历算全书 - 第 103 页/共 206 页

除有不尽者以法命之用法数为母不尽之数为子命为几分之几 　　次还原 　　凡除法恐其有误当以乘法还原用法数与得数相乗除有不尽者并入之即得原实 　　又法仍以除法还原用得数为法转除原实即复得法数除有不尽者以减原实为实然后除之 　　又法以九减七减试之以法数九减七减皆用其所减之余纪右再以得数如法减之纪其余于左左右两余数相乗仍如法减之纪其余于上方末以原实亦如法减之纪其余于下方上下相同则无误矣 　　又简法作直线于左方以应减之数依并法并之必合原实有不尽数亦并入之【此法更简更确】 　　按笔除原法以法实上下相叠不论数之何等【谓十单分秒之等】而但齐其尾殊欠条理又以得数横续于法实之尾定位易淆今法与实皆用真数相对而宜减之数先列左方对减无误即古人实如法而一之故了了分明据法首定位尤为简快 　　一位除式 　　假如有额编地丁银二百一十一两一钱四分其科则毎亩六分问原地若干 　　答曰三千五百一十九亩 　　审法实诀【此为以毎数求总数也其毎数六分为先有之定则不动故以为法】 　　【右并法还原即用原列应减之数并之必合原实是为简法】列位法【如法作两直线先以实数二一一一四列于右直线之右自上而下顺布之次以法数六列于右直线之左因法系六分故与实分位相对】 　　商除法【次以法数约实法是六实是二以六除二当合下位作廿一除之商作三以乘法六呼三六一十八是言十之数将商得三以法首二书于左直线之右以乘得一八书于左直线之左因是言十之数以乗得进位一字对商数三字书之遂以此乘得一八用减法与原实二一对减先于实次位减八实系一不足减作防借上一数为十一减八余三改书三于实一之右次于实首位减一实系二因借去一防只作一减尽作○乃作线抹去二一存○三亦于左作线抹去减数一八】 　　【次商以六除三亦当合下位作三一除之商作五以乘法六呼五六成三十是言十之数将次商五对实三字书于初商之下亦以乗得三○依法以三字为进位对次商五字书于左直线之左依法对减实三】 　　【作○仍作线抹去实三亦于左减数抹去三○三商以六除一合下位作十一商作一呼一六如六是言如之数将三商一对实上位一字书于次商五之下依法以乘得○六对所商一字书于左线之左以对减实一一以六减一不足减作防借上成十一减六余五改书　五于右抹去一一亦于左减数抹去○六末商以六除五亦合下位作五十四商作九呼六九五十四是言十之数将商得九对实五字书于三商一之下依法以乘得五四对所商九字书左线之左以对减实五四恰尽俱改书○而抹去五四左减数亦抹去　共商得三五一九】 　　定位诀【于右线法数六字上一位作□为单位之识以横对左得数九字定为单九亩进位是十亩又进百亩又进千亩命所得为三千五百一十九亩】 　　乗法还原【以法六分乘得数三千五百一十九亩仍得原实见乗法】除法还原【以得数为法除原实仍得法数六分　见后条】试法 　　【九减得数无余纪○于左法数余六纪于右左右相乗仍纪○于上 　　九减原实无余纪○于下凡○位与他数相乗所得皆○】 　　【七减得数余五纪左法数余六纪右左右相乗仍以七减余二纪于 　　上七减原实余二纪于下两试皆上下相同知其不悮】 　　【论曰除法以乘法还原犹之乘法以除法还原此旧法珠算所必需若除法以除法还原则旧所无也同文算指用九减七减试法可免还原颇称巧防今以并法代之则试法亦省故称简法焉兹各具一则用相参互以明筭理握算者择而用之可也今定笔除只用简法还原若笔乘仍用试法】 　　多位除式 　　假如有熟地三千五百一十九亩共征银二百一十一两一钱四分问每亩科则若干　答曰毎亩六分审法实【此以总数求毎数也问者欲知毎亩科则是将以总银变为毎银银数动地亩不动故以地为法银为实】 　　列位法【先以实数自上而下顺布于右线之右次以法数对书于右线之左实首位是二百法首是三千法大于实一位故进一位列之凡进位列者皆不满法】 　　商除法【以法数约实法首是三实是二合两位二一除之宜商七因法有次位须留余地改商六以乗法三呼三六一十八是言十之数以商数六对实首二书于左直线之右以乘得一八书于左线之左遂以商数六徧乗法次位五呼五六成三十乗得三○挨书于一八之下一位又以商数徧乗法第三位一呼一六如六乘得○六挨书下一位又以商数六徧乗法末位九呼六九五十四乘得五四又挨书下一位如此徧乗法四位讫乃以乘出数为减数对减原实恰尽】 　　定位【寻法首上一位为单位横对左线得数上二位定为两顺下一位是钱此二位俱空补作○○再下是分定所得为六分】 　　此一次除尽例也又为法大实小故所得不能成整数【两为整数今所得是分在两下二位】 　　【若用乘法还原同前条还原法若用除法还原即前条除法】 　　