御制历象考成 - 第 10 页/共 145 页

比同于巳 　　【象考成上编卷二】 　　申与巳未之比也御制厯 <子部,天文算法类,推步之属,御制历象考成> 　　钦定四库全书 　　御制歴象考成上编卷三 　　弧三角形下 　　斜弧三角形论 　　斜弧三角形边角比例法 　　斜弧三角形作垂弧法 　　斜弧三角形用总较法【次形法附】 　　斜弧三角形设例八则 　　斜弧三角形论 　　弧三角之有斜弧形犹直线三角之有锐钝形也但直线三角之锐钝形惟二种一种三角俱鋭一种一钝两锐而斜弧形则不然或三角俱锐或三角俱钝或两锐一钝或两钝一锐其三边或俱大过于九十度或俱小不及九十度或两大一小或两小一大参错成形为类甚多而新法算书所载推算之法抑复繁杂难稽葢三角三边各有八线但线与线之比例相当即可相求是故或同步一星或同推一数而所用之法彼此互异遂使学者莫知所从兹约以三法求之无论角之锐钝边之大小并视先所知之三件为断其一先知之三件有相对之边角又有对所求之边角则用边角比例法其一先知之三件有相对之边角而无对所求之边角【或求角而无对角之边或求边而无对边之角】则用垂弧法其一先知之三件无相对之边角【或三边求角或有两边一角而角在所知两边之间或三角求边或有两角一边而边在所知两角之间】则用总较法明此三法则斜弧之用已备而七政之升降出没经纬之纵横交加无不可推测而知矣 　　斜弧三角形边角比例法 　　凡斜弧三角形先知之三件有相对之边角又有对所求之边角者则用边角比例法如甲乙丙斜弧三角形有甲角有甲乙边有乙丙边而求丙角则乙丙为对所知之边甲为所知之角甲乙为对所求之边乃以对所知之乙丙边正与对所求之甲乙边正之比同于所知之甲角正与所求之丙角正之比也又如丁戊己斜弧三角形有丁角有己角有丁戊边而求戊己边则己角为对所知之角丁戊为所知之边丁为对所求之角乃以对所知之己角正与对所求之丁角正之比同于所知之丁戊边正与所求之戊己边正之比也 　　斜弧三角形作垂弧法 　　凡斜弧三角形先知之三件有相对之边角而无对所求之边角者则用垂弧法如甲乙丙斜弧三角形有甲角有甲乙边有乙丙边而求乙角及甲丙边乃自乙角作乙丁垂弧于形内分为甲乙丁丙乙丁两正弧三角形算之先用甲乙丁形求乙丁垂弧甲丁分边及乙分角葢此形有甲角有甲乙边有丁直角以丁角正【即半径】与甲角正之比同于甲乙边正与乙丁垂弧正之比而得乙丁垂弧以半径与甲角余之比同于甲乙边正切与甲丁边正切之比而得甲丁分边以甲乙边正与甲丁边正之比同于丁角正【即半径】与乙分角正之比而得乙分角次用丙乙丁形求乙分角及丁丙分边葢此形有乙丙边有乙丁垂弧有丁直角以乙丙边正切与乙丁垂弧正切之比同于半径与乙分角余之比而得乙分角以丁角正【即半径】与乙分角正之比同于乙丙边正与丁丙边正之比而得丁丙分边既得两分角并之即乙角得两分边并之即甲丙边也又如戊己庚斜弧三角形有戊角有庚角有己庚边而求戊庚边及己角乃自己角作己辛垂弧于形外将戊庚弧引长至辛作戊己辛庚己辛两正弧三角形算之先用庚己辛形求己辛垂弧庚辛虚边及己虚角葢此形有庚外角有己庚边有辛直角以辛角正【即半径】与庚角正之比同于己庚边正与己辛垂弧正之比而得己辛垂弧以半径与庚角余之比同于己庚边正切与庚辛虚边正切之比而得庚辛虚边以己庚边正与庚辛边正之比同于辛角正【即半径】与己虚角正之比而得己虚角次用戊己辛形求戊辛总边及己总角葢此形有戊角有己辛垂弧有辛直角以戊角正切与半径之比同于己辛垂弧正切与戊辛边之比而得戊辛总边以己辛垂弧正与戊辛边正之比同于戊角正与己角之比而得己总角既得戊辛总边内减去庚辛虚边即戊庚边得己总角内减去己虚角即己角也 　　斜弧三角形用总较法 　　凡斜弧三角形知三边求 　　角者则用总较法以角傍 　　之两边相加为总弧相减 　　为较弧各取其余相加 　　减【总弧较弧俱不过象限或俱过象限则两余 　　相减若一过象限一不过象限则两余相加其或 　　过二象限者与过一象限同过三象限者与不过象 　　限同】折半为中数又以对边 　　之矢与较弧之矢相减余 　　为矢较乃以中数与矢较 　　为比同于半径与所求角 　　之正矢之比也如知两边 　　一角而角在两边之间者 　　以半径与所知角之正矢 　　为比同于中数与矢较之 　　比既得矢较与较弧之矢 　　相加即得对边之矢也如 　　甲乙丙斜弧三角形有三 　　边求甲角则以甲角傍之 　　甲乙甲丙二边相加得乙 　　丁【甲丙甲戊甲丁三弧同为丁戊距等圈所截故 　　其度相等】为总弧其正为丁 　　己余为己庚甲乙与甲 　　丙相减余乙戊为较弧其 　　正为戊辛余为辛庚 　　两余相加得己辛【乙丁总弧 　　过象限乙戊较弧不过象限其两余在圜心之两 　　边故相加】折半得辛壬与癸子 　　等为中数乙丙对边与乙 　　丑等【乙丙与乙丑两弧同为丑寅距等圈所截 　　故其度相等】其正为丑卯余 　　为卯庚正矢为乙卯以 　　乙卯与乙戊较弧之正矢 　　乙辛相减余辛卯与辰巳 　　等为矢较戊辰巳与戊癸 　　子为同式两勾股形故癸 　　子与辰巳之比同于戊子 　　与戊巳之比也又午庚为 　　半径戊子为距等圈之半 　　径午未与戊己两段同为 　　甲丙申大圈所分则戊子 　　与戊己之比原同于午庚 　　与午未之比是以中数癸 　　子与矢较辰巳之比即同 　　于半径午庚与甲角正矢 　　午未之比也以午未与午 　　庚半径相减余未庚为甲 　　角之余检表即得甲角 　　所当午申弧之度也若先 　　有甲角及甲乙甲丙二边 　　求乙丙对边则以半径午 　　庚与甲角正矢午未之比 　　即同于中数癸子与矢较 　　辰巳之比既得辰巳与辛 　　卯等与乙戊较弧之正矢 　　乙辛相加得乙卯为乙丙