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问三商同伙甲母四百两乙三百两八钱六分丙一千两零七钱九分三商共折银一百两各认若干此皆化两为分【甲四万乙三万八十六丙十万七十九】并三人总分数为第一率以所折为第二率分各母数三宗为第三率
一 一十七万一百六十五
二 一万
三 四万【甲】 三万八十六【乙】 十万七十九【丙】四 【二千三百五十又 一千七百六十八 五千八百八十一十七万一百六十 又十七万一百六 又十七万一百六】
【五之十一万二千 十五之八千二 十五之四万九千二百五十 百八十 六百三十五】
问三商甲出母银二百两经十二月乙出母银二百四十两不知月丙出金若干不出银经十个月共得子银一百三十八两甲分六十乙得四十八丙得三十今问乙该几个月丙之金值几何此以甲银乘甲月【共二千四百】而知子银六十出自二千四百也以六十为第一率以二千四百为第二率以乙丙各子为第三率二三相乘各以一除之其所得数【乙一千九】兼乙丙之母与月皆在其中矣乃以乙母除乙之四率而知乙之月八以丙月除丙之四率而知丙之母金值银一百二十两
一 六十
二 二千四百【以上俱甲】
三 四十八【乙】 三十【丙】
四 一千九百二十 一千二百
八月【以本银除之得此数】一百二十两【以月分除得此数】
问三贾共贩一年甲先出母银一千两乙母后二个月方出丙母后四个月方出俱不知其数几何但所得子银则均分要知乙丙各母之数此以所已知甲母甲月相乗为第一率乙丙准此为算而各以其月除之【乙十月丙八月】即各得其母之数
一 一万二千【甲母乗月】
二 一千二百【乙母】 一千五百【丙母】
右试法合三总数为三万六千作第一率随意立一数为子数作第二率又以总数分为三宗【各万二千】作第三率而各以第一率除之甲乙丙所得皆同
一 三万六千
二 九百 【随意立此数】
三 一万二千
四 三百
问三商共得子银一百九十两其分息则乙比甲仅三之一丙比甲仅四之一其母银则甲出八十两十二个月乙不知几何但知八个月丙亦不知几何但知四个月要知三人各息若干丙丁各母若干此须再用重准测法求之先以甲母及月相乘【九百六十】为第一率以其三之一【乙三百二十】四之一【丙二百四十】兼各母与月者为第二率既得母月兼数即以乙丙各月除之知各母数然后可以察其分息之数矣另并三人所乗母数月数为第一率以总子为第二率分甲乙丙母所乗得为第三率二三相乗以一除之各得第四率为所分子银数
一 九百六十【甲母乗甲月】
二 三百二十【乙得甲三之一】二百四十【丙得甲四之一】三 四十两 【乙以八除得此】六十两 【丙以四除得此】右已知乙丙之母银再测如左
一 一千五百二十【甲九百六十乙三百二十丙二百四十并此数】二 一百九十
三 九百六十【甲】 三百二十【乙】 二百四十【丙】
四 一百二十 四十 三十
问三商共母一千五百二十两得子一百九十两照母分之甲得一百二十两乙得四十两则丙所得若干又甲乙丙各母若干法就总子银内减去甲乙所得子剩三十为丙之子仍以总子为第一率以共母为第二率以各分子银三宗为第三率二三相乗以一除之得第四率为各母
一 一百九十
二 一千五百二十
三 一百二十【甲之子】四十【乙之子】 三十【丙之子】四 九百六十【甲之母】三百二十【乙之母】二百四十【丙之母】问三商总母一千五百二十两总得子一千七百十两子母共分甲分一千八十两乙分三百六十两丙分二百七十两则每人各母若干其法并三人子数为第一率母为第二率以各人所分得三宗为第三率依准测法得四率为各母数就各以四率之数减其第三率之数余者为各子数
一 一千七百一十
二 一千五百二十
三 一千八十【甲】 三百六十【乙】 二百七十【丙】四 九百六十 三百二十 二百四十
问二商共得子银二百两甲分五十两乙分一百五十两其母则乙多甲一倍又零八两二人各出母几何其法置甲五十乙倍之该得一百今分一百五十则知已赢母八两故于一百数外多获五十也依法列三率知五十之出于八则知一百五十之出于二十四矣一 五十
二 八
三 五十【甲】 一百五十【乙】
四 八 二十四