此所定单位在得数之外乃借虚位以定实数【下条同】其故何也曰法是三千有零能满此数始能成一两故曰实如法而一今法大实小是实不满法不能成一数所得者乃剖一整数而得其若干如此条所得乃百分两之六也【详命分】 　　假如有银八两六钱六分八厘换金毎金一两该银八两八钱问换金若干 　　答曰九钱八分五厘 　　定法实诀【此为以银除银金价八两八钱是先有之定则不动就以为法】 　　【如前法对列法实于右线之左右初商法八实八宜商一因无次商改退商九以乗法八得七二又乗法次位八亦得七二依法挨书遂以对减实三位八六六余○七四　次商八以乘法八得六四乗法次八亦得六四依法书之遂以对减余实七四八余○四四　三商五以乗法八八得四四○依法书之遂以对减余实恰尽】 　　定位【法数上一位为单位横对得数上一位是两定为○两九钱八分五厘法实首位同而法次位八大于实次位六故亦借虚位以定实数説在前条】 　　【甪乗法还原见乗法第二条　用除法还原以金九钱八分五厘为法除实得毎两价八两八钱即畸零法也详通分】 　　假如有银四万八千两六十四人分之该若干 　　答曰各七百五十两 　　假如有银二百七十二两○二分四厘九毫毎钱一千银九钱○五厘问钱若干　答曰三十万零五百八十文定法实【此先有定则九钱○五厘故以为法】 　　【此法有○位例也亦是得数有○之例 　　初商三以乗法九得二七法次位空无乘挨作○○以存其位 　　再乗法末位五得一五各如式书之以对减原实二七二○余 　　○○○五　实空位无可商次商从实五字起商作五以乘法 　　九得四五法次位空亦作○存位　乗法末位五得二五如式 　　书之以对减实五二四九余○七二四】 　　【初商三乗九得二十七是言十之数宜对实首位二字书得数三次商五乗九得四十五亦是言十之数宜对余实首位五字书得数五如此审定而书则乘出减实之数与实相对了了分明便知不误然初商次商不相接续所差二位是得数有二空位也补作○○于初商次商之间以存得数之空位如是则次商之事毕　末商八以乗法九得七二法次位无乘亦作○存之法末位乗得四○以对减余七二四恰尽】定位【此因所问是毎千之价故千即单数也从法上一位横对定为千文之位上为万又上十万定所得为三十万○○五百八十文】 　　若以数三十万○○五百八十文为法除原实二百七十二两○二分四厘九毫亦复得九钱○五厘为毎千之价如后图 　　审法实【此问钱价是以钱分银故以总钱为法总银为实】 　　列位之理【所欲知者毎千之价故以千为 　　单以万为十以十万当百与原银对列 　　其书商数如式不错则得数之空位自明定位亦自无 　　舛説见前此两条互相还原　若以 　　乗法还原并用乘法第三条】 　　命分法 　　凡除法至单而止故曰实如法而一所谓一者即单一数也其有除至单数而仍有不尽之余实或法之数本大于实皆不能成一整数则以法命之其法有二其一除之至尽如计轻重者不满一两则除之为若干钱若干分及厘毫丝忽前条法大实小及得数单下仍有数位者是也【若授时厯万分为度百秒为分及钱钞论贯贯之下有百冇十有零文尤为易见】其一以法数为分母不尽之数为分子命为几分之几【如以三除五内除三数满法成一整数余实二不能成整则以此二数各剖为三分共成六分而以三除之各得二分是为三分之二也】假如十九人分银二百五十四两问各若干 　　答曰各十三两零十九分之七 　　【以十九人为法除二百五十四两各得一十三两不尽七两以法命 　　之　其法以法十九命为分母不尽七数为分子命为十九分两之 　　七　解曰一整两各剖为十九分则不尽之七两共剖为一百三十 　　三分以十九人分之各得七分并整数分数为毎人分得一十三两 　　零十九分两之七】 　　【若用乘法还原法以十九人乗得数十三两得共二百四十七两加 　　八不尽七两共二百五十四两合原实】 　　【若用除法还原　法置原实内减不尽之数七两余二百四十七两为实毎人十三两为法法除实得十九人】 　　论曰古人只用命分后世乃有除之至尽之法然终不能尽【如以十九人除七两各得三钱六分八厘四毫二丝一忽终余一忽】故不如命分之简妙【如钱粮尾数一忽之下仍冇微纎等七位不等徒滋繁文无禆实用然亦终不能尽若命分之法只一语喝尽更无渗漏然后知古法为无】 　　省除法【旧名定身除亦名减法凡法首位是一数者用之】 　　假如漕粮正耗共五百○四石每正米一石除耗四斗问正米若干 　　答曰三百六十石 　　【先以原数五定正数为三书直线左以应减耗数四乗所定正三得 　　耗一十二并正三共得四二以减原数五○余○八次以余数八定 　　正数为六书正数三之下以减耗四乗六得二十四并正六共得八 　　四减余数恰尽合得数减数并之即还原数或用 　　加四亦同】 　　定位【凡省除皆以原数定位】 　　省除又法【古谓之求一除法】 　　凡定身除惟法首是一数者可用今以倍半之法求之则法首皆变为一数