御制数理精蕴 - 第 160 页/共 595 页

求丙角 　　以甲丙边比甲乙边若乙角正与丙角正 　　一　　甲丙边　　　　　　四千尺 　　二　　甲乙边　　　　　　三千五百一十七尺三　　乙角【九十九度五十七分】正　九八四九六【即八十度三分正度】四　　丙角　　正　八六六○三 　　检表得丙角六十度 　　按乙角为钝角其所用外角之正即钝角九十九度五十七分减半周一百八十度所余八十度○三分之外角其所有之正也【每度六十分】求丙角者止丁外角之正可比丙角之正故先以甲丙边比甲乙边为例俱以长比短而纵与纵为同类 　　求甲角 　　并乙丙二角共一百五十九度五十七分以减半周得余二十度○三分为甲角 　　求乙丙边 　　以乙角之正比甲角正若甲丙边与乙丙边一　　乙角【九十九度五十七分】正　九八四六九二　　甲角【二十度○三分】正　三四二八四 　　三　　甲丙边　　　　四千尺 　　四　　乙丙边　　　　一千三百九十二尺右甲角正以甲丙为底乙已即甲角正与甲已为正方角此二则皆以大比小右例有两角一边而先有对角之边若两边一角而边在角之两旁不与角对又另法如左 　　假如乙丁丙钝角形有乙丁边【一千○八十尺】乙丙边【一千五百八十二尺】乙角【二十四度】 　　丙戊为虚股　戊丁为虚勾 　　乙角乙丁为底丑丁为正　乙丁 　　即余　丙角丙丁为底子丁为正 　　 　　先以半径比乙角正若乙丙边与丙戊边 　　一　　半径　　　　一○○○○○ 　　二　　乙角【二十四度】正　○四○六七四 　　三　　乙丙边　　　一千五百八十二尺四　　丙戊边【即虚垂线】　○六百四十三尺 　　又以半径比乙角余若乙丙边与乙戊 　　一　　半径　　　　一○○○○○ 　　二　　乙角【二十四度】余　○九一三五五 　　三　　乙丙边　　　一千五百八十二尺四　　乙戊边【即乙丁引长线】　一千四百四十五尺右以原边乙丁【一千○八十尺】与引长乙戊边相减得丁戊【三百六十五尺】为形外所作虚勾股形之勾【先得丙戊垂线为股原有边之丁丙为】 　　求丁丙边 　　依勾股求法以丙戊股自乘【四十一万三千四百四十九尺】丁戊勾自乘【一十三万三千二百二十五尺】并之得数【五十四万六千六百七十四尺】为实平方开之得七百三十九尺为丁丙边 　　求丙角 　　以丁丙边比丁乙边若乙角正与丙角正一　　　丁丙边　　　○七百三十九尺二　　　丁乙边　　　一千○八十尺 　　三　　　乙角【二十四度】正　四○六七四 　　四　　　丙角　正　五九四四二 　　检表得丙角三十六度二十九分 　　求丁角 　　以丙乙二角并之共【六十度二十九分】以减半周得余一百一十九度三十一分为丁钝角 　　此三角形既有乙角度当先求丙角之鋭而后丁角之钝可以半周相减即得但求丙角虽有乙丁边可为丙角正之比例【凡正必在本角相对之边】然丙丁无边不能以边比边为乙角正比丙角正之例故又当先求丙丁边但丙丁边如勾股之斜当以勾股求法求之今丁戊无勾丙戊无股故先求丙戊边以作虚股再求乙戊边以作虚勾而后用勾股求法而得丙丁之边三边既得则每角之正必近本角所对之边即可以所对之两边相比为两角之正相比之例求之矣葢丙角以丙丁为底其正子丁近乙丁边而乙角之正子丑近丙丁边故必先得边以为求线之比例也既先有乙角又求得丙角则丁角半周减之即得矣 　　右两边一角而角不与边对 　　用切线分外角【梅本新増】 　　假如乙丁丙钝角形有乙丁边【五百四十尺】丙乙边【七百九十一尺】乙角【二十四】度 　　求丙角 　　以【丁乙丙乙】两边相并为总相减为较又以【乙】角【二十四度】减半周得外角【一百五十六度】半之得半外角【七十八度】 　　以边总比边较若半外角切线与半较角切线一　　两边之总　　一千三百三十一尺二　　两边之较　　○二百五十一尺 　　三　　半外角切线　四七○四六三 　　四　　半较角切线　○八八七一九 　　检表得半较角【四十一度三十五分】以减半外角【七十八度】得余【三十六度二十五分】为丙角 　　求丁角 　　并乙丙二角共【六十度二十五分】以减半周得一百一十九度三十五分为丁钝角 　　求丁丙边 　　以丙角正比乙角正若乙丁边与丁丙边一　　丙角【三十六度二十五分】正　