历算全书 - 第 99 页/共 206 页

【右式日为单数而以日百析之为刻又百析之为分又百析之为秒故列位时必作防以志之使知日下二位始为单刻由是而分而秒皆隔两位而变其名然仍是以十为等　凡作防必单位如日为单位下又有单刻单分单秒之属】 　　凡开平方尺有百寸寸有百分其法同上 　　凡开立方尺有千寸寸有千分则三位而变即隔三位作防以志之法亦同上 　　右法虽亦皆以十为等而不以一位为一名或隔两位或隔三位前法只寻单位即知其余此法单位之下仍须各寻单位盖前法之分秒只有单而此法分秒各有十有百故必以作防之处知其为单分单秒是与前法微别又为一类也其一不以十为等而各以其所设之率为等亦分二类 　　假如回囘厯法以六十分为一度六十秒为一分太阳三十日平行二十九度三十四分一十秒作何排列 　　【右以度为单数下两位为分又下两位为秒故作防志之畧同授时然皆以六十而进非以百也其自秒以下为微纎等数凡在授时以百为数者回回之法皆以六十为之是虽不以十为等而所设六十之率钜细同法西洋法亦然】 　　又如古量有以四升为豆四豆为区四区为釜皆以四为率又如杨子云太以三方统九州二十七部八十一家其递析也皆以三 　　又如测量家以矩度分十二度每一度又分十二分是又以十二为率也右诸率皆不用十而所用之率屡析不易是为一类 　　假如物重十六两为一斤二十四铢为一两今有物二斤四两半作何排列 　　【此以斤为单数斤下二位为两又下二位为铢铢与两皆斤之分秒也故作防志之亦同前法但铢以二十四为率两以十六为率二率不同】 　　又如厯家以甲子六十为旬周每日十二时又分初正【西厯谓之二十四小时】每各四刻每刻有十五分今依新法筭得辛未年冬至为旬周之第五十日二十二时二刻七分依法列之 　　【此以日为单数下二位析日为时又下一位析时为刻又下两位析刻为分皆日下之畸零也然时之率二十时刻之率四分之率十五各率不同所当细玩】 　　右法既不以十为等而所用之率又不齐同是又一类也【此二类不以十分为率而各有其率即通分子母之法也但通分以子母并列又是一法别卷详之】并法 　　凡数合总法当用并有诸数于此并而合之为一总数又名垜积即珠盘之上法也【数相并则相益而多故亦名加法在钱谷之用则所以稽总撒】 　　法曰置所有防数几宗各依列位法自上而下对位列之万千百十单各以类从 　　列讫仍并之自上而下如画卦之法 　　数满十者进位作号而本位纪其零 　　纪号式 　　丨□□□□丅□□□【此古算位也用以别原数便稽核也】 　　假如有丝八百九十二斤又一千○八十八斤又【三百五十斤　合之若干】 　　如上式防数三宗依法列位并之 　　得总数二千三百三十斤 　　假如有绢四丈五尺六寸又五丈○三寸又八丈五尺合之若干 　　九减试法 　　【凡九减之法不论单十百千之位亦不计○位只摢现有之数而合计之先减减数首行八九二合得十九减去二九余一以合次行一八八共得十八减去二九恰尽只余三行三五合成八数纪于右次减总数二三三合得八纪于左　左右相同知其不误】 　　【第二图先减防数首行四五成九减去余六合次行三成九减去余五合三行八五共十八成二九减尽纪○于右　次以总数一八九成二九减尽纪○于左　左右相同知其无误　或问九减不计上下之位何也曰此防法也凡九减者数不变假如以九减一十则仍余一减二十则仍余二推之百千万亦然故不论位】七减试法 　　【凡七减与九减不同须论位减实数　第一图先减防数自上而下头一排只有一作一十算合第二排八三得十一共二十一以七减之尽第三排九八五合得二十二以七减之余一作一十合第四排八二得十共得二十以七减之余六纪于右　次减总数亦自上起首位无七有二合第二位作二十三以七减之余二又合第三位作二十三以七减之余二合末位○作二十减二七余六纪于左　