同文算指 - 第 8 页/共 34 页
凡竒零数又以竒零数归除者列原数于右列除数于左却将除数倒列子母【原数母上子下除数子上母下】两平对乘其乘出数即归得数
假如以竒零除竒零者
右法假如一年十二个月今曰二之一则六个月也六之一则二个月也以二剖六各得三个月
假如以零数除整数者以整数作子上立一为母
假如以整带零而除整数者原数只借一为母不动若除数则以所带零母化其整数并子数
假如以整数除零数者
假如以整带零而除零数者原零数不动其除数之整
假如以整兼零而除整兼零者俱以本零母化其整数
若欲试零除之差否则用零乗法以乗出之数为主以对除数相乗仍合原数则不差
重零除尽法第十四
归除不尽曰竒零然有原数之内本来先带竒零者【如原数系二十零四分之一之类】是大竒零数内又有小竒零也若欲除之使尽当先归之使一列小竒零于右列大竒零于左两母相乘为总母又以小竒母乗大竒子并入小子为共子数即是除尽之数若数繁者约之
假如四人剖一十五零三之二其不尽者整三数零三之二也三之二为小竒列右四之三为大竒列左如法乘之即得四母除尽之数
若小竒零之内复有小竒零剖而又剖零而又零至三至四者先以大者二位相并得母数及子数次乃递互并完假如七除不尽而余四数是为七之四矣而又以此四中之一剖为五停内得二又以此二中之一剖为四停内得三又剖此三中之一为三停内得二此乃大竒数内又带三小竒数愈析愈繁最易淆乱者法具后
以上用七除尽者每分得八十四之五十五
假如以一十二人剖二十整数零四之一者每人得整一尚有整八零四之一不尽以一十二之八列左以四
右系捷法若依前章竒零加除二法者从小竒数除起以一十二除之借一为母倒列对乘先得小竒乘数次以大竒数与对乘又依加法互乘求总子数约之得除尽数
通问第十五
前算法一十四章总归加减乘除四术临时制用存乎其人今设一十四问由浅入深由易入难精之躔度厯术麤之米盐凌杂皆可类见
问减二十三余四十七原是几数又问减一十一之四余八零三之二原是几数答曰此用加法以二十三加四十八原是七十数也以一十一之四加八零三之二原是九零三十三之一也
问八十七内减几何该余二十六又问一十三之八内减几何该余七之二答曰即用减法就八十七内且减二十六余六十一得余数就一十三之八内且除七之二余九十一之三十得余数
问加三十八得八十三原是若干又问加四零九之八得二十零二之一原是若干曰亦用减法于八十三内减三十八尚余四十五其原数也于二十零二之一内减四零九之八尚余一十五零一十八之一十一其原数也
问一百与三百四十九差几何又问六零二之一与二十零四之三差几何曰此即减法于三百四十九内减一百是为二百四十九于二十零四之三内减六零二之一是为一十四零四之一
问何数除之以九而各得三十四又问何数除之以四零三之一而各得三之二曰此用乘法九乘三十四得三百零六其实数也三之二乘四零三之一得整二零九之八其实数也
问有三十于此其五之三是何数又问有四零七之五于此其二之一是何数曰亦用乘法以五之三乘三十得一十八是其五之三也【依法以子数三乗三十得九十以母数五除之得一十八合问】以二之一乘四零七之五得二零一十四之五是其二之一也【依法化四并五为七之三十三以与二之一对乘得一十四之三十三约之为二零一十四之五合问】
问除四十八各得一十其除数若干又问除七之三各得三之二其除数若干曰此于除法求之只以一十除四十八该得四零五之四是其除数【以四零五之四为除数者依法化整及倒位对乘之子数五乘四十八得二百四十母数二十四除之得一十合问】只以三之二而除七之三该得一十四之九是其除数【以一十四之九为除数者以九对七以三对一十四乘得六十三之四十二约之三之二也】
问一十七与何数相乘而得一百又问三零二之一与何数相乘而得四之一曰此用除法以一十七而除一百当各得五零一十七之一十五以得数乘除数还原一百矣以整三零二之一而除四之一当各得一十四之一以得数乘除数还原四之一矣【一十四之一乘三零二之一得二十八之七约之四之一也】
问两数相乘得四十八是何数又问两零数相乘得二之一又或得六零四之三者各是何数曰熟于除法则随变用之其除四十八者随意立一数如以六数除则各得其八乗之则六八四十八也如以一十除则各得其四零五之四乘之乃五之二百四十还原四十八也【母五乘整四并子得二十四以一十乘得二百四十数以母五归整是四十八】其除二之一者亦随立一数如以三之二为除则各得四之三以四之三乘三之二得一十二之六约之则二之一矣其六零四之三者亦随立一数如用三零二之一为除则各得一零一十四之一十三乘之则六零二十八之二十一约之六零四之三也如用二零四之三为除则各得四十四之一百零八乘之则一百七十六之一千一百八十八约之亦六零四之三也
问两数除之得二十八又问两零数除之得六之五其数几何曰此用乘法亦随意立一数乗之如二十八数以六数乘之得一百六十八即以六除之仍归二十八矣如六之五者以二之一乘之得一十二之五即以二之一为除仍归六之五矣
问何数以七为乘而所乘出之数归之以八而得三又问何数以五之二为乘而所乘出之数除以四之三而得四之一曰此兼乘除二法翻用之先以除数乗除得之数而以所云乘数除之其所除得数即所求数也假如三与八相乘得二十四乃以七除之各得三零七之三其所求矣假如四之三与四之一相乘得一十六之三乃以五之二除之各得三十二之一十五其所求矣
问六在五十四之内约是几分之几又问五之三在一十之九内约是几分之几曰此用约分零除法以小除大其所除得数即是也以六除五十四各得九则六于五十四乃九之一也【假如以五十四除六者依零除法各立一数为母倒位对乘乃五十四分之六即以六数而除五十四于此可明零除倒位之义】以一十之九而除五之三者倒位互乘得四十五之三十约之则五之三于一十之九乃三之二也
问六数是何数中九之一又问五之三是何数中三之二曰同前仍用零除之法但以九之一除六数依法倒位乘得五十四是六乃五十四中九分之一也但以五之三除此三之二依法倒位乘得一十之九是五之三乃一十分之九中三之二也
问化法假如一化为八今七数共化几分又问以一化四见有四分之三设以一化一十二此四之三者得一十二中之几又问以一化七见有七之三设以一化八则此七之三者是八中之几曰此用乘法以前后数相乘得之问化八者以七乗八得五十六是所求其化数矣问以化四较化一十二者以前子四中之三与后母一十二倒位相乘得数【三十六】以前母除归本数【四个九】即后母之子数也【一十二之九】问以化七较化八者亦然以前子七中之三与后母八倒位相乘得数【二十四】以前母除归本数【三七二十一得整三数余三不尽是零七之三】即后母之子数也【后母八此前母七中之三即后母八中之三零七之一也】譬如大斛七斗抵小斛八斗今大斛三斗以小斛斗量之得三斗零七分斗之三又如中国计日以百刻西洋以九十六刻今问西洋之三十一刻当中国之三十几刻即以西洋九十六为母三十一为子却以中国之母倒下作子与之对乘得三千一百是为九十六之三千一百即以九十六而除之得三十二刻零九十六之二十八再寻纽数四约之乃是二十四分刻之七也