御制数理精蕴 - 第 156 页/共 595 页

凡竒零不齐之数准之于齐圆准之于方不齐之圆准于齐之圆不齐之方准于齐之方句股容圆准于句股容方假令句五股五七有竒此为整方均齐无较之句股其容方径该得句之半盖容方积得句股全积四分之一其取全积时句股分在两亷则句五股五五五二十五内一半为句积一半为股积其求容方则并句股为纵一亷得十为长之数得阔二五与原句相半盖始初则一半句积一半股积横列之而为正方及取容方则股积在上句积在下而为长方矣其容方所以止得半句者则以句股之数均也若句短股长则容方以渐而阔不止于半句矣故大半为股积小半为句积其始横列时句积与股同长而不同阔其纵列时则股积之阔如故而句积截长以为阔则阔与股积同而长与股积异与横列正相反此变长为阔而取容方之法也其谓之句积股积者从容方径与句股相乗之数而名之也若取容圆径则用句股自之而倍其数以句股与并为法盖容圆之径多于容方方有四角与相碍故其数少圆宛转故其数多若以求容方与求容圆相比则积中恰少一叚圆径与半和较相乗之数和较者句股并与相较之数也假令句五股五相乗亦倍之得五十如求容方则亦倍句股为法得二十亦恰得二寸五分之径如求容圆则不用倍句股为法而用一句股并与一是以一代一句股倂也以一代一句股并恰少一和较加一和较则亦两句股矣假令一句股得十倍句股得二十是取容方之径一句股得十一得七恰少和较三是取容圆之径其所以少一和较者圆径多于方径也假令取容圆不用句股倍积而止用句股本积则宜句股并为亷而除去半和较亦得或约得圆径之后与半和较相乗添积而以句股并为亷不除亦得或用句股倍积用两句股相并为亷而以全和较与约得圆径相乗添积亦得此改方为圆之妙其机括只寓之于和较间也至于句股积与积亦只于句股较中求之盖数起于参伍参伍起于畸零不齐也假令句五股五齐数之句股则句股幂倍之即得幂盖两句股积而成积也至于句短股长相乗之积则成一长方倍之而侧不当中径亦不成幂维以一句股较积补之乃能使长方为一正方而得积盖句股之差愈逺则长方愈狭长方愈狭则句股之差积愈多故句股差者所以权长方不及正方之数以相补辏此补狭为方之法也右荆川先生论句股测望论句股求容方圆详矣尽矣愚按句股测望即句股求容方法而变化用之但容方则以句股求容方而测望则以容方求句股非有二法也盖凡平方形若中间十字界之则为容方者四若斜界之则此一半平方之内其为完全容方者一而完全容方之外两角凑成亦必与此完全之容方相等此就句股等长而言也至句股不必等长而同此一容方则句长者股必短股长者句必短亦千变万化自有一定之盈缩也于是通之为测望之法以表代容方边以表前积实代容方之积实若所容为长方则必句短股长若所容为匾方则必股短句长股为纵为髙句为横为逺以或句或股为法除之即得所求之或髙或逺故望髙测逺即变化于句股求容方之一法也 　　测量法 　　句股之术可御髙深广逺法本周髀中法用表测西法用矩测 　　立表测高 　　设甲防为髙自丙至乙逺二丈求甲乙髙几何 　　法依地平线立一丈之表为丁丙【逺乙二丈】与地平为直角【凡立表以线下试之三靣附表即与地平为直角】依地平线退行【八尺】为辛巳【巳为人日望处人目以下六尺若立竿为准亦可】视己丁甲三防 　　令成斜以丁丙表【一丈】减己戊人目以下之六尺余丁辛【四尺】与等戊乙之巳庚【二丈八尺】乗之得【一十一丈八尺】为实以等戊丙之巳辛【八尺】为法除之得甲庚【一丈四尺】加等己戊人目以下之庚乙【六尺】得甲乙髙二丈按此以丁辛与已庚相乗得实以巳辛为法除之得甲庚之髙即已以上之髙若以丁辛乗壬庚得实以已辛为法除之得甲壬之髙即丁以上之髙 　　附西法三率算术【西法三角八线全用三率算术其法详三角前此先附其略】 　　