御制数理精蕴 - 第 151 页/共 595 页

国朝陈訏撰訏字言杨海宁人由贡生官淳安县教谕是书成于康熈六十一年壬寅首载加减乗除之法杂引诸书如加法则从同文算指列位自左而右减法则从梅文鼎笔算列位自上而下易横为直乗法则用程大位算法统宗铺地锦法画格为界除法则用梅文鼎筹算直书列位至定位则又用西人横书之式葢兼采诸法故例不画一至开带纵平方但列较数而不列和数开带纵立方但列带一纵而不列带两纵相同及带两纵不同皆为未备所论勾股诸法谓勾股和自乗方与弦积相减所余之积转减积为股较不知以勾股和自乗积与倍积相减所余为勾股较积不得为勾股较也又谓勾股相乗以勾股较除之亦得容方不知既用勾股容方本法以勾股和除勾积股相乗矣则用此一勾股相乗之积而勾股和与勾股较除之皆得容方无是理也又谓勾股相乗之积为容方者四斜内为容方者两不知勾股形内以为界止容一方试以勾三股四之容方积较尚不及勾股积四分之一而股愈长则容方愈小者更无论矣又谓勾股之长恒两倍于容圆之周不知平圆积以半周除之而得半径勾股相乗积以总和除而得半径根既不同不得牵混为一也如斯之类亦多未协其三角法则全録梅文鼎平三角举要畧加诠释所用八线小表以余线可以正正切正割三线加减得之故不备列其半径止用十万亦测量全义所载泰西之旧表无所发明然算法精防猝不易得其门径此书由浅入深循途开示于初学亦不为无功观其名以引宗防可见録存其説亦足为发轫之津梁也乾隆四十六年十二月恭校上 　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅 　　总校官【臣】陆　费　墀 　　钦定四库全书 　　句股引 　　海寜　陈訏　撰 　　凡例 　　六艺数居其一句股又九章之一古周髀积羃今三角八线皆句股法也但不得其门每多望洋是编如童初识之无渐至握管作文或析其数或明其理为入门之始故名勾股引 　　自筹算法行珠算可废至専用笔算筹亦似可不用宣城梅定九先生有笔算一书备极诸用然其要不过加减乘除四字今止发其端余不辞费葢全帙中皆加减乗除故也 　　筹算剙自逺西较珠算最为雅便但定位置○殊费推今有诀法有假如简明易晓庶无悮用并列制筹之法用时即不必筹便楮可代 　　数学之有开方为勾股之所必需平方易立方难今不厌其详务使开卷易明至纵方虽于勾股法不恒用然法尤防奥不可不知故并载焉 　　勾股为测量诸法之原变化神妙不外叅互一定之数今载唐荆川先生论李凉庵水部论为注释数条足以括其变化有志之士亦在熟之而已 　　测量法西刻备有成书实与中法无异但文义简奥是编显浅明晰且先列中法后列西法知中法自有勾股以来未尝礼失而求诸野但制器之巧当推西法耳 　　三率为西法比例所通用凡三角法皆三率法也今附测量之末三角法之前一览了然俾习者易如反掌 　　三角法即测量全义中所载测三角直线法至梅刻三角举要尤明显矣今备录梅本而于取边取线之所以然或附管见或补图明之 　　三角八线必检表得度虽弧三角【即西法三角曲线】与平三角防有不同未可据平三角遽为步厯之准然算三角若不得表将何印证但八线表未能备刻今附八线小表虽具体而微然与八线全表无异 　　元李栾城测圆海镜明顾箬溪为之注释宣城梅定九先生谓止容圆一术引而伸之遂如五花八门想昔时视为絶学今昌运作人算学设馆肄习然 　　天府之书无从窥见即梅刻诸书亦购觅甚难是编不辞固陋视李顾二书似各法具备且由浅入深人易晓悉譬之江河滥觞之始可涓涓不已以至于海云尔 　　钦定四库全书 　　句股引卷一 　　海寜　陈訏　撰 　　笔算 　　【古用珠算今资毫颖凡写法俱左为大右为小其法不外加减乗除其用视筹格】 　　加 　　如先有几百几十尺【举尺以例其余】又几百几十几尺又几十几尺俱平写写完用横画为界并之从末小位起每留零数写于本位每满十数即于前位加一防其前位仝先所写数又所加一防直下并之留零数进十数如前法一路并向左去凡满十者不论或百或千或万总之左位比本位多十倍俱称为十也假如一百三十四尺　又九十六尺　又一百七十八尺 　　四六八八　【从末位并起如四六八为一十八进一防于前左位留八零数写本位】三九七○　【此三九七同所进一防并之得二十进两防于前左位而本位无零置○】一　一四　【此首位有一一又连两防并之得四竟写四字于下】右共四百○八尺【从左首位至末小位】 　　减 　　先从左大位减至右末小位 　　假如四百○八尺先减一百七十八尺【存二百三十尺】 　　八　　　四 　　○　三四三 　　四三二一 　　又减九十六尺【存一百三十四尺如右】 　　如再减若干亦同此法 　　乗 　　有自乗如以一百七十八乗一百七十八有相乗如以一百七十八乗九十六之类依位数画或方或长格各管所乗之位为纵横式俱左为大右为小又每格斜界从末小位界起为斜式亦左为大右为小斜界之末格为最小之位无可并进其余斜界一路并去留零数于本位而以满一十者进一防于前满二十者进二防如前加法倒并至左写完看末位应是尺是寸逆推而上即得所乗之万千百十 　　