御制历象考成 - 第 44 页/共 145 页
求日月实径与地径之比例
日月地三体各有大小之比例日最大地次之月最小新法厯书载日径为地径之五倍有余月径为地径之百分之二十七强今依其法用日月髙卑两限各数推之所得实径之数日径为地径之五倍又百分之七月径为地径之百分之二十七弱皆与旧数大致相符足征其説之有据而非诬也
凡明暗两体相对明体施
光暗体受之其背即生黑
影若两体同大则其影成
平行长圆柱形其径与原
体相同其长至于无穷而
无尽也如甲图然若明体
小暗体大则其影渐大成
圆墩形其径虽与原体相
同其长至于无穷其底之
大亦无穷也如乙图然惟
明体大暗体小则其影渐
小成尖圆体其径与原体
等其下渐小而尽成鋭角
如丙图然使日小于地或
与地等则地所生之影宜
如甲乙两图其长无穷今
地影不能掩荧惑何况嵗
星以上诸星是地影之长
有尽必如丙图而日之大
于地也其理明矣又凡人
目视物近则见大逺则见
小如丁戊与己庚两物同
大人目视之成两三角形
丁戊近目其两腰短故底
之对角大己庚逺目其两
腰长故底之对角小若去
人目有逺近而视之若等
则逺者必大近者必小今
仰观日月其径畧等而日
去地甚逺月去地甚近则
月必小于日也可知矣夫
地径小于日而地影之径
又渐小于地月过地影则
食食时月入影中多厯时
刻而后生光则月必小于
地影月既小于地影则其
必小于地也又何疑焉求
日实径之法如图甲为地
心乙为日心甲乙为两心
相距乙甲丙角为日视半
径角乙丙为日半径用甲
乙丙直角三角形此形有
丙直角有甲角十四分五
十九秒三十微为日在最
髙之视半径有乙甲边一
千一百六十二为日在最
髙距地心之数求得乙丙
五又百分之七为日实半
径即为地半径之五倍又
百分之七也求月实径之
法仿此
地影半径
太阳照地而生地影太阴过影而生薄蚀凡食分之浅深食时之乆暂皆视地影半径之大小其所系固非轻也但地影半径之大小随时变易其故有二一缘太阳距地有逺近距地逺者影巨而长距地近者影细而短此由太阳而变易者也一缘地影为尖圆体近地麤而逺地细太阴行最卑距地近则过影之麤处其径大行最髙距地逺则过影之细处其径小此由太阴而变易者也今依太阳在最髙所生之大影为率而以太阴従髙及卑各距地心之地半径数求其相当之影半径为影半径表复求得太阳従髙及卑所生之各影各求其太阴在中距所当之影半径俱与太阳在最髙所生之大影相较余为影差列于本表之下用时以太阴引数宫度查得影半径复以太阳引数宫度查得影差以减影半径即得所求之地影实半径也
如图甲为地球乙丙皆为太阳乙为最髙丙为最卑太阳従最髙乙发光则地影长大为丁己戊従最卑丙发光则地影短小为丁庚戊太阴遇丁己戊大影而在最髙辛则其所当之影径如辛壬
在最卑癸则其所当之影径如癸子若太阴遇丁庚戊小影而在最髙辛则其所当之影径如丑寅在最卑癸则其所当之影径如卯辰其两半径之较为辛丑与癸卯是所谓影差也
求地影半径有二法一用推算一用测
量而推算所得之数比测量所得之数常多数分盖因太阳光大能侵削地影故也如甲为地球乙丙丙丁为太阳实半径従乙丁作两线切地球戊己两边而交于庚则成戊庚己影然太阳光芒常溢于原体之外如辛壬従辛壬作两
线切地球戊己两边而交于癸则成戊癸己影而小于戊庚己影论其实则推算之数为真欲合仰观则测量之数为准故地影表所列之数皆小于推算之数也
推算之法命地半径甲己为一百分则太阳实半径丙丁为五百零七分【太阳实径】
【为地径之五倍又百分之七今以地半径为一百分则太阳实半径为五百零七分】以甲己与丙丁相减余丙子四百零七乃以丙子四百零七为一率太阳在最髙距地心之丙甲一十一万六千二百【即地半径之一千一百六十二倍】为二率甲己地半径一百为三率得四率甲庚二万八千五百五十为地影之长盖丙子甲勾股
形与甲己庚勾股形为同式形故其相当各界皆可为比例也既得甲庚地影之长乃求得甲庚己角一十二分零二秒又于甲庚地影之长内减去太阴在中距朔望时距地心之甲丑五千六百七十二【即地半径之五十六倍又百分之七十二】余二万二千八百七十八为丑庚于是用丑庚寅
直角三角形求得丑寅八十有余又用甲丑寅直角三角形求得甲角四十八分三十四秒为太阴在中距时所过地影之半径查地影半径表为四十四分四十三秒多三分五十一秒
测量之法如康熈五十六年丁酉八月十七日月食其实引为二宫三度四十一分零三秒距地心五十七地半径零百分之四十一测得纬度在黄道北三十六分一十八秒月半径为一十六分一十秒食分为二十三分三十秒乃以黄道纬度三十六分一十八秒求得白道纬度三十六分二十六秒为食甚距纬与食分二十三分三十秒相加得五十九分五十六秒内减月半径一十六分一十秒余四十三分四十六秒为地影半径查地影半径表为四十三分五十四秒相差八秒乃本时太阳之影差也【表数乃太阳在最髙之影今太阳在八宫故差八秒】如图子丑寅为黄道卯辰己为白道卯子寅己为地影午丑为地影半径未申酉为月未辰为月半径月行白道従卯至辰距地影心丑最近是为食甚午酉即为食分辰戌为黄道纬度辰丑即白道纬度用辰丑戌正弧三角形此形有辰角与黄白交角等有戌直角有辰戌边求得辰丑为食甚距纬以午酉食分与辰丑距纬相加成亥丑内减与月半径未辰相等之亥午余午丑即为地影之半径也推算所得之数既大于测量所得之数则太阳光大之能侵削地影可知矣然不得太阳之光分虽逐时测量又有影差杂于其内则地影之大小终不能得其真今立法以太阴在中距之地影半径四十四分四十三秒为准【前测月食实引二宫三度近中距而其影畧与表合故以中距之地影为准】求太阳之光分命地半径甲巳为一百分则太阴在中距朔望时距地心之甲丑为五千六百七十二丑甲寅角即为四十四分四十三秒用甲丑寅直角三角形求得丑寅为七十三小余七八甲寅为五千六百七十二小余四八又用甲巳寅直角三角形【巳为直角】求得巳甲寅角为八十
八度五十九分二十四秒于象限内减去巳甲寅角又减去丑甲寅角余一十五分五十三秒为卯甲己角乃用卯甲己直角三角形【已为直角】求得甲卯为一百又千分之一甲卯内减去与丑寅相等之甲辰余二十六小余二二一为辰卯于是以卯辰寅勾股形【辰寅与甲丑等】与卯甲
庚勾股形为比例得甲庚二万一千六百三十二即地影之长又以甲己庚勾股形与丙丁庚勾股形为比例得丙丁六百三十七即太阳之光分为地半径之六倍又百分之三十七也既得丙丁太阳之光分又得甲庚地影之长乃于甲庚内减太阴在最髙距地心之甲巳