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三　四千文　　　　　　　四十六万分 　　四　四十六万分　　　　　四千六百两 　　问烹砂炼金每日所得重三十铢今积得七斤八两已采几日法先化斤为铢每斤三百八十四铢先求七斤八两得铢若干乃以共铢求数【此是斤称法】 　　一　一斤　　　　　　　　三十铢 　　二　三十铢　　　　　　　一日 　　三　七斤八两　　　　　　二千八百八十铢四　二千八百八十铢　　　九十六日 　　问炼铜入罏一次每十斤得八斤今入罏三次得七十五斤一十三两四钱四分原生铜若干此用化法化八斤【一万二千八百分】为首率化十斤【一万六千分】为次率化三火铜【一十二万一千三百四十四分】为三率得四率为二火铜数乃即用四率为三率以求一火铜得数又用为三率以求生铜其一率二次不动依法乗除得数乃以斤法一十六除之一　一万二千八百分 　　二　一万六千分 　　三　一十二万一千三百【四十四分】一十五万一千六百八十一十八万九千六百四　一十五万一千六百【八十分】一十八万九千六百　二十三万七千分【即一百四　十八斤二两】又捷法以八斤自乗【六十四】再乗【五百一十二】为法以除三火铜亦得二三七因有再乗各再进位以七为两亦同前法 　　问将银雇匠采石不知银数石数只云每石六十丈价七两七钱船价三钱总用锻铁炭火银二百两是六十分之二则原银几两买石几丈石价船价总若干各若干法据锻铁炭火银二百两为六十分之二已知原银是六千两内减二百两只以五千八百两为实在之银起算作第三率以六十丈为第二率相乗得数乃以七两七钱并船价三钱共八两为第一率除之得四率为买石总数再置石总为第三率以七钱七分为二率乗之六十丈为一率除之得石总价以减总银余得船价 　　一　八两　　　　　六十丈 　　二　六十丈　　　　七钱七分 　　三　五千八百两　　四万三千五百丈 　　四　四万三千五百丈　五千五百八十二两五钱【此系石价 　　以减总银余二百一十七两五钱为船价加锻铁炭火二百两 　　仍足六千两】 　　问母银六十两置货卖得六十四两或只卖得五十七两今有银一百两置货卖之依前算该得多银几何或折银几何此以六十为一率以所卖二数较之一増四两一减三两各为二率以一百两为三率 　　一　六十两　　　　　　　六十两 　　二　四两【多数】　　　　　　三两【折阅数】 　　三　一百两　　　　　　　一百两 　　四　六两又三分两之二　　　　　五两 　　问有货一百斤卖得子银六十四两不知母银几何兹母银一百两欲得子银六两零三分两之二其法以子并母为一率以母为二率以所问六十四为三率【所问六十四兼有子母故相准第一率亦兼子母配之所求第四率系原买母银故第二率亦以母银配之】一　一百六两又三分两之二【除货一百斤不用只以银数相准】二　一百两 　　三　六十四两 　　四　六十两【每六十两得子四两则一百两得子六两零三分两之二矣然则以六十四两卖者必以六十两买也】问寳石一颗卖银二百两以其母银较之每百两折银一十两原买母银若干此因百两之内折一十当以九十两为一率以一百为二率以二百为三率 　　一　九十两【欲以二百之子推求二百二十二两有零之母先以九十两之子及一百两之母为】二　一百两【一率二率】 　　三　二百两 　　四　二百二十二两零九分两之二 　　问玉石一驼卖价三千六百两今欲每母一百两得利一十两必须于买价内原减得三两方获此利试问原买价几何此与前法相同以一百一十为第一率【因所问在三千六百兼子母故第一率亦兼子母言之除所减三两不用】以一百为第二率【求母数故以母数配之】以三千六百两为第三率 　　一　一百一十两 　　二　一百两 　　三　三千六百两 　　四　三千二百七十二两又十一分两之八【再加三两即原买数】问纻丝一千疋卖银三千六百两若原买价多六两即每百两折十两欲知原价几何此因百两内已折一十两以九十两为一率以一百两为二率以三千六百两为三率 　　一　九十两 　　二　一百两 　　三　三千六百两 　　四　四千两【再减六两即原价】 　　