御制数理精蕴 - 第 154 页/共 595 页

初商防前余二位视立方大筹百位除实第五格之一二五近少除之得初商五百 　　次商以方根五百自之得二十五万又三倍之得七十五万为平廉列七号五号筹于立方筹左以方根竟三倍之得一千五百为长廉列一号五号筹于立方筹右若取平廉筹相近莫如第六格之四五二一六相近然次商应除至次防位止今筹位多实位少若依筹位即平廉巳除至防位后何况更有长廉是必变商之大位为小位则有后商防前之实应除而不患除至防位之后故应商数置○为次商○【前二商式是退格并亷此处次商是退位再商故有置○不置○之别】 　　三商　因前平廉筹巳备三廉实数尚未商除而前商之○又无实数可三倍故不去前筹不将前商自之又三倍之止于立方筹左前平廉筹右加○○两筹盖立方毎防隔二位今加○○筹则前商变为后商变次商之十为三商之单矣故平廉筹仍照前七十五万而七五列筹之第六格之四百五十万相近又立方大筹六格之二百一十六单共四五○○二十六列为平廉约数 　　再以隅数之三六在三开次商为三千六百者今为三开三商之三十六【见前隅数定位】以之乗三倍方根之一千五百为五万四千列为长廉约数并之共四百五十五万四千二百一十六除余实尽为三商六 　　右共开方得五百○六 　　自乘再乘还原 　　五开 　　三商列筹不隔○　商数置○式 　　四商隔○筹式　　又商数置○式 　　五商又隔○筹式 　　假如积实一万七千三百一十八亿【即万万】九千○百九十一万六千七百二十九 　　【按他书十万曰亿算学书万万曰亿后同】五开列实如左 　　五防五开 　　五防根必万 　　防前无余从单位 　　初商　防前无余从立方筹单位一格除实一万亿为初商方根一万 　　次商　以初商一万自之得一亿又三倍之得三亿列三号筹于立方筹左为平廉 　　以方根一万竟三倍之得三万列三号筹于立方筹右为长廉 　　视第二格之六○八近少为平廉约数 　　以此三号筹二格之隅数四乗长廉之四得一二为长廉约数【按隅数五开次商三格以上是百万位】并之除七千二百八十亿为次商二千 　　三商　以前初商除一万亿次商除七千二百八十亿余实三八九○九一六七二九 　　去前所列筹以初次两商【共一万二千】自之得一四四又三倍之得四三二列筹于立方筹左为平廉 　　【凡乗大数各存○余位则从单位逆推乗数定位不紊】 　　上图如两商一十二 　　万自之得一亿四千 　　四百○○万 　　再以初次两商一万二千竟三倍之得三万六千列立方筹右为长廉法 　　如法列两廉约数取近少莫如九格【三八九五二九】但三商应除至三防位止今筹格六位而第三防前连防位亦止四位法实不符应商除退位不但变大数商为小数商又有后商防前之实可合筹格之多位应本商置○为三商○百 　　四商　立方凡前商置○则后商应隔○○两筹以当每防之隔二位列于平方筹左前商平廉四三二号筹之右为平廉再如法列长廉筹取两廉约数并除余实又莫如九格【三八八○七二九】但五开四商应除至第四防止今第四防之前止七位而筹格有八故又应置○为四商○十 　　五商　依立方法后商应去前商之廉筹另依商法置平长两廉筹约数除实今前三四两商俱未除实俱退商数置有○○今五商仍存前商廉筹及○○筹再加○○筹以当每防之隔二位列于立方筹左廉筹及○○筹之右为五商之平廉仍用九格之三八八八○○○七二九为平廉约数【此约数首位三系十亿位】 　　再以九格之隅数八十一【五开五商次格以下是十位】乗长廉之三万六千得二百九十一万六千为长廉约数并之除余实至五开尾防位止为五商九 　　右五商共一万二千○○九 　　【末商平廉　三八八八○○○七二九长廉　　　　二九一六 　　并之　三八九○九一六七二九】 　　