历算全书 - 第 98 页/共 206 页

若依命分法则还原不合 　　如前所设立方积一十七步开得立方每面二步除积九步余九步法当以立方二步自乘得四步而三之得十二步为平亷又以立方二步三之得六步为长亷又加【一步】为隅共【一十九步】为命分命为立方二步又十九分步之九意若曰余积若满十九步则加商一步矣今只有九步是以十九分为一步而今仅得九分也然还原则有不合 　　以算明之 　　用通分法以命分十九通立方二步得【三十八分】又加得分九共【四十七分】此即所云二步又十九分之九乃立方一面之数也以此自乘得【二千二百○九分】再乘得【一十○万三千八百二十三】乃立方二步又十九分之九所容积数也为实别以命分十九自乘得【三百六十一】再乘得【六千八百五十九】乃方一步之积为法以除实得【一十五步又六千八百五十九之九百三十八】较原实一十七步少【一步又六千八百五十九分之五千九百二十一】 　　其故何也曰长亷小隅之差也何以言之曰立方之有竒零其在平亷者实其在长亷小隅者虚何也平亷之虚者一面而长亷虚两面小隅虚三面故也今以十九分为一步其立方积【六千八百五十九分】为步法以十九分除之得每【三百六十一】为分法平亷每步【横十九分直十九分髙九分积三千二百四十九】分法除之得九是为十九分之九适合命分之数也 　　若长亷【横九分直十九分髙九分积一千五百三十九分】分法除之得四分有竒而已以较平亷九分之积【三千二百四十九】少【一千七百一十分】三长亷共【六步】共少【一万○二百六十分】步法除之得一步又三千四百○一分为长亷差 　　若小隅【横直髙各九分积七百二十九分】分法除之得二分有竒而已 　　以较平亷九分之积【三千二百四十九】少二千五百二十分为隅差 　　合亷隅两差计之共少一步又六千八百五十九分之五千九百二十一 　　以图明之 　　丑寅为立方一步之形每步通为十九分横直髙各十九分积六千八百五十九分是为步法 　　以十九分除步法得三百六十一分是为分法 　　亷隅总图【见左】 　　甲乙丙三平亷也纵横各方二步通为三十八分厚九分积一万二千九百九十六分三亷共三万八千 　　九百八十八分丁戊巳三长亷 　　也各长二步通为三十八分厚 　　濶各九分积三千○七十八分 　　三亷共九千二百三十四分 　　庚小隅也长濶髙皆九分积七 　　百二十九分 　　三长廉三平廉一小隅共包一正方形在内 　　正方形纵横各二步通为三十八分　积五万四千八百七十二分 　　总形方二步九分通为四十七分髙如之　积一十○万三千八百二十三分　以步法除之得一十五步有竒不满原实一步又五千九百二十一分 　　平亷方二步其容四步即辛壬癸 　　子之分形也每步纵横皆一步通 　　为十九分厚皆九分积三千二百 　　四十九【辛一形积如此壬癸子者同】　以分除之适得九分 　　长亷长二步【如丑寅合形】通为三十八 　　分厚九分皆与平亷同所不同者 　　平亷濶十九分而长亷濶只九分 　　故长亷二步尚不及平亷一步之积以积计之每长亷一步【如丑形】积一千五百三十九分较平亷每步之积【如丑夘合形】少一千七百一十分【如丑之虚分夘】三长亷计六步共少一万○二百六十分是为长亷之差 　　小隅横直髙皆九分【如未形】于平亷 　　一步之积不及四之一以积计之 　　小隅之积七百二十九较平亷一 　　步之积【如未申合形】少二千五百二十分【如未之虚分申】是为小隅之差　合二差共一步五千九百二十一分今考定开立方亷隅差法法曰凡立方有命分者如法以分母【即命分】通其整而纳以分子【即得分】为立方全数以全数自乘再乘得数为立方通积另置命分【母数】与得分【子数】各自乘得数以相减用其余数以乘得分得数为隅差又置命分与得分相减用其余数转与得分相乘以乘命分得数是为长亷每步虚数又以长亷法乘之得数为长亷差合二差数以加通积为实以命分自乘再乘得数为法除之即适还原数如所设立方积十七步开得立方二步又十九分 　　之九法以分母【十九】通立方二步而以分【子九分】纳之共【四十七分】为立方全数以全数自乘再乘得【一十○万三千八百二十三】为通积另置命分【十九】自乘得【三百六十一】内减分子【九】自乘【八十一】余【二百八十分】以分子【九】乘之得【二千五百二十分】为隅差又置命分【一十九】内减得分【九】余十分转乘得分【九】得【九十分】以乘命分【十九】得【一千七百一十分】为长亷每步虚数又以长亷法【六步】乘之得【一万○二百六十分】为长亷差合二差共一万二千七百八十分以加通积共得一十一万六千六百○三分为实以命分一十九自乘再乘得六千八百五十九分为法以除实得一十七步合原积 　　厯算全书卷三十三 　　笔算自序 　　