四十五度而止然积迟积速之多正在四十五度而太阳在最高与在最卑其差又有不同因定太阳在最高距月天高卑中距后四十五度之最大差为三分三十四秒太阳在最卑距月天高卑中距后四十五度之最大差为三分五十六秒高卑后为减中距后为加其间日距月最高逐度之差皆以半径与日距月最高倍度之正为比例其太阳距地逐度之差又以太阳高卑距地之立方较与本日太阳距地之立方较为比例名曰二平均盖太阴本天心循最高均轮周行日距月最高之倍度日在月天高卑则两心差大而撱圆之面积小故平行迟也日在月天中距则两心差小而撱圆之面积大故平行速也日距月天高卑中距四十五度则两心差与撱圆之面积皆为适中太隂平行原以适中之数立算故其平行无迟速也然推盈缩迟疾之法皆以小轮上下二防为起算之端而以九十度处为差数之极今太隂本天心既循均轮周行日距月最高之倍度则是日在月天高卑时本天心皆在均轮上防也日在月天中距时本天心皆在均轮下防也日距月天高卑中距四十五度时本天心皆在均轮九十度处也故二平均以高卑中距分加减之限而以四十五度为最大差至其大差之数与比例之法固由测量而得亦可推算而知测算之法并设于左 　　如甲为地心乙为月本天心丙丁戊己为月本天丙为最高戊为最卑丁己为中距设日天最高在庚月天最高相距三百一十五度日在最高庚距月天最高四十五度月在辛望距本天最高二百二十五度此时太隂初均应加四度四十七分四十二秒然测太隂实行仅比平行多四度四十二分二十五秒比所推实行少五分一十七秒若日天最高在辛月天最高相距一百三十五度日在最高辛距月天最卑四十五度月在庚望距本天最高四十五度此时太隂初均应减四度二十分二十四秒然测太隂实行却比平行少四度二十二分一十五秒比所推实行少一分五十一秒又设日天最高在壬月天最高相距二百二十五度日在最高壬距月天最高一百三十五度而在中距后四十五度月在癸望距本天最高三百一十五度此时太隂初均应加四度二十分二十四秒然测太隂实行却比平行多四度二十二分一十五秒比所推实行多一分五十一秒若日天最高在癸月天最高相距四十五度日在最高癸距月天最高三百一十五度而在中距后四十五度月在壬望距本天最高一百三十五度此时太隂初均应减四度四十七分四十二秒然测太隂实行仅比平行少四度四十二分二十五秒比所推实行多五分一十七秒两测太阳同在最高前测太阳一在月天最高后四十五度一在月天最卑后四十五度实行皆比所推为少后测太阳在月天中距后四十五度实行皆比所推为多是知日在月天高卑后则减中距后则加为二平均之故矣然前测日天最高在庚月天最高相距三百一十五度则少数大日天最高在辛月天最高相距一百三十五度则少数小后测日天最高在壬月天最高相距二百二十五度则多数小日天最高在癸月天最高相距四十五度则多数大是必另有一均因月天最高距日天最高半周内而加半周外而减者于是以大小两数相减折半得一分四十三秒别为三均以减大数加小数得三分三十四秒为太阳在最高时距月天高卑中距后四十五度之最大二平均高卑后为减中距后为加也 　　设日天最高在庚月天最高相距三百一十五度日在最卑辛距月天最卑四十五度月在庚望距本天最高四十五度此时太阴初均应减四度二十分二十四秒然测太阴实行却比平行少四度二十六分三秒比所推实行少五分三十九秒若日天最高在辛月天最高相距一百三十五度日在最卑庚距月天最高四十五度月在辛望距本天最高二百二十五度此时太阴初均应加四度四十七分四十二秒然测太隂实行仅比平行多四度四十五分二十九秒比所推实行少二分一十三秒又设日天最高在壬月天最高相距二百二十五度日在最卑癸距月天最高三百一十五度而在中距后四十五度月在壬望距本天最高一百三十五度此时太阴初均应减四度四十七分四十二秒然测太阴实行仅比平行少四度四十五分二十九秒比所推实行多二分一十三秒若日天最高在癸月天最高相距四十五度日在最卑壬距月天最高一百三十五度而在中距后四十五度月在癸望距本天最高三百一十五度