三率算术详西法三角八线书中其法同类为比例列一二三四率而二率三率相乗得实一率为法除之四率为所求之数凡言以者为一率言比者为二率言若者为三率言与者为四率如前立表测髙以己辛【小句】比丁辛【小股】若己庚【大句】与庚【甲大股】 　　一率　　己辛八尺　　为法 　　二率　　丁辛四尺　　与三率相乗得实三率　　己庚二丈八尺 　　四率　　庚甲一丈四尺【加庚乙人目以下得甲乙髙】 　　按右法以己庚为三率故得己以上之髙即甲庚之髙若以丁壬为三率则得丁以上之髙即甲壬之髙变而通之若以之测远以小股【辛丁】比小句【己辛】若大股【或甲庚或甲壬】与大句【大股甲庚即大句庚己大股甲壬即大句壬丁】总之同类比例以二率三率相乗得实以一率为法除之即得所求之四率也余详本法【后省文依西法以比若与不更列三率】 　　立表测深测逺 　　设甲乙为壁立深谷甲至丙广二丈七尺求甲乙深防何 　　法依甲丙线于地立【六尺】之表为戊丁距丙【五尺】人目从表端【戊】窥【乙】使戊丙乙三 　　防成斜直线以丁戊【六尺】与甲丙【二丈七尺】相乗【得一十六丈二尺】为实以丁丙【五尺】为法除之得甲乙深【三丈二尺四寸】是为以丙丁【小句】比丁戊【小股】若丙甲【大句】与甲乙【大股】 　　设井一口其径甲乙五尺欲测深防何 　　法立表于井口为戊甲髙【五尺】从戊视 　　丙截甲乙径于己【得四寸】减井径【五尺】余 　　己乙【四尺六寸】以乗戊甲【五尺】得【二千三百寸】为实以甲己【四寸】为法除之得乙丙井深【五丈七尺五寸】是为以己甲比甲戊若己乙与乙丙　又法以己甲比甲戊若甲乙之丙丁与丁戊 　　设地平有甲防不知其逺人目在乙髙丙地六尺求丙甲逺几何 　　法依地平立丁表于戊高【四尺五寸】距丙【九尺】人目从表端窥甲令乙丁甲成斜直线次以乙丙【六尺】减丁戊表【四尺五寸】余乙己【一尺五寸】乃以乙丙【六尺】乗等丙戊之己丁【九尺】得【五十四尺】为实以乙巳【一尺五寸】为法除之得丙甲逺【三丈六尺】是为以乙己比己丁若乙丙与丙甲 　　重表测髙测逺测深 　　设不知髙之逺不知逺之髙各得几何 　　欲测甲乙之高而不知逺欲测丙乙之逺而不知髙用重表法先求甲乙之髙于丙地立丁丙表高【十尺】退 　　后【五尺】立竿于戊高四尺人目在 　　巳视表末令己丁甲成斜直 　　线次从丁丙前表退后【十五尺】立 　　癸壬表亦髙【十尺】退后【八尺】立竿于 　　子亦高【四尺】人目在丑视表末令 　　丑癸甲成斜直线以癸壬表 　　减人目丑子【四尺】余癸辛【四尺】与两表相距【旧名表间】等丙壬之丁癸【十五尺】乘之得【九十尺】为髙实以等丙戊之寅巳减等壬子之辛丑【八尺】余卯丑较【三尺】为法【旧名影差】除高实得甲辰髙【三十尺】是为以丑卯比辛癸若癸丁与甲辰加等癸壬表之【十尺】得甲乙总髙【四十尺】 　　次求丙乙之逺以等寅巳之辛卯【五尺】与表间相距之丁癸【十五尺】乗之得【七十五尺】为逺实亦以寅巳与辛丑之较卯丑【三尺】为法除之得等丙乙之丁辰【二十五尺】是为以丑卯比卯辛若癸丁与丁辰 　　右测量法积实除实余昔刻句股述绘图系説已详其数兹不再赘钱唐毛宗旦扆再氏着九章蠡测于测望法论西法比例之理尤明晰详尽今并录于左 　　