御制数理精蕴 - 第 152 页/共 595 页

假如实一百五十七两　　法一百二十六石列一二六筹在第一格右小位除实则应置商于实本位之前一位 　　若法实俱是一在左大格除者不宜进位置商假如实一七八二　法一八 　　列一八筹初次商俱在九格除实俱筹上并进左大位是十位是遇十在本身其商数不宜进位也 　　右依前法写商数而中间空缺不接连者即○位也 　　定位 　　法小实大顺寻法首而于法前得令 　　假如人参三十五两用价共二百二十七两五钱 　　求每参一两价若干【以银为实　以参为法】 　　五　　列三号五号筹【此即参为法】除实 　　七　　筹第六格除二十一是遇十在本身写 　　五　二　　六字于实之第一位上余实一七五除第六　二　　五格亦遇十在本身写五字于实之第 　　二位上【除尽】 　　顺寻法首者如上所列实二百二十七两五钱人参为法是三十五两则十为法首而实之第二位是十为法首位直上所写商数之五即法首位而法前得令令者两也实首直上之六为法前法前得令为六两六既为两则五为钱矣答曰每参一两价银六两五钱 　　法大实小逆寻法首而于法前得令 　　假如堤工三百五十用银二十二两七钱五分求每一工该银若干【以银为实以工为法】 　　列三号五号筹除实同前 　　法之首是百实之首乃是十是为法大实小当实首十逆推法首百则实之前位即法首位而实前第二位是法前位以之得令为两而顺逓推下则初商之六乃是分位次商之五乃是厘矣答曰每人一工该银六分五厘 　　又如法愈大实愈小则实前逆寻法首或二○三四○法前得令仝前 　　假如隄三千四百工共银一十五两三钱求每工该银若干【以银为实以工为法】 　　实　　列三号四号筹除实 　　三　　初商四次商五俱筹上左边除实商数各依遇十在本身写法数千银数十为法大实小从实首十数逆寻法首则实前二位为法首而又于法前得令起两退右挨数则实首上之四为四厘挨右之五为五毫矣 　　答曰每工四厘五毫 　　法实等者实首即为法首而于法前得令 　　法实相等如同是千同是百之类 　　命分 　　凡除至单位而止故曰实如法而一所谓一者即单也其除之至单位仍有不尽之余实则以分命之其一除之至尽如钱分厘毫丝忽以次求之其一以法数为分母不尽者为分子命为几分之几 　　假如十九人分银二百五十四两依商除法已各该一十七两矣不尽七两命之曰十九分两之七【葢以不尽之七剖为七个十九分得一百三十三分以十九人分之各得七分并整数零数为每人分得十七两○十九分两之七】 　　附约法【厯法用之便于积算余可不必】 　　凡命分可约者约之古法曰可半者半之不可半者以少减多更相减损求其有等者以等约之西法谓之纽数以等数约母子数则皆除尽【如八十一人分银二十七两不能各得一两并不能各得五钱依命分法命为八十一分两之二十七今以法约之为三之一葢八十一是三个二十七若剖两为八十一分即各得二十七分是三之一也】 　　【均分法曰置分母八十一用逓减法以分子二十七减之余五十四复以二十七减之余仍二十七两数相同是有等也即用此二十七转除分母得三除分子得一如此不用细分但以每两均剖为三而各得其一分即三人共一两也】 　　【若分子是五十四则用转减法以子五十四转减母八十一余二十七又以母余二十七转减子五十四亦余二十七是相等也即以此等数为法除母得三除子五四得二是为约得三之二又防法八十一乃九九相乗之数二十七乃三九相乗之数皆九也即可为纽数约之为九分两之三】 　　当位 　　筹算求两斤尺石之类竟除近少或即除尽不用当位法惟开方每商后应取两廉约数故如余实一百先取长廉时虽或筹之第一格是一百寜可取第九格除九十以便取长廉也今开方依西法用筹故先附此 　　右各法俱筹算入门之始从此开方句股三角握算推步无虑紊悮矣【惟开方置○与此不同】 　　句股引卷一 　　钦定四库全书 　　句股引卷二 　　海寜　陈訏　撰 　　开方 　　开方为句股积幂测量步算之源其法取积实归除使均齐方正知每边得若干数其用筹除实视某格为某商若干等类俱如前法有平方大筹立方大筹置廉用散筹 　　