御制数理精蕴 - 第 153 页/共 595 页

求分杪 　　凡有开不尽者或不命分欲知若干分杪于余实下增两○位为○○则多开一位而分杪可得矣【平方隔一位防是每开两位故増○○】 　　右皆开平方法其平方带纵者开方附左 　　平方纵 　　列积实依开方商除法每商除实得商数以乘纵数除余实其次商倍初商数除实以次商数乗纵数除余实但倍商不倍纵余商同法合每商之数为阔【即正方】加纵数即纵之长方 　　如纵数有比例可求者先以比例分其积而余积以平方开之得阔因以知其长 　　开方得阔加纵式 　　假如长田六百二十四步　　阔不及长二步 　　初商得二除四百步　又以商数二乗纵二步【二二如四】除四十步　　余一百八十四步又倍初商列四号筹次商四格除一百七十六步　又以商数四乘纵二步【二四如八】　共一百八十四步除尽为次商四 　　开得阔二十四步　加纵二步为长二十六步 　　比例分积式 　　假如直田积四百五十步　长多阔一倍法平分其积得二百二十五步平方开之得阔一十五步倍之得三十步即长 　　假如长田积二百五十二步　长比阔多四分【分母】之三【分子】 　　法以分子三加分母四共七为法以分母四乗积为实法除实得一百四十四步开方得阔一十二步又以阔一十二步七因四除之得二十一步为长【长比阔多九步较之十二步为四分之三】 　　开立方法 　　从末单位防起每防隔二位视列实位一防一开二防二开余同 　　凡一防者方根必单二防者方根必十以次而増先从列实左大位视立方筹取近少除之 　　防前无余除一二格之单位防前余一除三四格之十位防前余二除五六七八九之百位 　　立方根单其积实必从单至几百止如九之所积其平面自乗得八十一而立体则九与八十一相乗得七百二十九故根单必积实至百位而单位防起隔两位至百也 　　立方根十其积实必从几千至几万几十万止如九十之所积其平面自乗得八千一百而立体则九十与八千一百相乗得七十二万九千故根十其积实必从千位万位至十万位止而防亦隔两位也余以类推 　　立方积实必得三位故一防一开二防二开而开数定于此矣一防者根必单二防者根必十方根定于此矣初商除至左首防位止次商除至次防位止置○肇于此矣若尾位列实止于十则实右补一○列实止于百则实右补○○以便从单位防起若列实不至单位止则防位一错而开数方根置○俱因之以错矣故列至单位开方之异于筹除者在此 　　初商 　　法同平方视列实用立方大筹视单位十位百位依法取近少除之至前首防位止在第几格为初商若干为方根 　　次商 　　以初商方根自之【即自乗】又三倍自乗之实得若干列某号筹于立方筹之左为平廉法 　　再以初商方根竟三倍之列某号筹于立方筹之右为长廉法 　　视平廉筹及大筹某格近少列为平廉约数 　　将平廉约数在某格之隅数【即大筹两行平写之数】乗立方大筹右之长廉【如九格之八一为隅数即将长廉筹八格一格所列之数依大小次并之】得若干数为长廉约法 　　并平廉长廉两约数若干以减初商所余之实至次防位止为次商若干 　　如并两廉数浮于实须退位改商如位多于实应置○不得除至次防位后 　　右立方有平廉三长廉三与平方异 　　三商 　　去前商左右列筹 　　以初商两商自之又三倍之为平廉列筹于立方筹左 　　再以初次两商竟三倍之为长廉列筹于立方筹右如前商法除至三防位止 　　四商【以下皆同】 　　去前商筹依法列平廉长廉筹除至末防位止为四商若干如尚有余实依命分法 　　右前法俱前商之后即将前各商数自之又三倍之为平廉列筹视某格与余实近少列为平廉约数再以前各商竟三倍之为长廉列筹【俱依前法分列大筹左右】视平廉约数在某格之隅数取以乗长廉得若干数为长廉约数其万千百十各依位数附于平廉之本位并之而除余实其隅数即在大筹之除格其廉积即在散筹之每格仍是于全数中除两廉应除之余实而隅数亦不烦再乗再除也梅定九先生筹算仍依古法先以前商三倍之为廉法以前商数自之又三倍之为方法以方法除余积得次商既得次商用其数以乗方法为三平廉积又次商自乗以乗廉法为三长廉积再以次商为隅法以隅法自乗再乗得小立方形为隅积三共并之除余积不知既列筹除则筹之每格即乗有廉之全积何必多此一乗且大筹在初商为方根在每商即为隅积今用筹倂除何必又自乘再乗耶 　　