毛扆再氏曰测量之理知逺而不知髙以逺测髙知髙而不知逺以髙测逺若髙逺两不知所谓无逺之髙无髙之逺必用重表测之也既有等髙之二表【皆十尺】又有等髙之二人目竿【皆四尺】则甲庚丑大句股形内必函大小六句股形其甲辰丁形为甲庚巳之分形两形之比例必等丁寅巳形亦甲庚巳之分形两形之比例亦等甲辰丁及丁寅巳两形之比例既皆等于甲庚巳是甲辰丁与丁寅巳两形之比例亦等矣后表所得甲辰癸与癸辛丑形之比例皆等于甲庚丑亦同此论夫丁寅巳之比例既同于甲辰丁而癸辛丑之比例亦同于甲辰癸则辰丁与寅巳必若辰癸与辛丑反之则辰癸与辰丁必若辛丑与寅巳也今辰癸与辰丁之较为丁癸而辛丑与寅巳之较为卯丑则卯丑与丁癸两较之比例则必俱等于各线相当之比例即可知辰丁与寅巳【皆句】及甲辰与丁寅【皆股】俱若两较之丁癸与卯丑矣法置辛癸乗癸丁为髙实而以丑卯除得辰甲者是借丑卯与癸丁之比例因寅丁以求辰甲也【寅丁与辛癸等】又置卯辛乗癸丁为逺实而以丑卯除得丁辰者亦借丑卯与癸丁之比例因巳寅以求丁辰也【巳寅与卯辛等】辰甲为表外之髙丁辰亦表外之逺 　　设不知广之深不知深之广重表测之各得几何如甲乙丙丁壁立之谷既不知深又不知广先求乙甲之深自谷岸乙防退行【四尺】至戊地立人目表为巳戊髙【二尺七寸】依乙岸窥谷底丙防令巳乙丙成斜直 　　线次于谷旁立表为壬乙髙【五尺】复 　　依巳戊线立人目表为辛戊髙【八尺 　　二寸】人目依壬表末望丙令辛壬丙 　　成斜直线以辛戊【八尺二寸】减壬乙 　　表【五尺】余辛庚【三尺二寸】再与巳戊【二尺七寸】 　　相减余辛癸较【五尺】乃以等巳戊之癸庚【二尺七寸】与壬表【五尺】乗之得【一百三十五寸】为深实以辛癸较【五寸】为法除之得乙甲深【二丈七尺】是为以辛癸比癸庚若壬乙与乙甲次求甲丙之广以等戊巳之庚壬【四尺】与壬乙表【五尺】相乘【得二十尺】为广实亦以辛癸较【五寸】为法除之得甲丙广【四丈】是为以辛癸比庚壬若壬乙与甲丙 　　设甲乙不知逺以矩尺【即木工曲尺】测之 　　欲知甲乙之逺先立丙表于甲与地平为直角次以矩尺内直角加于丙表之末以丙戊尺向逺视乙令丙戊乙成斜直线次从丙丁尺视巳以甲丙表自乘而以甲 　　巳相距之逺为法除之得甲乙之逺是为以巳甲比甲丙若甲丙与甲乙则丙甲为连比例之中率按矩尺为直角形若两边等平则甲丙表两平地之句必等今矩尺一昻一俯则巳甲必小于丙甲而丙甲必小于甲乙故以巳甲比丙甲若丙甲与甲乙葢皆以小比大以小大同类为比例而不执句股纵横为同类故三率法应二率三率相乘而此用二率自乘而以一率为法除之非另有连比例之中率也若变而通之以丙子比子戊若丙甲与甲乙 　　西法矩度测量 　　矩度代表度有直景倒景有一矩测重矩测积实与为法除悉如中法亦可三率法求之 　　造矩度用坚木或铜版为之依上图从矩极均分十二度【陈防庵止用一十度省一乘法】或每度更细分之从通光耳视所测相参直以权线所切何度何分比例推算与立表测量等 　　变景法 　　景即直景倒景也变景者视权线所切直景不变而倒景必变爲直景也一矩测量即倒景可不必变而重矩测量则倒景必变其法以矩度自乗【如矩度十二自乗得一百四十四为矩幂】以景度【即权线所切之度如几度几分则矩度景度通照几分度分之】为法除之【其变景之理详句股述】 　　直景必高多逺少如一象限人望四十五度【半象限九十度】以上权线必切直景 　　倒景必髙少逺多如一象限人望四十五度以下权线必切倒景 　　变景者变倒景之少度为直景之多度葢测物愈逺则矩愈平其权线所切必在倒景故必变之如上丁戊变乙壬也 　　矩度测髙 　　直景以矩度乗逺得积实以景度为法除之 　　设所测不知其髙距所逺三十尺权线切直景八度法以矩度【十二】与逺【三十】相乗得三百六十为积实以直景八度为法除之【如筹算检八号筹视某格与积实近少除之】得四十五尺为矩乙角以上之髙即所测之髙是为以小句【景度】比小股【矩度】若大句【逺】与大股【髙】 　　倒景以景度乗逺得积实以矩度为法除之 　　