此时太阴初均应加四度二十分二十四秒然测太隂实行却比平行多四度二十六分三秒比所推实行多五分三十九秒两测太阳同在最卑前测太阳一在月天最卑后四十五度一在月天最高后四十五度实行皆比平行为少后测太阳在月天中距后四十五度实行皆比平行为多是知日在月天高卑后则减中距后则加为二平均之故矣然前测日天最高在庚月天最高相距三百一十五度则少数大日天最高在辛月天最高相距一百三十五度则少数小后测日天最高在壬月天最高相距二百二十五度则多数小日天最高在癸月天最高相距四十五度则多数大是必另有一均因月天最高距日天最高半周内而加半周外而减者于是以大小两数相减折半得一分四十三秒别为三均以减大数加小数得三分五十六秒为太阳在最卑时距月天高卑中距后四十五度之最大二平均高卑后为减中距后为加也 　　设日天最高在丙与月天最高同度日在庚距月天最高四十五度距日天最高亦四十五度此时一平均应加八分一十五秒月在辛望距本天最高二百二十五度初均应加四度四十七分四十二秒实行应比平行多四度五十五分五十七秒然测太阴实行仅比平行多四度五十二分二十秒比所推实行少三分三十七秒是为日在最高后四十五度时距月天最高后四十五度应减之二平均也又设日在壬距月天最高一百三十五度而在中距后四十五度距日天最高亦一百三十五度此时一平均应加八分三十秒月在癸望距本天最高三百一十五度初均应加四度二十分二十四秒实行应比平行多四度二十八分五十四秒然测太阴实行却比平行多四度三十二分四十七秒比所推实行多三分五十三秒是为日在最高后一百三十五度时距月天中距后四十五度应加之二平均也又设日在子距月天最高二十度距日天最高亦二十度此时一平均应加三分五十八秒月在丑望距本天最高二百度初均应加二度四十四分二秒实行比平行应多二度四十八分然测太隂实行仅比平行多二度四十五分四十二秒比所推实行少二分一十八秒是为日在最高后二十度时距月天最高二十度应减之二平均也又设日在寅距月天最高一百一十度而在中距后二十度距日天最高亦一百一十度此时一平均应加一十一分一十二秒月在卯望距本天最高后二百九十度初均应加四度五十五分一十六秒实行比平行应多五度六分二十八秒然测太阴实行却比平行多五度八分五十六秒比所推实行多二分二十八秒是为日在最高后一百一十度时距月天最高一百一十度应加之二平均也以上测得诸数与本天面积比例相似如甲乙丙丁为最大两心差之撱圆其面积小甲戊丙己为最小两心差之撱圆其面积大甲庚丙辛为相加折半之撱圆其面积适中今以适中之面积均分之为平行在小面积必比中积为少故平行迟在大面积必比中积为多故平行速然其迟速之限止在日距月最高倍度九十度之间故其迟速之差亦至九十度而止试以最大两心差之甲乙壬撱圆九十度积七八三六四四八三二一一一四二与最小两心差之甲戊壬撱圆九十度积七八四六六○九○二五九四六七相减余一○一六○七○四八三二五为甲乙戊积折半得五○八○三五二四一六二为甲乙庚积与甲庚戊积等以适中一秒积二四二○二二四九○除之得二百一十秒収为三分三十秒比日在最高之最大二平均仅少四秒今仍用旧数 　　又日在最高距地逺而差数小日在最卑距地近而差数大与转比例相似试以日在最卑距地九八三一之平方九六六四为一率日在最高距地一○一六九之平方一○三四○为二率【面积从末截去十位以便入算】日在最高距地数乗最高二平均三分三十四秒之长方为三率求得四率为日在最卑距地数乗最卑二平均之长方以最卑距地数除之得三分五十六秒强为日在最卑之二平均又法先以四率最卑距地数与一率最卑平方相乗得最卑距地之立方九五○一五二为一率以三率最高距地数与二率最高平方相乗得最高距地之立方一○五一五六二为二率【立方积从末截去十五位以便入算】即以日在最高二平均三分三十四秒为三率则得四率即为日在最卑二平均三分五十六秒与表合日距月最高逐度之二平均以半径与日距月最高倍度之正为比例如