御制数理精蕴 - 第 159 页/共 595 页

二　甲分角【十度】割线　一○一五四三 　　三　甲丁中长线　　三百四十六尺四寸一分 　　四　甲乙边　　　　三百五十一尺七寸五分右甲分角以中长线为底则割线即甲乙边 　　求甲全角 　　以丙角【六十度】之余角三十度【即分形甲丁丙之甲分角】与求得甲分角【一十度】相并得四十度为甲全角 　　求乙角 　　以甲分角【一十度】减象限得八十度为乙角【或并丙甲二角减半周同】 　　右例有两边一角而角在两边之中不与边对故用分形以取勾股 　　用切线分外角【梅本新増】 　　假如【甲乙丙】鋭角形有甲丙边【四百尺】乙丙边【二百六十一尺○八分】丙角六十度 　　求甲角 　　以甲丙边乙丙边相并为总相减为较又以丙角【六十度】减半周得外角【一百二十度】半之得半外角【六十度】检其切线依三率法求得半较角以减半外角得甲角 　　一　　两边总　　　六百六十一尺○八分二　　两边较　　　一百三十八尺九寸三分三　　半外角切线　一七三二○五 　　四　　半较角切线　○三六三九七 　　检切线表得二十度为半较角转与半外角【六十度】相减得甲角四十度 　　求乙角 　　以甲丙二角相并共【一百度】以减半周得余八十度为乙角 　　求甲乙边 　　以甲角【四十度】正　六四二七九 　　比丙角【六十度】正　八六六○三 　　若乙丙边　　　　　二百六十一尺○八分 　　与甲乙边　　　　　三百五十一尺七寸五分按此新増例即前有一角两边而角在边中不与边对之三角也但此不用求分边分角之烦而径求甲角之半较角葢一弧之中既有丙角则所余之度皆甲乙之角为丙之外角应将外角中分为半外角以为甲乙两角之地然甲角边长鋭于乙角则乙角必大甲角必小又应于外角之半分出较角而后甲角始得其真在半外角既中分外角之半则此较角亦必中分较角之半为半较角故先以边总比边较为一二率盖边总如半外角之总犹之外角一百二十而半外角止六十也以边较求甲角之半较角犹甲角小于乙角若干而此求得之较为小于乙角若干之半名半较角也所以求切线者盖切线在各弧之贴际必与本角之底为直角形如勾股其线遇本角之割线而止今所求在所割之半较角则莫如半外角之切线比半较角之切线同在弧之贴际不烦更觅他线也梅刻増此一条简捷巧便而所以然之理初学茫然为补图明之如左 　　此平三角借弧以明其理 　　若弧三角所容三角不止 　　三个如平方立方有面体 　　之别后同 　　有三边求角【鋭角之三】 　　假如【甲乙丙】鋭角形有乙丙边【二十丈】甲丙边【一十七丈五尺八寸五分】乙甲边一【十三丈○五寸】 　　求两勾相减之数为勾较 　　任以【乙丙】大边为底从甲角作甲丁虚垂线至底分为两勾股形 　　一甲丁丙形以甲丙边为丁丙为勾一甲丁乙形以甲乙边为丁乙为勾两相并为总相减为较　两勾相并【即乙丙边原数】为勾总　求戊丙勾较 　　以勾总比总若较与勾较 　　一　　两勾之总【即乙丙】　二十丈 　　二　　两之总　　三十丈○六尺三寸五分三　　两之较　　四丈五尺三寸五分四　　两勾之较【即丙戊】　六丈九尺四寸六分此欲求丙角而甲乙角无度则无线可比止乙至丙之勾似丙角之余然余长短必限于正今甲丁中垂线即丙角之正今若求丙角余又多乙丁勾之长故先求勾较之丙戊既得勾较则可加分形之勾【戊丁】而得丁丙分边与丙角之余等以之比例而得丙角之余即查表得丙角之度 　　求分形之两勾 　　以勾较【六丈九尺四寸六分】减勾总【二十丈即乙丙】余乙戊【一十三丈○五寸四分】半之得丁乙【即戊丁】六丈五尺二寸七分为甲丁乙分勾之形 　　又以戊丁【六丈五尺二寸七分】加勾较【六丈九尺四寸六分　即戊丙】得丁丙一十三丈四尺七寸三分为甲乙丙分勾之形 　　求丙角 　　以甲丙比丁丙勾若半径与丙角余 　　一　　甲丙边　　一十七丈五尺八寸五分二　　丁丙分边　一十三丈四尺七寸三分三　　半径　　　一○○○○○ 　　四　　丙角余　○七六六一六 　　检余表得丙角四十度 　　求甲角 　　先求分形大半之甲角 　　以丙角【四十度】减象限余五十度为【丁甲丙】分形甲角 　　次求分形小半之甲角 　　以甲乙比丁乙勾若半径与分形甲角之正一　　甲乙边　　　一十三丈○五寸 　　二　　丁乙分边　　○六丈五尺二寸七分 　　三　　半径　　　　一○○○○○ 　　四　　甲分角正　○五○○一五 　　【以甲丁为底则甲乙边如半径而乙丁边如甲分角之正】 　　检正表得三十度为【丁甲乙】分形之甲角并分形两甲角【先得五十度次得三十度】得共八十度为甲全角 　　求乙角 　　并丙甲二角共【一百二十度】以减半周得余六十度为乙角 　　钝角 　　有两角一边求余角余边【钝角之一】 　　假如【乙丙丁】钝角形有丙角【三十六度半】乙角【二十四度】丁乙边【五十四丈】 　　求丁角 　　以丙丁二角并共【六十度半】以减 　　半周得余一百一十九度半为丁 　　钝角 　　求乙丙边 　　以丙角正比丁角正若乙丁边与乙丙边一　　丙角【三十六度三十分】正　五九四八二二　　丁角【一百十九度三十分】正　八七○三六 　　三　　乙丁边　　　　五十四丈 　　四　　乙丙边　　　　七十九丈○一寸右所用丁角正即六十度半正以钝角度减半周用之凡钝角同 　　求丁丙边 　　以丙角正比乙角正若乙丁边与丁丙边一　　丙角【三十六度三十分】正　五九四八二二　　乙角【二十四度】正　四○六七四 　　三　　乙丁边　　　　五十四丈 　　四　　丁丙边　　　　三十六丈九尺二寸 　　凡钝角以外角之正为正盖即 　　此钝角之外角也如图丁为钝角乙 　　丙为丁角所对之弧乙丁甲为丁角 　　之外角至于正皆以本角之勾为 　　底以割线【半径同】与弧之相界处直线 　　垂下与本角之底为正方直角如图 　　乙丁甲为丁角之外角乙丁如外角 　　之割线夘丁如外角之余而夘乙 　　则外角之正也至如丙角以丙丁 　　为底其正丑丁近乙丁边乙角以 　　乙丙为底其正子丁近乙丙边也 　　补图明之 　　有一角两边求余角余边【钝角之二】 　　假如甲乙丙角有乙角九十九度五十七分钝角形【此钝角所对之弧度分】甲丙边四千尺甲乙边三千五百一十七尺 　　【前则用他角求钝角此则用钝角求他角】 　　乙角为钝角 　　甲丙为钝角所对之弧度 　　乙丁为丙角正 　　甲戊为钝角用外角之正