设逺六十尺权线切倒景七度又五分度之一法以景度【七】通五分之得【三十六】分以乗逺【六十】得积实二千一百六十以矩度【十二】通五分之得【六十】为法除之得三十六尺为矩乙角以上之髙【此倒景不必变但变其法以景度乘逺以矩度为法除之亦同】是为以小句比大句若小股与大股 　　重矩测髙【测髙先不知其逺则用重矩如重表测法】 　　前矩直景后矩直景以矩度乗表间得积实以两景较为法除之【表间即悬矩之干两矩相距之间】 　　设前直景【五度】后直景【十度】两矩相距【十尺】法以矩度【十二】乗表间【十尺】得【一百十尺】　为实以两景较【五度】为法除之得二十四尺为矩乙角以上之髙以小句比小股若大句与大股同前首条 　　前矩直景后矩倒景以矩度乗表间得积实以倒景变直景与前直景较以景较为法除之 　　设前直景【十一度】后倒景【九度】两矩相距【二十二尺】法以矩度【十二】乗表间二十得【二百四十】为积实又以倒景【九度】为法除矩幂【一百四十四】得变景十六与前矩直景较余【五】为法除积实得【四十八】为矩乙角以上之髙是为以小句【景较】比小股【矩度】若大句【表间相距】与大股【所测之髙】 　　前矩倒景后矩倒景将两倒景俱变为直景仍以矩度乗表间得积以两变景较为法除之得所测之髙仝前按测望即容方求余句余股法其矩测之倒景必变者葢立表测髙人目退望使参相直若所测愈髙则人目距表愈近所测愈低则人目距表愈逺表即容方之边而人目退望之处即余句也今矩之甲角愈髙则倒景反多矩之甲角愈低则倒景反少故必变景而后合于人目退望之余句余旧刻句股述论之详矣但旧刻于前后俱倒景一条悮以景较乗逺以矩度为法于三率以小句比大股若大句与大股法不合若依前一表测髙所切倒景之法亦以景度乗逺矩度为法则此两倒景巳俱变直景矣岂可仍用倒景法乎特为改正 　　测逺 　　按测无髙之逺先用重矩测得髙【巳壬】次以矩度【甲】为一率以后矩所变之 　　景【乙戊】为二率以高【巳壬】为三率即得四 　　率之逺是为以小股【甲乙】比小句【乙戊】若大股【巳壬】与大句【壬乙】 　　右高【巳壬】得四八变景【乙戊】得一六矩度【甲乙】十二度依三率法得逺六十四葢倒景既变直景则甲乙戊成直角小句股形与巳壬乙之直角大句股相等故用三率比例 　　以测髙法还原 　　设逺【六十四尺】倒景【一六】矩度【一二】以矩度乗逺【六四】以变景度【一六】为法除之得高【四八】与前重矩测高第二条相合按重矩测无高之逺西法测量法义同文算指俱未论及钱唐毛扆再氏补论一则但干支字様与图互异且比例之法辨晰各较相比似不若竟以甲乙戊之小句股比巳壬乙之大句股尤易晓然便于初学故创为此图 　　测深 　　设井口或径广十二尺求至水面深几何 　　用矩度视深【辛】使甲巳辛叅相直 　　视权线在直景乙戊【三度】以矩度【十二】 　　乘等庚巳之辛壬水面【十二尺】得【一百四十四尺】为实以乙戊【三度】为法除之得【巳壬】深【四十八尺】是为以【乙戊】比【乙甲】若【壬辛】与【壬巳】 　　设池面不知广就池岸设垂线至水得一丈三尺测广几何 　　权线切倒景丁戊【三度】依法变为直景【四十八度】以乗巳壬【十三尺】得【六百二十四尺】为实以甲乙矩度【十二】为法除之得庚巳广【五十二尺】是为以甲乙比乙癸若巳壬与等【壬辛】之巳庚 　　又倒景不变以矩度乘【巳壬】得积以倒景丁戊【三度】为法除之亦得巳庚广【五十二尺】 　　按倒景必变直景若止一矩测广则倒景亦可不变然在直景则景度乗深而矩度为法除之若在倒景则矩度乗深而景度为法除之固两不相混也至于测髙则必矩度乗取积实而景度为法除之此两矩测一定不易之法也 　　附三率算术 　　古名异乗同除西法变为三率 　　原有丁戊股十四尺 　　丙戊句十一尺二寸 　　今截丁乙股十尺