五九三六五二　　乙角【二十四度】正　四○六七四 　　三　　乙丁边　　　　五百四十尺 　　四　　丁丙边　　　　三百六十九尺九寸八 　　分 　　右新増一则亦角在两边之中不与边对与前三角形无异亦俱先求丙角前法先以勾股求法求丙丁边先补虚勾虚股以求丙丁边边得而丙角之线可比例以求丙角其法详此新増法竟求丙角而求丙丁边反在求得丙角之后更简捷矣其边总边较半外角切线与半较角切线补图明之如左 　　【甲庚癸为半周子庚为半径 　　甲壬为乙角度壬辛癸为外角 　　壬辛为半外角子夘为半外角割 　　线壬夘为半外角切 　　线己丑为半较角切 　　线己辛为半较角】 　　新式三边求角【钝角之三】 　　假如【乙丙丁】钝角形有乙丙边【三百五十尺】乙丁边【六百○七尺】丁丙边【三百尺】 　　右有边无角 　　术自乙角作虚垂线至甲又引丁丙线横出遇于甲而成正方形为乙甲丁勾股形又横线至辛如丙甲成乙甲辛勾股形丁辛为两勾之总丁丙边为两勾之较乙丁边为大形【乙甲丁】之乙丙边为小形【乙甲辛即乙甲丙】之两相并为总相减为较 　　先求勾总 　　此因将求丁角度而三角无度则无线可比唯丙丁句似丁角余然丁角以乙丁为半径则乙甲为正而余应自丁至甲今止自丁至丙尚少丙甲之余故必先求甲丁勾始与丁角余相等然欲求甲丁勾又必先求勾总以为分形之勾股而后甲丁之勾可比得丁角之余以查表而得丁角也 　　一　　勾较【即丁丙边】　　　三百尺 　　二　　较【即乙丁边减乙丙之余】二百三十二尺 　　三　　总【即乙丁乙丙二边相并】　九百八十二尺四　　勾总【即丁辛】　　七百五十九尺四寸以勾较【三百尺】减所得勾总【七百五十九尺四寸】余数【四百五十九尺四寸】半之得数【二百二十九尺七寸】为小形之勾甲丙 　　以甲丙小形之勾加丁丙较【三百尺】得数【五百二十九尺七寸】为大形之勾甲丁 　　求丁角 　　以乙丁比丁甲勾若半径与丁角之余一　　乙丁　　　六百○七尺 　　二　　甲丁勾　　　五百二十九尺七寸 　　三　　半径　　　　一○○○○○ 　　四　　丁角余　　○八七二六五 　　检表得丁角二十九度一十四分 　　求丙角【用乙甲丙小形】 　　钝角用外角故用乙甲丙之小形勾股此勾股之乙丙即此钝角丙之外角割线 　　以甲丙勾比乙丙若半径与丙角之割线一　　甲丙勾　　　二百二十九尺七寸二　　乙丙　　　三百七十五尺 　　三　　半径　　　　一○○○○○ 　　四　　丙角割线　　一六三二五六 　　检表得丙角【五十二度一十四分】为本形之丙外角以减半周得丙钝角一百二十七度四十六分按此五十二度一十四分乃丙外角之度分故乙丙斜实即丙角之割线至于求丁角求丙角俱以半径为三率而丁角之三率用以作丙角之三率用以作勾半径可勾可股可顾随所取用耳 　　求乙角 　　并丁丙二角所得度分共【一百五十七度】以减半周得余二十三度为乙角 　　右例钝角形三边求角作垂线于形外径求钝角乃新式也若以大边为底从钝角分中长线同鋭角之三 　　补图　　　　　乙丙丁三角形　乙己为丙角 　　弧度　乙辛为丙外角　丙戊 　　即【乙丙】为丙外角割线　乙壬壬 　　辛为外角之丁角乙角 　　乙甲即中长线　乙甲丙即小 　　形勾股　乙甲丁即大形勾股 　　乙丙即虚勾虚股之　戊辛 　　为切线 　　右钝角用割线宣城梅定九先生新増此式为割线求度分之法盖割线乃象限中所割各度之线必与切线相遇以为増减割线割于弧内切线切于弧外彼増此减彼减此増如前钝角之二己辛为半较角其切线即从己之弧外起今外角乙辛即从辛之弧外起此新式之用割线视前法无异也至钝角之所以用外角者盖大圜两分之为半周四分之为象限凡象限止九十度而自一度至四十四度为平度自四十五度至八十九度为髙度其髙度之正线即平度之余线而髙度之余线即平度之正线故四十四与四十五同表四十三与四十六同表以至○度○分则与八十九度六十分同表此作八线表者因髙度平度如测望之直景倒景相反而实相通为此省文也今凡钝角度必过象限之外在八线无半弧之表可查则用外角之线度以减半弧而所余之度即钝角所对之弧度明矣此因八线表而立钝角用外角之法也 　　勾股引防卷四 　　钦定四库全书 　　勾股引卷五 　　海宁　陈訏　撰