问货每一斤卖银二钱即母银百两已得息三十两设若每斤卖至二钱四分则百两获息几何其法先求每斤二钱之内母银子银各若干然后再据子母推之先列所知子母全数一百三十为第一率以母银一百两为第二率知母一百三十之内以三十为子以推二钱之内以若干为子乃以二十分为第三率依法乗除得二钱之母银亦即二钱四分之母银也次乃以母银为一率以二钱四分内之子银为二率以一百为三率一　一百三十两　　一十五分又十三之五【二钱内母数】 　　二　一百两　　　　八又十三之八【二钱四分内除去第一率得此数】 　　三　二十分　　　　一百两 　　四　十五分又十三之五【此是母数外皆利息】五十六两 　　问货一百斤卖银十两总计每母百两内已折十两若使每百斤只卖银八两则百两之内所折几何此须先知一百斤之货原值若干乃可重推先从百两折十两得九十为第一率以一　百为第二率以所折十两为第三率依法乗除得百斤原本之数为第四率即以此为重准之第一率内推只卖八两所折为第二率以总数一百为第三率 　　一　九十两　　　　　十一两九之一 　　二　一百两　　　　　三两九之一【第一率内只卖八两则所折者此数】 　　三　一十两　　　　　一百两 　　四　十一两又九之一【此得百斤正价未折之数】二十八两 　　问买布五万疋用银一万两纳过课银五百两费过车脚三百两又纳课银二百两又雇船一百两又过闗一百两又食费一千两其费如此必每疋卖银几何然后每疋获息银二钱法以五万为第一率以本价及诸费共一万二千二百两化钱数为第二率以一疋为第三率 　　一　五万疋 　　二　十二万二千钱 　　三　一疋 　　四　二钱零五十分钱之二十二【此系每疋本银费过之价此外再加二钱其须四钱零五分之十二方得利二钱】问布每疋长四十尺内该抽税抽一尺有客持布三百疋税司收布一十五疋半外贴钱六百文其布价每疋几何此已知抽税者为二十取一也先求三百疋应抽之数数外皆应贴钱此所贴者半疋二十尺之价也倍之得每疋价　一　二十疋　　一　二十尺【即半疋】 　　二　一疋　　　二　六百文 　　三　三百疋　　三　四十尺 　　四　一十五疋　四　一千二百文 　　问有客贩参不记母银几何但云每参六斤价银七钱七分车脚三分又用过牙银二百两是原母三十之一其母银数及参数价数各若干此以价【七钱七分】并车脚【三分】得八钱为首率参六斤为次率其牙银【二百】系母银三十之一以加二倍得母银六千内减牙银余五千八百两为三率得第四率为参总率另以六斤为首率减车价【三分】以七钱七分为次率参总为三率求得第四率为共价其参总率及参价乃六斤所推各以六除得参斤数及每斤价数 　　一　八钱　　　　六斤【径以首率除二率得每斤价一钱二分八厘三　　毫三之一以首率除三率得共参七千二百五十斤】 　　二　六斤　　　　七钱七分 　　三　五千八百两　四万三千五百 　　四　四万三千五百　五千五百八十二两五钱【以减五千八百余二百一十七两五钱是车价】问以银二十二两八钱买黄白蜡均平其黄蜡每三斤价四钱白蜡每一斤价五钱二色之价各若干此以两母子互乗【三五一十五一四如四】并得一十九为首率两母相乗为次率总银为三率求得二色各斤数 　　一　　一两九钱 　　二　三斤 　　三　二十二两八钱 　　四　三十六斤【以价乗白蜡得一十八两以价乗黄蜡四除之得四两八钱】问饭僧不知人数初日每五十人米八斗次日每九十人米七斗共用米三十二石一斗米与僧各若干法用重测先置子母互乗【九十乗八得七百二十五十乗七得三百五十】并之【一千七十】为首率两母相乗【四千五百】为次率共米为三率得僧数乃以僧数为三率各以子乗母余得二日米数 　　一　一千七十　　　五　　　　　　　九 　　二　四千五百　　　八　　　　　　　七 　　三　三十二石一斗　一千三百五十　一千三百五十四　一千三百五十僧　二十一石六斗　一十石五斗 　　同文算指通编卷一 　　钦定四库全书 　　同文算指通编卷二 　　明　李之藻　撰 　　合数差分法第四上 　　总数一也而分之糅襍不齐者亦以准测齐之大抵以总数为第一率以总数所得为第二率【如以母得子或以银得年月之类】分布而各为之宗为第三率若三率不尽者亦用重准之法测之 　　