甲为地心甲乙为中数两心差甲丙为最大两心差甲丁为最小两心差日在月天最高月本天心在丙面积最小平行最迟自丙向戊所迟渐少迨日距月天最高四十五度则月本天心自丙行九十度至戊面积适中无所迟而复于平行然积迟之多正在戊故为最大之减差由戊向丁面积渐大平行渐速然因有积迟之度方以次相补迨日距月天最高九十度则月本天心自丙行一百八十度至丁平行最速而积迟之度方补足无缺故自丙至丁半周皆为减差也日在月天中距月本天心在丁面积最大平行最速自丁向己所速渐少迨日距月天最高一百三十五度则月本天心自丙行二百七十度至己面积适中即无所速而复于平行然积速之多正在己故为最大之加差由己向丙面积渐小平行渐迟然因有积速之度方以次相消迨日距月天最高后半周与月天最卑同度则月本天心自丙行一周复至丙平行最迟而积速之度始消尽无余故自丁至丙半周皆为加差也日距月天最卑后皆仿此今以日距月最高倍度之正为比例自丙向戊自丁向己正渐大而其较渐小自戊向丁自己向丙正渐小而其较渐大故自戊防而后所减渐少而所少之较又渐大实即加也加至丁防而极自丁防而后为加虽所加渐多而所加之较实渐小至己则逐日所加相等是即无所加矣自己防而后所加渐少而所少之较又渐大实即减也减至丙防而极自丙防而后为减虽所减渐多而所减之较实渐小至戊则逐日所减相等是即无所减矣故太阴平行以丙防前后为迟丁防前后为速而迟速之差至戊己二防而止其间逐度之二平均皆以日距月最高倍度之正为比例也太阳距地逐度二平均较以太阳高卑距地之立方较与本日太阳距地之立方较为比例盖以本日太阳距地之立方与最高距地之立方为比同于最高之二平均与本日太阳距地之二平均为比此正理也【法见前】然以此立表则不胜其繁而逐度太阳距地之立方推算亦不易且其至大之差不过二十二秒用立方较为比例其数巳自相合故先以日在最高之最大二平均三分三十四秒比例得日在最高时本日之二平均又以日在最卑之最大二平均三分五十六秒比例得日在最卑时本日之二平均两二平均相减为高卑二平均之较乃以日在最高距地一○一六九之立方一○五一五六二与日在最卑距地九八三一之立方九五○一五二相减余一○一四一○为高卑立方大较为一率高卑二平均之较为二率本日太阳距地之立方与最高距地之立方相减为本日之立方较为三率求得四率为本日二平均较与日在最高之二平均相加即得本日之二平均也 　　求三平均 　　前篇言日天最高与月天最高同度或相距一百八十度日月又同在最高卑则实行与平行合为一线无诸均数然惟太阳在两交与大距为然若太阳在两交后则平行又稍迟在大距后则平行又稍速其最大差为四十七秒名曰三平均盖白极在正交均轮周新法算书谓行月距日之倍度奈端以来谓行日距正交之倍度【详见后交均篇】故惟太阳在两交与大距则白极与均轮心参直其平行无加减太阳在两交后则白极在均轮心之东而白道经圏之过黄道者亦差而东其黄道旧防所当白道度即差而西故平行应减而迟也太阳在大距后则白极在均轮心之西而白道经圏之过黄道者亦差而西其黄道旧防所当白道度即差而东故平行应加而速也此其所差止在数十秒之间虽不易得之仰观而实可稽诸仪象其法以半径一千万与均轮半径切线为比同于本轮半径与最大三平均切线为比而逐度之三平均皆以半径与日距正交倍度之正即为比例焉 　　如图甲为黄极乙丙丁戊为 　　黄道以最大黄白大距五度 　　一十七分二十秒与最小黄 　　白大距四度五十九分三十 　　五秒相加折半得五度八分 　　二十七秒半为黄白大距之 　　中数以中数为半径作己庚 　　辛壬圏为白极绕黄极本轮 　　又以两大距相减折半得八 　　分五十二秒半为半径作癸 　　子丑寅圏为负白极均轮均 　　轮心循本轮周左旋自己向 　　庚每日三分有余为正交行 　　度白极循均轮周右旋自癸 　　向子每日二度四分有余为 　　日距正交之倍度日在两交 　　白极在癸 　　日在大距白极在丑与均轮 　　心参直成一直线故无三平