历算全书 - 第 96 页/共 206 页

千五百○一之一千○○○约为 　　三之二弱 　　立方 　　法曰如前列实隔两位作防以求初商既得初商即以初商数自乘而三之为平亷法【即方法】以平亷法用筹列于立方筹之上【借立方筹为隅法也】为平亷小隅共法别以初商数三之而进一位为长亷法【即亷法】以长亷法用筹列于立方筹之下【法于长亷数下加一空筹以合进一位之数】先以平隅共法【即平亷小隅共法或省曰共法】为次商之法即截取初商下一位至第二防止为次商之实法除实得次商【视共法筹内有小于实者为平亷亷小隅共积用其根数为次商】次以次商之自乘数【即大筹立积下所带平方积数】与长亷法相乘【以平方数寻长亷筹之行取其行内积数用之】得数加入平隅共积为次商总积以此总积减次商之实及减则已倘不及减转改次商及减而止【因亷积或大有不及减者】 　　三商者合初商次商数自乘而三之为平亷法以其数用筹列方筹上为平亷小隅共法 　　别以初商次商数三而进位以其数用筹加一空位筹列立方筹下为长亷法 　　截取次商下一位至第三防为三商之实共法为法除之以得三商【其积为共积】　次以三商自乘数与长亷法相乘得数加入共积为三商总积　减实【又一法长亷法不必加空位筹得于得数下加一圏即进位也】 　　四商以上仿此 　　解曰隅者小立方也故可以立方筹为法平亷之数每大于隅二位今以立方筹为隅列于平亷下则隅之首位与平亷之末位两半圆合成一数故平亷小隅可合为一法　长亷之两头皆如次商自乘之数故可以平方乘之又长亷之数每大于隅一位故于下加一空筹以进其位便加积也 　　【何以知平亷大于隅二位而长亷只大一位也曰平亷者初商自乘之数也初商于次商为十数十乘十则百数矣隅积者次商本位也故平亷与隅如百与单相去二位也若长亷只是初商之三倍位同初商初商与次商如十与单故长亷与小隅亦如十与单相去一位也】 　　凡初商积尽于上一防故上一防为初商实次商积尽于第二防故第二防以上为次商实推之三防为三商实四防为四商实以上并同 　　审空位法曰若次商之实小于平亷小隅共法之第一行或仅如共法之第一行而无长亷积则次商是空位也即作圏于初商下以为次商乃于平亷筹下立方筹上加两空位筹为三商平亷小隅之共法以求三商其长亷法下又加一空位筹【并原有一空位筹共两空位筹】为三商长亷法【又法长亷不必加空筹但于得数下加两圏】　若商数有两空位者平亷小隅筹下加四空位筹长亷积下加三圏 　　解曰有空位则所求者三商也初商于三商如百与单而平亷者初商之自乘百乘百成万故平亷与三商之隅如万与单大四位也此加两空筹之理也【平亷原大二位加二空筹则大四位矣】初商与三商既如百与单则长亷与隅亦如百与单大两位也此又加一空筹之理也 　　初商列位商一用常法二至五用进法六至九用超法今各存一例于后 　　假如有立方积六百八十五万九千尺问每面若干列位　作防 　　如图防在首位以○○六百 　　万为初商实 　　视立方筹有小于○○六者 　　○○一也其立方一商一百尺【三防故初商百】减积一百万尺次截取第二防上五八五九为次商实 　　以初商一百尺自乘得一万尺而三因之得三万尺为平廉法用第三筹列立方筹上为平廉小隅共法 　　别以初商一百尺三而进位得三百○十尺为长廉法 　　列立方筹下视平隅共法筹第九行是三四二九小于实商九十尺 　　次以第九行平方八一乘长廉三得二四三○以加共积得五百八十五万九千为次商九十尺之积除实尽 　　次商十宜有三商而除实已尽是方面无单数也凡开得立方每面一百九十○尺 　　假如有立方积一千二百八十六亿三千四百六十七万○五百九十二尺问方若干 　　列位 　　作防 　　如图防在第三位以一 　　千二百八十亿为初商 　　实 　　视立方筹内有小于一二八是一二五其方五也商五千尺【四防故初商千】减积一千二百五十亿 　　