问四商共贩得子银六千两而各出母银不同甲母六十乙母一百丙母一百二十丁母二百每人该分子银若干先以四人共母为第一率以所获共子为第二率分置四母各一宗为第三率以第二递乗第三以一率除 　　一　四百八十 　　二　六千 　　三　六十【甲】　　一百【乙】　　一百二十【丙】　二百【丁】四　七百五十　一千二百五十　一千五百　　二千五百问三商置货同舟甲货值三百两乙货值五百两丙货值一百八十两遭风共弃货値四百两各照原值摊认法并三人值为第一率以所弃值为第二率分三人货值为第三率叠以三率法乗除 　　一　九百八十 　　二　四百 　　三　三百【甲】　　　　五百【乙】　　　　一百八十【丙】四　一百二十二两又九百　二百四两又九百　七十三两又九百八八十分两之四百四十　八十分两之八十　十分两之四百六十 　　问三人共买货四千斤值银五百两甲取一千三百斤乙取一千四百六十斤丙取一千二百四十斤各该认价若干此以总货为第一率以总价为第二率以各人所取数分三宗为第三率 　　一　四千斤 　　二　五百两 　　三　一千三百【甲】　　一千四百六十【乙】一千二百四十【丙】四　一百六十二两又二【分两之一】　一百八十二两又二【分两之一】一百五十五两问三商共得子银一千两所出母银多寡不一先后亦不一甲母二百两满八个月乙母四百五十两满六个月丙母五百两满十个月此子银一千者每人应分若干其法以各母乗各月【以八乗二百得一千六百以六乗四百五十得二千七百以一十乗五百得五千共九千三百】总彚之为第一率以所获总子为第二率以各母及月分所乗出三宗为第三率 　　一　九千三百 　　二　一千 　　三　一千六百【甲】　　二千七百【乙】　　五千【丙】四　一百七十二两又　　二百九十两又九　　　五百三十七两又九九十三分两之四　　十三分两之三十　　　十三分两之五十九 　　问三商共贩得子银一千两甲母三百两十个月乙母七百两丙母八百两俱不知月其子银则甲得分五百两乙得三百两丙得二百两要知丙丁二人出过母银几月其法先取甲之知母知子知月者为算以所分五百为第一率以一十月乗三百两为第二率【共三千】已知甲之五百乃三千中之五百矣次列乙丙所得子各一宗为第三率二三相乗而以一率除之得第四率即乙丙母银乗月之数次乃各以其母除之仍得月数此于四率外加一率兼重准测法云 　　一　五百【甲之子】 　　二　三千【甲月与母乗】 　　三　三百【乙之子以乗三千得九十万以五百除】二百【丙之子以乗三千得六十万以五百除】四　一千八百【此兼乙母　乗乙月之数】一千二百【此兼丙母乗丙月之数】二月又七分月之四【以乙母七百除得乙月】一月又二分月之一【以丙母八百除得丙月】 　　问四商居积二年得利一万两甲原母三千两至满八月先取出一千两至满十九个月又加一千二百两乙原母二千四百两至满六个月取出八百两至满十五个月又加一千四百两丙原母二千两满七月悉收囘至满一十七个月别出母一千六百两丁初不出母六个月后方出一千八百两又过四个月取出九百两至满十六个月又増入一千五百两此四人者于所息一万两内计母计月各该分若干其法以四母各乗其月甲作三段乗【三千两乗八个月得二万四千数八月之后取去一千只存二千至十九月满共十一个月以十一乗二千得二万二千数其十九月之后又加一千二百共三千二百自第二十个月起到底计五月以五乗三千二百得一万六千共得六万二千】乙作三段乗【二千四百两乗六个月得一万四千四百两此后除去八百两只存一千六百两至满十五月实九个月以九乗一千六百得一万四千四百两其十五个月之后又加入一千四百两共本银三千两到底计九个月以九乗三千得二万七千共得五万五千八百数】丙作二段乘【二千两乗七个月得一万四百两自满十七个月以后出本至二年止共七个月以七乘一千六百得一万一千二百共得二万五千二百数】丁作三段乘【自六个月以后出本一千八百两满四个月以四乘一千八百得七千二百此后取去九百实在九百至第十六个月满计六个月以六乘九百得五千四百此后又出本一千五百共二千四百到底计八个月以八乘二千四百得一万九千二百共得三万一千八百数】四人共计一十七万四千八百为第一率以所息为第二率分各母乘月数为四宗作第三率 　　一　一十七万四千八百