立方筹右行隅数定位 　　二开　次商三格以上是单位　　四格以下是 　　十位 　　三开　三商三格以上是单位　　四格以下是 　　十位 　　次商三格以上是百位　　四格以下是千位 　　四开　四商三格以上是单位　　四格以下是 　　十位 　　三商三格以上是百位　　四格以下是千位 　　次商三格以上是万位　　四格以下是十万位 　　右隅数以末商三格以上是单四格以下是十起层累逓加 　　法式 　　二开商式 　　假如积实六千八百五十九 　　两防两开 　　两防根必十 　　防前无余从单位 　　防俱隔二位【连本位共三位】 　　初商　列立方大筹视第四格之六四虽系近少然防前无余必从单位除寜可在第一格除一盖第二格虽亦单位然八浮于六不可除实故除一格之一为近少除去一千为初商一【两防根必十此初商一为方根一十】 　　次商　以方根一十自之又三倍自乗之实得三百列三号筹于立方筹左为平廉筹又以方根竟三倍之得三十列三号筹于立方筹右为长廉筹前商余实五八五九视平廉筹之九格三四二九相近列为平廉约数其九格之隅数八一乗长廉之三十得二千四百三十为长廉约数 　　并两廉约数共五千八百五十九除实尽在第九格为次商九 　　次商在九格除尽即次商隅数九亦在除内葢隅在长平两廉相凑之角故次商之隅即同次商之商数其在大筹之第几格者为隅之边数而在第几格之自乗者为隅之实数今与大筹并列同除故隅亦在其中也 　　三平廉贴于前商方形之正面侧面及或上或下而后成四方平等之方故次商先以方根自乗者乗平廉一面之全数也三倍之则所贴方根三面之平廉全数也但全数与方根等方而全数之积多于现在之余积故于此三平廉全数中视某格与余实近少而为平廉约数然此三平廉者与方根阔狭厚薄相等今三面贴凑止能悉照方根之方而不能凑合成方根外加廉之方故又有长廉三一纵二横补于平廉不能合缝之际始得凑合成方法以方根又三倍之者成三个长廉之全数也再以平廉之隅数乗长廉则为现在平廉贴身应得之数为长廉约数并之除余实而隅亦在所除之中而此四面之方凑合无缺矣葢平廉以方根为准长廉以平廉为准而隅数与平廉长廉又互相为准数藏大筹巧在与大筹并列同除法精密矣 　　初商次商退位除式 　　假如积实一万九千六百八十三 　　初商二十　积实两防两开方根必十防前余一位应从立方筹之十位除实但筹之三格四格俱大于积实应退在第二格之八除八千【筹格退位】余一一六八三 　　此退位不用三四格除实而退至二格者筹数浮于实数用退位除恰除至防位止故取二格之八为近少也此初商止退筹格不退商位 　　次商七　先以方根二十自之得四百又三倍之得一千二百取一号二号筹列立方筹左为平廉以方根二十竟三倍之得六十取六号筹列立方筹右为长廉　虽九格一万一千五百二十九相近然再加长廉便浮于实故不取九格【凡平廉筹格与除至防位之实位数相当者则万千十百之数亦必相符今防位前实系一万一千六百八十三平廉九格恰五位便是一万一千五百二十九矣盖二开次商得九以九乗平廉法得廉约数一万○八百加隅约数七百二十九共数如前以此推算即得实数然不如即视位数更为简防故比防位少一位则其数必小多一位便须置○也】八格之一○五一二虽更相近然若以八格之隅数六十四乗长廉之六十得三千八百四十并平廉八格之一○五一二为一万四千三百五十二亦浮于现在之余实故又应退格取七格之八千七百四十三单为平廉约数取七格之四九隅数乗长廉之六十得二千九百四十为长廉约数俱系千数可并进而除首位次位之一　一矣于是并两廉约数共一万一千六百八十三单除尽为次商七 　　【此退格约廉因筹数虽浮筹位不多于余实故止退格而不改商也】自乗再乗还原 　　次商置○式　三商加○筹式 　　假如积实一亿二千九百五十五万四千二百一十六 　　三防三开 　　防前余二位