历算全书 - 第 95 页/共 206 页

次倍三次商共四千九百九十尺得九千九百八十尺用九九八三筹列平方筹上为廉隅共法 　　以第四防上余 　　积九九八九九 　　为四商之实 　　合视筹第九行 　　积八九九○一 　　小于实商九尺 　　减余实八万九 　　千九百○一尺 　　不尽九千九百九十八尺 　　开方已得单尺而有不尽以法命之倍方根加一数得九千九百九十九为命分 　　凡开得平方四千九百九十九尺又九千九百九十九之九千九百九十八 　　右例可明四以上用常法之理葢积所少者不过万分之一不能成五数之方而其法迥异 　　加空筹式 　　假如有平方积一千六百七十七万七千二百一十六问每面若干 　　列位　作防 　　如图防在次位以一千六百万 　　为初商实 　　视平方筹有一六与实同其方 　　四商四千尺减积一千六百万尺【凡余实必在商数下一位起倘空位则作圈补之后仿此】　次以初商四千尺倍得八千尺为亷法用第八筹列平方筹上为亷隅共法【筹见前例】 　　以第二防上余实○七七为次商实 　　筹最小数是○八一【第一行数】大于实 　　不及减是商数无百也 　　乃于初商四千下作一圈以为次 　　商【减去实中○位】　次如上图加一空位筹于次商亷法之下平方筹之上为三商亷隅共法 　　以第三防上七七七二为三商实 　　视筹第九行是七二八一小于实商九十尺减积七十二万八千一百 　　次合初商次商三商共四○九倍之得八一八为廉法 　　去空位筹加一八两筹列于平方筹之上为四商廉隅共法 　　以第四防上四九一一六为四商之实 　　合视筹第六行数与实合商六尺减积四万九千一百一十六尺恰尽 　　凡开得平方四千○九十六尺 　　假如有平方积九亿○○一十八万○○○九步问每面若干 　　列位 　　作防 　　如后图防在首位以○九亿步为初商实 　　视平方筹有○九与实同商 　　三万步【五防故初商万】减积九亿步 　　次以初商三万步倍之得六 　　万步用第六筹加平方筹上为次商法【即廉隅共法】　以第二防上为次商之实视实三位俱空无减知商数有空位且不止一空位也如前法宜挨次商得一空位则于原实内销一圈【凡续商之实必下于前商之实一位故虽○位必减去之以清出续商之实】而于共法筹内加一空位筹如此挨商颇觉碎杂故改用又法 　　又法曰凡实有多空位者知商数亦有多空不必挨商当于原实中审定可减之数在何位则此位之上皆连作圈而径求后商如此余实有三圈皆无积可减必至○一乃有可减而法是第六筹筹最小是○六大于○一仍不可减必至一八方可减而一是筹之进位当以商数对之则知以上俱是空位乃皆作圏合视之有三圈即次商三商四商也干原实内销去三圈如后图 　　此即次商三商四 　　商合图也 　　次加三空筹于平亷【第六筹】之下平方之上为五商亷隅共法　径以第五防上一八○○○九为五商实 　　视筹第三行数与余实合商三尺 　　除积一八○○○九恰尽 　　凡开得平方三万○○○三步 　　又假如积二千五百○七万○○四十九尺问方若干列位　作防 　　如图防在次位以二千五 　　百万尺为初商实 　　视平方筹有二五与实同 　　其方五商五千尺减积二千五百万尺 　　次倍初商五千尺得一万○千尺用一筹空位筹为廉法【凡商得五数则原带有空位】列平方筹上为次商法　实多空位以前除又法审之必至○七万尺乃有可减而○七之○与筹上首位之○对当以商数居之则知此以上俱无商数也于是于初商五千下作两圏如后图 　　此次商三商合图也【原实上减两圏商数下加两圏】 　　如上图加两空位筹于廉法一万○千之下平方之上为四商法 　　以○七○○四九为四商实【次商三商之两防已销故径用第四防】 　　视筹第七行相合商七尺减实 　　恰尽 　　凡开得平方五千○○七尺 　　又假如积五千六万三千五百○○尺问方若干列位 　　作防　如图防在次位以五十六万为初商实 　　视平方第七行是四九小 　　于实商七百尺除实四十 　　九万 　　次倍初商七百得一千四百用第一第四两筹列平方筹上为次商法　以第二防上○七三五为次商实 　　合视第五 　　行是○七 　　二五小于 　　实商五十 　　尺减去余 　　积○七万 　　二千五百 　　尺 　　次合商数七百五十倍之得一千五百○尺应用第一第五空位三筹加于平方筹上为三商法以第三防上○一千○○尺为三商实而实小于法不能成一尺乃于商数未作一圏以为三商其不尽之数以法命之 　　凡亷隅共法筹第一行数即命分 　　也葢能满此数即成一单数矣 　　凡开得平方七百五十○尺又一