平方开面立方开体皆开除所积之实平方则开平面所积之方故大筹每格止一自乗立方则开立体所积之方故大筹每格其右边直行先平列一自乘数其中左两行虽有斜格而平行每格又以自乗之数与每格之一二三四五六七八九相乗盖如围棋子平方则四边十九而三百六十一为十九个十九也立方则十九个三百六十一也又平方立方俱以第一次大筹除实之格为方根后各依法加廉其大筹所除之格其实即隅积其平行之数即隅数且隅积即在平廉约法中并列并除此天然之巧也凡测算虽极逺极大其所测中心止凭一防其逺近多少相距亦止凭一防从此防至彼防则有线线即有所积之面面即有所积之体故平方开面立方开体皆因其所积之面与体以求其所距之线与所测之防为句股三角之用也【此所测之防非开方防定开位之防】 　　开平方法 　　先防定开位从末单位防起【如积实尾无单位者于尾位置○防起】隔一位防以至实首一防一开二防二开开不尽者命分 　　一防者根必单二防者根必十【俱以次増】先从左大数视平方筹相近之格除之开数定则方根之十百千万亦定矣【立方同】 　　凡初商除至前第一防止次商除至前第二防止如次商防位前原止二位而筹格有三位不得除至第二防后便须置○于次商为次商○三商以下皆然 　　初商法 　　平方筹取近少除实至前第一防止在第几格即为初商若干此第一次除之商数名为方根 　　防前无余者从筹上一二三格之单位除防前有余者从筹上四五六七八九格之双位除如实少于筹者用退位法除 　　次商法 　　以初商所得数倍之为廉以所倍之廉数列筹于平方筹左取某格近少除之为次商若干 　　三商法 　　以次商所得数倍之为廉列筹于次商筹之右平方筹之左除实同前法【各商同此】 　　每商置○定位三则【开方定位依防逓加不用顺寻逆寻法立方同】 　　三商式 　　如列实三防为三开【从末零位防起每开一位】防前无余该大筹单位除实三格内除九为初商三写三字在首防积实之 　　二　　上 　　三　九　　次商应倍初商之三列六号筹为廉除○　　实若取近少莫如三格但次防位前实止有二位而筹有三位不得除至次防位后便须置○是为次商得○写○于次防位积实上隔○筹于平方筹左三商既列六号筹○筹于平方筹之左便应统取近少除至末防位止今四格恰除尽为三商得四写四于末防位积实之上 　　三商根必百故初商之三为三百 　　四商式 　　防前无余大筹单位除九初商得三书商数及置○与三商俱同前法 　　四商倍三商之四列八号筹于大筹之左及前六号筹与○筹之右四格除尽 　　为四商四 　　四商根必千故初商之三为三千 　　四商○○式 　　初商视平方筹取三格除九为初商得三次商倍方根列六号筹于表左应除至次防位止但次防前实止一位而法之一格两位下俱三位便须置○隔○筹于前列筹右平方筹左为次商得○ 　　三商应除至三防位止但三防前止三位取近少在三格法有四位便须置○隔【○】筹于前列筹右平方筹左为三商得【○】四商四格恰除尽为四商得四四商根必千故初商之三为三千 　　加筹 　　凡商除之后如两廉必倍前商之数如前商一加二号筹前商二加四号筹之类此易明惟前商五倍之加一十则加一号○号两筹葢五加一筹○筹方是一十若不○筹则一为单数矣若前商之廉是十数又当为升筹 　　升筹 　　凡商除之后如有加两筹者当用升筹法葢同位则升也如平方三开其初商二是为二百次商倍之为廉是四百应列四号筹矣其次商六是为六十三商倍之为廉是一百二十似应再列一号二号筹于前商四号筹之右然从四号筹挨次而来似乎四百一十二而非倍六十之一百二十矣故应将一百与四百并之为五百连二十为五百二十升作五二筹列于平方筹左而前商之四号筹去之 　　隔筹 　　每商必加倍数筹以为廉法故前商既置○矣亦须隔○筹于前列筹之右以为后商之廉法而取近少除实为后商其前列筹固倍数也而○不必倍者葢置一○只应隔一○筹耳【立方每隔○○两筹与平方异】 　　命分 　　见前筹算法视末商筹之第一格为若干分视所余不尽之实命为若干分之若干分 　　如余积五十七如末商两廉列八号四号筹【连前商筹在内】视第一格八四一命为八百四十一分之五百七十分葢第一格是两廉每加一分之全数故止视第一格而命其全数与现在不尽之分也