次截取第二防上○三六三四为次商实 　　以初商五千自乘得二千五百万而三之得七千五百万为平廉法用七五两筹列立方筹上为平廉小隅共法别以初商五千尺三而进位得一万五千○百尺为长亷法用筹列立方筹下 　　视共法筹第一行是○ 　　七五○一大于实不及 　　减知次商百位空也于 　　初商下作一圏为次商【原实上减一圏】 　　乃截第三防三六三四六七○为三商实 　　次于平亷筹下立方筹上加两空位筹为平亷小隅共法 　　于长亷筹下又加一空位筹【原有一空位筹共二空位】为长亷法 　　视共法筹第四行 　　是三○○○○六 　　四小于实用为共 　　积商四十尺　以长廉法与四行之平方一六相乘得二四○○○为长廉积加入共积得三○二四○六四减积三十○亿二千四百○六万四千尺次以商数五千○四十自乘得二千五百四十○万一千六百尺而三之得七千六百二十○万四千八百尺为平廉法列立方筹上为平隅共法别以商数五千○四十尺三而进位得一万五千一百二十○尺为长廉法列立方筹下 　　乃截第四防 　　六一○六○ 　　六五九二为 　　四商之实 　　视共法筹第 　　八行六○九 　　六三八九 　　一二小于实 　　商八尺以长亷法与第八行平方六四相乘得九六七六八○为长亷积以加共积得六一○六○六五九二除实尽 　　凡开得立方每面五千○四十八尺 　　右加两空筹例 　　假如有立方积七千二百九十七亿二千九百二十四万三千○二十七尺问每面若干 　　列位　作防 　　如图防在第三位以七 　　千二百九十亿为初商 　　实　视立方筹方九之 　　积七二九与实同商九千尺减积七千二百九十亿【四防故初商千】次截第二防○○○七二九为次商实以初商九千尺自乘八千一百万尺而三之得二亿四千三百万尺为平亷法列立方筹上为平亷小隅共法别以初商九千尺三而进位得二万七千○百尺为长亷法列立方筹下　视共法筹第一行是○二四三○一大于实不及减知次商百位空也于初商九千尺下作一圏为次商【原实上减去一圏】乃于平亷筹下立方筹上加两空筹为平廉小隅共法于长亷筹下又加一空筹得二七○○为长亷法　截取第三防○○七二九二四三为三商实　视共法筹第一行是○二四三○○○一大于实仍不及减知三商十位亦空也于商得九千○百下加一圏为三商【原实上又减去一圏又法实多空不必挨商但寻至不空之界如○七乃与平亷相应即于○七之上初商之下作连圏为次商三商而于原实中销两圏】 　　此次商三商合图也 　　乃于平亷筹下立方筹 　　上又加两空筹【共四空筹】为 　　平亷小隅共法　其长亷筹下又加一空筹【共三空筹】得二七○○○为长亷法【或不必加筹只于得数下加三圏亦同】 　　截取第四防○七二九二四三○二七为四商实 　　视共法筹第三行是○七二 　　九○○○○二七小于实商 　　三尺　以长亷法与第三行 　　平方○九相乘得二四三○ 　　○○为长亷积以加共积得 　　○七二九二四三○二七除实尽 　　凡开得立方每面九千○○三尺 　　右加四空筹例 　　开方分秒法【筹算七】 　　勿庵氏曰命分古法也然但可以存其不尽之数而已若还原则有不合故有分秒法以御之也虽亦终不能尽然最小之分即无关于大数视命分之法不啻加宻矣 　　平方 　　法曰凡开平方有余实不能成一数不可开矣若必欲开其分秒则于余实下加二圏【原实一化为一百分】如法开之所得根数是一十分内之几分也或加四圏【原实一化为一万分】如法开之所得根数是一百分内之几分也或加六圏【原实一化为一百万分】如法开之所得根数是一千分内之几分也如此递加两圏则多开得一位乃至加十圏【原实一化为百亿分】其根数则十万分内之几万几千几百几十几分也 　　假如平方积八步开得二步除实四步余四步不尽分秒几何 　　法于余实下添两圏则余实四步 　　化为四百○○分为次商之实 　　依捷法以初商二步倍作四步为