问二商共贸甲母一百二十两乙母一百八十两共一牙侩每子银一百两与牙银十两后得子银一千两各该分几何其法于一千内除去牙银一百两以实在子银九百两为算乃并甲乙母为第一率实在子银为第二率分甲乙母二宗为第三率
一 三百
二 九百
三 一百二十【甲母】 一百八十【乙母】
四 三百六十 五百四十
问三商共得子银一千五百二十两其母银则甲出一千八十两乙出三百六十两丙不知所出几何只言分得子银二百四十两今欲知丙母几何甲乙所得子几何其法先就总子数内减去丙子一千二百八十为甲乙共得子数乃倂甲乙母为第一率以甲乙共子为第二率分甲乙二母数为第三率法得第四率为甲乙子数
一 一千四百四十【并甲乙母】
二 一千二百八十【并甲乙子】
三 一千八十 【甲母】 三百六十【乙母】
四 九百六十 【甲子】 三百二十【乙子】
已知甲乙子母之数即可因丙子以求丙母乃并甲乙子为一率并甲乙母为二率丙子为三率
一 一千二百八十【倂甲乙子】
二 一千四百四十【并甲乙母】
三 二百四十【丙子】
四 二百七十【丙母】
问三商母银各等一年内共得子银一千两但甲母阅七月乙母阅六月丙母则满一年各该分子银若干其法积甲乙丙总月为第一率以总子为第二率列三人各月数为第三率
一 二十五月【并甲乙丙】
二 一千两
三 七【甲】 六【乙】 十二【丙】
四 二百八十两 二百四十两 四百八十两问织绢每疋用丝一斤工价即与丝四两今有丝四十三斤一十二两其织丝工丝各若干法当化斤为两然后归两作斤并工丝绢丝共二十两置首率总丝为七百两置次率列工丝绢丝置第三率依法乗除
一 二十两
二 七百两
三 四两【工价】 一十六两【织绢】四 一百四十两【归之乃八斤一十二两】五百六十两【归之为三十五斤】问甲乙丙三人以田多寡均应一年差役甲田三百五十亩乙田二百八十亩丙田一百七十亩各役几时此并三人田【共八百亩】置首率以一年为三百六十日置次率列三人田数置第三率
一 八百亩
二 三百六十日
三 三百五十亩【甲】 二百八十亩【乙】 一百七十亩【丙】四 一百五十七日半 一百二十六日 七十六日半问派粮八百四十石四县照田地多寡纳之甲田三千六百三十五亩乙田二千四百六十六亩丙田三千五百七十七亩丁田四千三百二十二亩各纳若干亦并总亩置首率总粮置次率列四县各田数置第三率一 一万四千亩
二 八百四十石
三 三千六【百三十五亩甲】 二千四【百六十六亩乙】 三千五【百七十七亩丙】 四千三【百二十二亩丁】四 二百一十 一百四十七 二百一十四 二百五十九八石一斗 石九斗六升 石六斗二斗 石三斗二升
问五县输谷二万石照依人户多少道里逺近价值上下而均输之毎车载二十五石行一里僦值一钱甲县二万零五百二十户谷石价二两乙县一万二千三百十二户谷石价一两逺输二百里丙县七千一百八十二户谷石价一两二钱逺输一百五十里丁县一万三千三百三十八户谷石价一两七钱逺输二百五十里戊县五千一百三十户谷石价一两三钱逺输一百五十里各该若干先求各衰【惟甲县自输本县无僦里以谷价二两为法除甲户得一千○二十六衰乙丙丁戊俱有僦价各以僦一钱乗所输里数而以每车二十五石除之得各运价以乘各户而求各衰乙县行道二百里乘除之得八钱倂谷价一两八钱以除乙户得六百八十四衰丙县行一百五十里乗除得六钱并价共一两八钱除丙户得三百九十九衰丁县行二百五十里乗除得一两并价共二两七钱除户得四百九十四衰戊县行一百五十里乘除得六钱并价共一两九钱除户得二百七十衰】并五衰【共二千八百七十三】为首率以总谷为次率列各衰为三率一 二千八百七十三
二 二万石
三 一千二百六【甲】六百八十四【乙】三百九十九【丙】四百九十四【丁】二百七十【戊】四 【七千一百 四千七百 二千七百 三千四百 一千八百四十二石 六十一石 七十七石 三十八石 七十九石三斗五升 五斗七升 五斗八升 九斗一升 五斗六升九合九勺 三合二勺 四合四勺 四合零勺 八合三勺】僦价无 二十两 一十五两 二十五两 一十五两
问有田一万八千八十八亩三子递分伯比仲多一倍仲又比季多一倍各该若干此倍増倍减法也以一二四为衰分【季一仲二伯四】合总为第一率田数为第二率分各衰为三率