左右相同不误】 　　【第二图先减防数头一排四五八合十七以七减之余三作三十合第一排两个五成十共四十以七减之余五作五十合下六三成九共五十九以七减之余三纪右次减总数首两位十八以七减之余四合第三位○作四十以七减之余五作五十合下位九共五十九以七减之余三纪左左右相同不误】 　　畸零并法 　　假如有物十斤四两十二铢又九斤十一两十二铢共若干 　　答曰二十斤 　　【铢数并得卄四成一两进位并原数共十六两成斤进位并原数十九斤 　　共卄斤铢率卄四两率十六不同故以防隔 　　之凡率不同难用九减七减只以减法 　　还原其法于总数内减原防数一宗其余一宗必合减余是为无误减法 　　见后详通分】 　　假如品官计俸原厯任过三年○九个月今又歴任一年十一个月共若干 　　答曰共歴任五年○八个月 　　【先并月得二十再以十二个月成一年进位纪号余八个月次并一年三年加所进一年共五年并得五年○八个月此因月法十二非以满十而进故以防隔之此亦非满十而进不用九减七减只以减法还原】 　　递加法 　　假如授时厯歳实【三百六十五日二十四刻二十五分】两次加气策【一十五日二十一刻八十四分三十七秒五十微】共若干 　　答曰【三百九十五日六十七刻九十三分七十五秒】 　　此递并法借前总数当防数用之如此则可以层累而加 　　【前条三百八十○日四十六刻竒是从嵗前冬至算至本年小寒此条三百九十五日六十八刻弱是又算至本年大寒】 　　截小总法【凡并法头项太多者截分小总则易清乃垜积之防法】 　　假如河工一十二宗一工【五千○十四工】又【三千三百工】又【八百九十一工】又【二千○九十工】又【九百○九工】又【一千○八十工】又【二千○二十工】又【九十一工】又【六百六十七工】又【四千七百工】又【七百三十工】又【八十二工】问共数 　　答曰二万一千五百七十四工 　　法曰【先以河工十二宗任分为三段依法并之各成小总再合各小总依法并之为一大总合问】 　　【或有极多至百十宗者宜多分小总小总又并为小总末乃并为一大总变繁为简最便覆核】减法 　　凡数相较法当用减有两数于此以相减则得其大小之较也有全数于此减其所去则得其留余之数也【在钱糓之用则减为开除减余为实在若收受则所减为已完减余为未完其法与并法正相对其用亦相需也】 　　法曰置原数于右置减数于左依列位法自上而下对位列之【若两数相较则以大数列右以当原数小数列左为减数】乃以两数相较以少减多【原数必多减数必少若原数反少则有转减】减讫列减余之数于左行 　　凡减自下小数起本位无可减借上位一数化十而减之则于上位作防以为志【还原时即用此防为进位之志或不用防用短直亦同】 　　假如有库银十万两支放过五万九千五百○三两问存库若干　答曰四万○四百九十七两 　　【此因数万以下俱空故皆用借十作防之法自最下两位起两位空作防于上位借十两减三存七　支数原无十两因借减之防宜减十两而十两亦空复作防于上位借一百内减一十存九十　支数五百加借防共六百亦作防借一千减六百存四百　支数九千凑借防成一万作防于万位凑原支五万共六万又作防于首位借十万减六万存四万】 　　还原用并法【即借用本图】从两位起以支放三两并存留七两得十两作防于十两位凑存留九十两成一百两又作防于百位凑支放五百存留四百并得一千作防于千位凑支放九千成一万作防于万位凑支放五万存留四万共成十万作防于首位至此存留支放俱无可辏浄十万两作一十万字于原银位合总无差 　　递减法 　　假如有应进贡【貂皮一千五百张收过九百○五张次年补收四百九十五张仍欠若干】答曰【一百张】 　　【以头一次九百○五张依法减原额一千五百张得减余五百