右五开式末商九是单数凡立方积不过至十位百位止今何以能除至三十八亿九千○百万各位之多葢三商○四商○虽两商无除而○无定位列实未除之三八九○万即皆前商平廉之所应有之数改商而未尝改廉但因筹数位多实数位少故知三四商之皆应置○而前商未除之平廉其约数仍在至五商则但以五商之隅数乗前商原有之长廉以为长廉约数葢隅因亷为升降而亷依方限不因商为升降特借五商之九同格幷除非单九能除至十亿位也 　　立方带纵 　　方为阔加纵为长法与开方无异先视某格与方根近少为商数乗纵数再乗得纵积并入方积以减原实为初商 　　次商以下更加纵积纵廉积除余实为次商【余商同】并两商数得阔因阔以知长 　　【用防定开位悉依立方　纵积除至防后】 　　如初商视立方大筹某格近少之格数取为方根依定位列于原实之下又以方根之数因纵数若干即以因得之数再乗方根数得若干为纵积依定位列方根之下并减原实为初商若干 　　【按方根悉如开方法但未即除实如并纵积多于原实应退位或改商或退格在方根不可除至防后其并纵积则除至防位之后葢纵在立方之外积非立方之积不可以每防之位为定也】 　　如次商列平廉长廉法悉如立方先取平廉约数依定位列余实之下再取长廉约数列平廉约数之下次以次商之商数【有两廉约数在某格即某格是商数】因纵数得若干再以商数乗之为次商纵积依定位列两廉约数之下又以纵数倍之为纵廉法乗初商数得若干以乗得之数与次商数乗之得若干为纵廉积依位列于约数之下共并之减原实为次商若干 　　右纵方两开者次商之平廉必列至次防位止如有三开者则加纵积纵廉积除至次防位之后【与开方不同】止两开者即并积亦必次防位止若并积之位浮于余实应退格改商以除实若平廉各格多于防前之实或应退格或应置○同前开方置○法 　　三商以下列廉法悉如前其纵廉法应乗上初商次商再以乗得之数乗末商为纵廉积并除实【四商以下同】 　　如积实九万七千二百○十○尺但云阔不及长三尺 　　初商近少在四格即方根四十阔不及长三尺即三为纵法乗初商之四十得一百二十【此纵靣】再以初商四十乗一百二十得纵积四千八百【此纵体】先以方根积六万四千照位列实下又以纵积四千八百列方根积之千位下并之得六万八千八百减原实为初商四十余实二万八千四百不先除方根者恐加纵积多于原实故先并后除 　　次商以方根四十自乗得一千六百尺又三倍之得四千八百为平廉列大筹左再以方根四十竟三倍之得一百二十为长廉列大筹右取平廉第五格【二四一二五】为近少为平廉约数以五格之隅数【二五】乗长廉之一百二十得三千【两开次商四格以下隅数是十】为长廉约数列于平廉下之千位 　　以纵法三尺乗次商五得一十五再以五乗一十五得七十五为次商纵积照定位列于两廉之下又以纵法之三竟三倍之得六为纵廉法乗次商四十得二百四十再以二百四十乗次商五得一千二百为纵廉积照定位列于纵积之下 　　并之共除余实二万八千四百尽为次商五右共开方四十五尺加长三尺为长四十八尺 　　如积实二百万○○○○○○尺　但云阔不及长三尺 　　三防三开　初商是百 　　防前无余 　　初商一【在大筹单位除实】以三为纵法乗商数一百得三百【此纵靣】又以商数一百乗三百得三万【此纵体】合方根积共一百○三万减积实为初商阔之一百按此初商除方根并除长三尺之纵但止除方根等形之纵未除次商后加纵廉积之纵 　　次商依立方法平廉三万长廉三百取近少【三格九二七以相近因纵有纵积应加故退格约廉】二格之六○八相近为平廉约数 　　以第二格隅数四【三开次商三格以上是百位】乗长廉得一十二万为长廉约数 　　以纵法三尺乗次商二十【取平廉长廉约数俱在二格即是二十】得纵面六十又以商数二十乗纵面六十得纵积一千二百 　　