或问笔算西人之法耳子何规规焉曰非也自图书启而文字兴参两倚数毕天下之能事六书九数皆原于易非二事也古人算具以筹策纵横布列畧如筮法之挂扐其字象形为祘是故其纵立者一而一其上横者一而五珠盘之位实此权舆夫用蓍在立卦之后则筹策之算必不在文字先矣是故筹策之未立形声防画自足以用而筹策之所得又将纪之简策以诏方来书与数之相须较然眀也近数百年间再变而为珠盘踵事生新以趋简易然观九章中盈朒方程必列副位厥用仍资笔札其源流不可想见与故谓笔算为西人独智者非也曰今所传同文算指西镜録等书亦唐九执厯元明间回囘土盘之遗耳与中算固各有本末矣曰是则然矣然安知九执以前不更有始之始者乎西人之言厯也自多禄某以来二千年屡变而宻溯而上之亦不能言其始于何人其为算也亦若是己矣夫古者圣人声教洋溢无所不通南车记里之规随重译而四逹我则失之彼则存之乌乎识其然乌乎识其不然耶且夫治理者以理为归治数者以数为断数与理协中西非殊是故礼可以求诸野官可以问诸郯必以其西也而摈之取善之道不如是隘也况求之于古抑实有相通之故乎曰然则子何以易衡而直曰旁行者西国之书也天方国字自右而左欧逻巴字自左而右皆衡列为行彼中文字尽然也彼之文字既衡故笔算亦横取其便于彼用耳非求异于我也吾之文字既直故笔算宜直亦取其便于用耳非矜胜于彼也又何惑焉问者以为然遂书其语为序康熙癸酉二月初吉宣城梅文鼎撰 　　发凡 　　笔算之便与筹算同然筹仍资笔而笔则无假于筹于文人之用尤便【笔算无歌括最便学习又无妨酬应乆可覆核皆与筹算同详筹算书】 　　笔算易横为直以便中土盖直下而书者中土圣人之旧而吾人所习也与筹算易直为横其理正同 　　笔乗原法以法实相叠殊混人目今所更定者一纵一横法实各居其所而纵横相遇处得数生焉不惟便用而已其所以然之理亦按图可知 　　笔除原法得数与原实相离定位易淆今所更定者法实与得数两两相对算理井然定位尤简 　　【所谓原法者并据同文算指乃西土之旧式利西泰所授而李水部之藻所刻也厥后有西镜録等书稍稍讲明定位之用盖亦酌取中法而为之然于古人实如法而一之防似犹有隔兹以法上得零之诀定之庶令学者一望而知所兾髙贤有以教之幸甚】 　　钦定四库全书 　　厯算全书卷三十四 　　宣城梅文鼎撰 　　笔算卷一 　　列位法 　　数始于一究于九毕于十十则又复为一矣等而上之为百为千为万乃至兆亿皆得名之为一即皆得名之为二三四五六七八九故必先稽其位而列之并减乘除以此为基非是则算无可施矣法具如后【以一位言之有自一至九之名此如同軰之有长防合上下之位言之有单十百千万之等此如己身而上有高曽祖父己身而下又有子孙云仍故单以下复有畸零之位也】 　　列位式 　　万　千　百　十　零 　　【此姑以五位为式位有多寡皆以零数为根零亦曰单】 　　假如有数二万四千七百五十九依法列之 　　二　四　七　五　九 　　【凡列数以最下小数为单单上有一位共二位即是十数有三位是百有四位是千有五位是万不必更书十百千万等字但稽其有若干位即得之矣】 　　又如有数四千○九十六依法列之 　　四　○　九　六 　　【凡数大小相乘中有空者必作○以存其位如此式有千有十有单而无百故于百作○以存其位】 　　又如有数一万○八百 　　一　○　八　○　○ 　　【凡数以单位为根今此数无千无十而并无单故必补作三○以成五位则知首位是一万矣】 　　又如有数一十二万九千六百 　　一　二　九　六　○　○ 　　【原数四位无空然无十无单故必补作两空以成六位则知首位为十万】 　　畸零列位式 　　凡整数自单而陞若畸零数则自单而析故单位者数之根也然整数之陞以十为等自单而十而百而千而万皆一法也【万以上有以十万为亿十亿为兆十兆为京自此而垓而秭壤沟涧正载皆以十而变谓之小数有以万万为亿亿亿为兆兆兆为京以上尽然皆以自乘而变谓之大数今所用者以万万为亿万亿为兆万兆为京以上尽然皆以万而变谓之中数三者不同然其列位皆以十为等故曰一法也】若畸零之式其故多端约而言之亦只二法其一以十为等其一不以十为等而各以其所立之率为等是二法者又各分二类列之各有其法【详后】 　　其一以十为等分二类 　　假如钱粮料则毎田一亩该五分九厘八毫六七忽九微三纎四沙八尘九埃二渺一漠 　　依法列之 　　○○五九八六七九三四八九二一 　　两钱分厘毫丝忽微纎沙尘埃渺漠 　　【右式今所通用自两而下以十之一为钱又以钱十之一为分分十之一为厘如是递析为毫为忽以至渺漠皆以十为等】【原科则自分起以至渺漠计十二位今加两○为十四位者乃列位之法也何也分之上有钱钱之上有两两为单数凡列畸零之数必以单数为根始便合总故两数虽空必存其位也】 　　凡度法以丈为单数则其十之一为尺又十析之为寸为分为厘毫丝忽之属【亦有以尺为单以寸为单者皆如所设】 　　凡量法以石为单数则其十之一为斗又十析之为升为合为勺之属【亦有以斗为单数者皆如所设命之】法并同上 　　右法以十为等即以一位为一名如上位是两下一位即是钱此为一类 　　假如授时厯法毎一平朔二十九日五十三刻零五分九十三秒依法列之