一 七
二 一万八千八十八亩
三 四【伯】 二【仲】 一【季】
四 一万三百三十六 五千一百六十八 二千五百八十四问有银九十二两四子挨次递分各几何并各衰【伯四仲三叔二季一共得一十】为首率银数为二率各衰为三率
一 一十
二 九十二
三 一【季】 二【叔】 三【仲】 四【伯】
四 九两二钱【季】一十八两四钱【叔】二十七两六钱【仲】三十六两八钱【伯】问官银一千一百零七两令五等户减半出办甲户一十六乙户二十五丙户三十一丁户四十八戊户六十二毎等每户各若干亦先以各衰乗各等户数并【甲衰乘得二百五十六乙衰乘得二百丙衰乘得一百四十二丁衰乗得九十六加戊衰并得七百三】为首率总银为次率列各衰为三率推得各等共数再以各户除之得各户数
一 七百三十八
二 一千一百零七两
三 二百五十六【十】二百【八】一百四十二【甲】九十六【乙】 六十二【丙】四 三百八十四两 三百两一百八十六两 一百四十四两 九十三两二十四两 一十二两六两 三两 一两五钱
问用金八十一两造杯一套五个毎杯重若干此挨次衰分并各衰【五四三二一共一十五】为首率总金为次率列各衰为三率
一 一十五
二 八十一两
三 五 四 三 二 一
四 二十七两 二十一两【六钱】一十六两【二钱】一十两八钱五两四钱问派粮一千一百三十四石令五等户挨次上纳甲户二十四乙户三十三丙户四十二丁户五十一戊户六十各等各户各若干法亦以各等户数乗各衰并为首率粮数为次率分各衰列三率推得各等人户所纳再以户数乗之得各等共数
一 五百四十
二 一千一百三十四石
三 一【戊】 二【丁】 三【丙】 四【乙】 五【甲】四 二石一斗 四石二斗 六石三斗 八石四斗十一石五斗一百【二十六石】二百【一十四石二斗】二百【六十四石六斗】 二百【七十七石二斗】二百五十二石
问粮三百八十五石五斗二升甲乙二等户四六办纳甲二十六户乙四十户各等若干每户若干凡求四六衰者就身六乗四除【首位四以六乗得二十四即以四除得六后多数仿此】此先以六乗甲户四乘乙户【六乗二十六得一百五十六数四乗四十得一百六十数】并为首率总粮为次率列各衰【十六下四】为三率推得每户应纳之数再以甲乙各户数乗之得各共数【若先以总衰除总粮得一石二斗二升乃以甲乙衰各乗亦同】
一 三百一十六
二 三百八十五石五斗二升
三 六【上】 四【下】
四 七石三斗二升【甲一户】 四石八斗八升【乙一户】一百九十石三斗二升 一百九十五石二斗
问徴银一千七百一十六两以四等人作四六派出各该若干法并各衰【丁四丙六乙九甲一十三零二之一】为首率银数为次率列各衰为三率求得各衰数【此四六衰是一倍有半加之若先以总衰除总银得五十二两八钱后以各衰乗之亦同】
一 三十二又二之一
二 一千七百一十六两
三 四【丁】 六【丙】 九【乙】 一十三又二之一【甲】四 二百一十【一两二钱】三百一十【六两八钱】四百七十【五两二钱】七百一十【二两八钱】问徴粮一千二百六十六石令五等人作四六纳之各该若干法并各衰【戊四丁六丙九 乙一十三又二之一甲二十又四之一共五十二又八之六】为首率【其甲与乙须用竒零并子母法并之増至多等皆然】总粮数为次率列各衰为三率测得各衰数【若先以总衰除总粮得二十四石后以各衰数乗之亦同】一 五十二又八之六
二 一千二百六十六石
三 四【戊】 六【丁】 九【丙】 一十三【又二之一 乙】二十【又四之一 甲】四 九十六石 一百【四十四石】二百【一十六石】三百【二十四石】四百【八十六石】问派粮二百六十一石令三等户三七出办甲户二十一乙户三十二丙户四十三各等几何每户几何凡求三七衰分者用三除七乘递求若零分多者就首衰之数以三因之法消息之如二位者只用三七如三位者首位三就以三因得九为首衰四位者首位三以三因得九又三因得二十七为首衰如五位者又以二十七三因得八十一为首衰凡此皆以省零分也此问法以各等乗各衰并之【甲二十一户乗甲衰四十九得一千二十九乙三十二户乘乙衰二十一得六百七十二丙四十三戸乗丙衰九得三百八十七共二千零八十】为首率以总粮为次率列各衰为三衰推得第四率是各户应出之数再以数乘之得各等共数