同文算指 - 第 3 页/共 34 页

用九除首行原数无余列左 　　次行乗数余五列右以五遇 　　○无乗只作○列上次除总 　　数无余亦只作○列下比同 　　亦有左右上下俱无零数者 　　用九除原数乗数俱无余左 　　右上俱○其总数又无余亦 　　作○比同 　　凡乗法或上行原数首尾俱系实数而次行乘数之尾却系几○或次行乘数首尾俱实数而首行原数之尾却几○者不必多作诸○第从简便将各实数如法相乘讫却照其尾余几○逐加于后即见全数盖凡以○乘数者只是作○缘其无可乘出但存其位而已此原数首尾皆实而乘数尾却多○者○无可乘且置不用只以四乘六挨身下数乘徧而止乃将三○系之于尾但不可遗其○位所差不小 　　若原数及乘数之尾俱各有○若干即须一一相乘以存其位嗣以实数所乘出者挨次进位不得仅如前图照位加○而已 　　乘得一十 　　六也 　　右图上下尾位皆○须留其位故数尾四四未敢竟下挨身必○○徧乘【共得七○为尾】上有○○○亦进三位乃下四四一十六若但就身下数乘毕补○如下图然则尾少三○其失非小 　　若以一数为首而尾带多○其数虽多总只是一以此相乘无复可乘但照首行原数挨身进位录之乃视尾有几○照加于后即成全数 　　除法第五 　　凡数以少剖多曰除亦名归除归者各分所入除者分分除减其义一也法列原数于上层列除数于次层【旧以原数为实除数为法】从左大数除起上下挨身列位然必以小数系大数下若上层原数小下层除数大者须退一位系之详具左 　　列位图 　　凡除法原数列上除数列下于原数尾右界格如半规然而于格外注所得数其归除率以下字除上字要见几除而尽如九除而尽者格外注九字八除而尽者格外注八字余仿此所除不尽之数就原数变之抹原数而书其上凡欲知除出之数得几位者视除数之末位去原数之尾位得若干字即是归除所得位数 　　一位除【假如七万六千○四十八数以八除之】 　　格右为除得数第一除得九第二除得五未毕 　　先看八除【六七】得几转以乘法除之八九七十二是九也注九于格右尚余四变六作四【冩四于六上】削去首七亦削去次行除数之八 　　挨身另下八以八除【○四】依乘法五八四十格右再纪五其上层【○四】俱削亦削八 　　同前 　　第一除得九第二除得五第三除得○第四除得六是为每得九千五百○六恰尽 　　第一次除得九削去【六七】及八以六变四　第二次除得五削去【○四】及八尽　另挨身下八八虽不除四而当存其位乃于格右纪○而存四削八　另挨身下八以八除【八四】得六八四十八恰尽纪六于格右削去【八四】及下八毕 　　若除数至二位三位者除讫一位挨身布退一位如鱼鳞然其格右所注数每次所除不论几位总之只得一数但其除数首位必须兼顾次位如以首位除之已得某数即取除余变数为实以所得某数呼次位乗之看是恰尽或有余否方可纪于格右若有不足则将首位所除量减数以为次位之地【如九乗不足则减而用八如八乗不足则减而用七用六之类】务取通融恰当其三位除四位除者亦如之三位除【此有一百八十三万二千四百八十七之数而以四百六十九除之先以首四除一十八尽乘得四四一十六用四而余二然次位是六以六乘二十三不足矣不得不减数从三只用三以除一十八除得三四一十二尚余六四上八变六进位削一而格右纪三为用数并削首位之四　嗣以三因次位之六三六一十八六上三变五进位四上六变四乃削三削六下又削次位六　嗣以三因九三九二十七九上二变五进位六上五变二乃削二削五亦削九是以三除之余四十二万五千四百八十七数故当用三余再除如后图】右图下层次位以三因六三六一十八其六上三变五者三小八大照减法借进位一数于一十之内除八余得二再加三是变五也 　　若除法未熟不妨小注于下假上层【三六】下层用三因六三六一十八即于三下且注八于六下且注一三除八如前借法六除一乃还借除二为六变四余仿此 　　【另退一位挨下四六九先以四除四十二看得几个四凡数极于九用九乘 　　四九三十六尚余六四上二变六进位四削尽亦削下首位之四格右纪九 　　嗣以次位六因九六九五十四余一十一六上五变一进位六变一亦削 　　下位六嗣以次位九因九九九八十一尚余 　　三十三九上四变三进位一变三系借除进位一削尽亦削九其不尽三 　　千三百八十七数再除如后图】 　　【复列四六九而四不能除三姑存其位作○于格右其下层四六九 　　皆削去　又列四六九以四除三十三看除得几转四八三十二余 　　一矣然六乘一十八则不足故减而用七除得四七二十八四上三 　　变五进位削三嗣以六因七六七四十二六上八变六进位五变一 　　亦削下位六　嗣以九因七七九六十三九上七变四进位削六缘 　　尚有进位之数仍作○以纪其位而削九存一百○四为不尽之数 　　不复可分以法命之曰四百六十九之一百○四也以四百六十九 　　为母数以一百○四为子数法别详】 　　右尾第二位变六作○缘进位尚有一数须作○以存其位此法切记 　　若上层除余之数反多于下层除数者或上数与下数相等者定是除法有差【只就除过本位上下相较】亦不必另创第将差者抹去而另注所除数于上层之上另注除数于下层之下又另注除得之数于格右以从简便