假如自乗以一百七十八乗一百七十八 　　先写一七八于上【平写】再写一七八于侧【直写】依平位侧位画纵横格【或平位多画长方格或侧位多画直方格】再画斜格【末小位起】 　　先从右边末位乗起以末位之八乗平写之末位八得六十四写六字于末位斜格之左写四字于右 　　再以右边之八乗平写中位之七得五十六写五字于下格斜界之左写六字于右 　　再以右边之八乗平写首位之一得八写八字于下格斜界之右【以上右边之八乘完】 　　次以右边中位之七乗平写末位之八得五十六写五字于中位斜格之左写六字于右次以右边之七乗平写中位之七得四十九写四字于中格斜界之左写九字于右 　　次以右边中位之七乗平写之一得一七如七写七字于中格斜界之右【以上右边之七乗完】又以右边之一乗平写末位之八得八写八字于上位斜格之右 　　次以右边之一乗平写中位之七得七写七字于上位斜格之右 　　次以右边之一乗平写首位之一得一写一字于上位斜格之右【以上右边之一乗完】 　　各位俱乗毕将斜界各数并之图具右方右末位是尺乘尺即知四字是尺从尺逆推而上至三字是万位得三万一千六百八十四尺【若以尺乗寸则末位之四是四寸凡两钱斤之类俱同此】 　　假如相乗图算俱同自乗 　　除 　　除与减相似而不同犹加与乗亦相似而不同葢加减止用小九数如二与三为五而乗与除则两字合呼如二三得六也除即九归法列筹除实西法始创先列筹式如左 　　筹算【附筹式】 　　【筹每副九根每根九格左为大数右为小数以第一格右边字为某号筹如一字即为一号筹二字即为二号筹算时照为法之数列筹从左而右看列实数近少除之其每筹之背俱合九数面一背必八面二背必七第九号筹之背则虚界斜格无字为法数之○用其除法用法另详】 　　右每筹九格每格已备所乘之数如一号筹一 　　一如一　一二如二如第二号筹则第一格即一二如二第二格即二二如四第三格即二三如六第四格即二四如八第五格即二五得一十此一十之一字写在斜格之左为大数第六格即二六得一十二以一字写斜格之左二字写斜格之右凡筹俱左为大数右为小数也其列筹亦分左大右小如法数或系一十九则一号筹列左九号筹列右也凡两筹相并成斜方格其斜方格内之数须合并算满十即进于左位而留零数于本位其在斜方外者不可合也 　　除取近少 　　除即珠算之归法如以物求价物为法照物之数列筹价为实共若干价横写数目【亦左边起写至右邉】视列筹某格近少除之【如在第一格除即写一字如在第二格除即写二字为商除之数】所以取近少者盖以法除实必非一除可尽故留余实以便再除 　　假如做工三百八十四丈用银三千五百七十一两二钱求每丈该银若干以做工为法列三八四筹以银为实横写三五七一二取格之近少除之 　　右列三八四号筹除实视每格自一格至八格 　　俱少惟九格之　　　　　　　　　三四五六与实近少除之因在第九格为初商九余实一一五二视列筹第三格之 　　【为十一进一防于前】一一五二除实尽为次商三按初商之九写于实首位者因在三号筹左边之字除起【左边是大数即是十位】遇十在本身故第一次除写实之第一位所谓在本身也 　　右工每丈该银九两三钱 　　按定位【详后】凡法小实大者从实首顺寻法首而法前得令如工三百较之银三千是为法小实大应实上顺寻法首今实之第二位是百即为法之首位而法前得令则实之第一位是法前而第一位上之初商九乃是九两盖令者两斤尺石之所由起也九既为两则三为钱无疑故贵定位也详后法 　　置○【开方置○不用此法】 　　逢单须进位　　遇十在本身 　　退位单仍十　　两一位还升 　　各筹俱右为单位左为十位其左边无字而两筹斜格相并如五与六并为一十一之类则进于十位亦谓之十也此进位之位与本身之身俱指所商之数应写实数上之第几位如初商在第一位次商在二位之类为一定之位而进位则从本位而进于左位也依此写法有不相连接中间空一位者是商数大小相悬应置○也 　　退位单仍十句即补首句逢单须进位之所未尽盖如同是筹上之单位除实而所除之实位或有用退位除者则虽在筹右格之单位除仍作遇十在本身其所写商数初商在首位次商在次位也 　　假如实一十一两七钱二分　法二十三石【列筹】列三号三号筹视五格至九格俱浮于实惟退位除则第四格　之九二是零数与一之大数相近故从实首除筹之一十为九除十而于次位还一则所除乃在第二位而书商数于实首位是为单仍十耳然次位除起而实首书商数则依然逢单进位也 　　两一位还升句承上退位句以申明逢单须进位也谓惟退位除者虽单亦同十耳若实首是一法首亦是一而恰用第一格除实则逢单应书商数于实首一之前位上葢总以筹之左大右小为逢单遇十故前句是退位除者虽在单格亦作十论而在本身置商此句两一是虽或一十一百而在筹格之单位除者亦作单论而在本身前一位置商也