以纵法三尺倍之得六为纵廉【次商方根加廉则所之纵亦应加廉但次商之纵是小于方根加廉之纵而非短于方根之纵止纵旁两边有廉而纵顶无廉故法止倍之】乗初商一百得六百即以六百乗次商二十得纵廉积一万二千 　　并之 　　平廉约数六十○万八千 　　长廉约数一十二万 　　纵积一千二百 　　纵廉积一万二千 　　共七十四万一千二百减余积仍余二十二万八千八百○十○单 　　为次商二十 　　三商平廉三千二百长廉三百六十依开方法置筹取第五格近少二十一万六千一百二十五为平廉约数 　　以第五格隅数二十五乗长廉三百六十得九千为长廉约数 　　以纵法三尺乗商数五得一十五又以商数五乗一十五得七十五为纵积 　　以纵廉六【纵法三尺倍之得六】乗初次两商之一百二十得七百二十又以七百二十乗三商五得三千六百为纵廉积 　　依法并之共二十二万八千八百○○除实尽为三商五 　　右共开方一百二十五尺加纵三尺为一百二十八尺 　　按立方纵初商未开之前其所开之方未有定数而纵长三尺则有定数然虽有定数而如三开者其方阔必等于每开立方之边或匾纵或长纵故每商必先依开方法开本身立方之方再以纵之三尺乗商数得纵之面更以商数乗纵之面而得纵之积在初商无廉故止并方根积与纵积除实为初商若干也至于次商则方根有廉而所立之方其形更大于方根今纵方则其长虽定于三尺而其方之大小应与次商之方相等但立方之廉有三而此纵方则纵首无廉止应两旁有廉故廉止于二但此两廉亦止如方根之方其合缝之处亦如立方平廉之不能凑合必有一长廉焉于是以纵法乗次商而得纵长廉之面又以次商商数乗纵面而得纵长廉之积此所谓纵积也其实乃纵之长廉积也于是纵之两平廉以纵法倍之即以乗初商之数为纵平廉之面以此纵平廉之面乗次商商数而得纵平廉之积于是所之纵其纵则定于三尺而其方之形与次商之方等矣葢其法与开立方同而立方则先有平廉后有长廉今开所之纵乃先有长廉后有平廉此为异耳至三商与次商同惟纵廉积以纵法乗初商次商之商数而以乗得之数再乗三商之商数葢必连初商次商再乗三商方是三商纵之平廉其廉比初商次商较薄而其方之形则初商次商后之三商其阔狭与三商有廉之方相等其理一也 　　附立方减纵法 　　假如立方积五千七百七十六尺　但云长不及阔三尺 　　防前无余除单格 　　初商除一格之单位因二格之八浮于列实故止除一格之一为商数以三尺为纵法乗商数一十【两防根必十】得三十再以三十乗商数一十得纵积三百以初商方根积一千减去纵积三百余七百以减原实为初商一十 　　余实五千○七十六尺 　　次商依开立方法列平廉长廉筹近少取三号筹【次商以初商自之又三倍之】之九格三千四百二十九为平廉约数以隅乗长廉得二千四百三十尺为长廉约数合之为五千八百五十九【其数稍浮于实者立方积也后以纵积等减之乃成匾方形故凡减纵之末商必约数浮于实以待后减】为立方两廉约数次以纵法三尺乗次商九得二十七尺为纵面又以次商九乗纵面之二十七得二百四十三尺为立方减纵之长廉积今名纵积 　　次以纵法三尺倍之得六尺为纵廉以乗初商一十得六十即以六十乗次商九得五百四十尺为立方减纵之两平廉积今名纵廉积 　　合纵积纵廉积共七百八十三尺以减立方之两廉约数余廉积五千○七十六尺减余实尽为次商九【此余廉积即前立方两廉不浮之约数葢既先于前所稍浮之立方廉约中除纵廉等积则所余者乃方根应有各廉之真数因本商未除故末后除之而合也】 　　右共开得阔一十九尺减长不及阔三尺为十六尺长 　　以上纵方开法初商方根积必至首防位止次商平廉长廉共约数必至次防位止不得除至防位之后惟减纵每商之廉其约数应稍浮于列实以待后减纵廉等积