历算全书 - 第 102 页/共 206 页

假如有珠子三分五厘毎两值银二十四两该 　　若干 　　答曰八钱四分 　　依法乘而并之得八四○ 　　定位【原问珠毎两价今实数只有分乃进位作 　　○于钱位又上作○于两位两为根横对得数为法尾数 　　两而两位空补作　定所得为八钱四分】 　　定位又法【此小数法也实有分厘在原问毎两下三位宜截去得数末三位定法尾数两而得数只三位无可截乃补作○于得数之上然后截之定为○两】 　　此与前条金价并畸零乘法也【余详通分】 　　省乘法【古谓之加法】 　　假如有漕粮三百六十石毎石耗米四斗问正耗共若干答曰共五百○四石 　　此就身加法也【原数即当得数不动只挨身加四 　　先于六十石加四六二十四石又于三百石加三四一百二十石末 　　用并法连原数并之合总凡加法定位依原数不湏更求下同】 　　【加法九试七试略同并法并合原数加数减余列右共数减余列左此及下 　　条并九减七减俱无余】 　　假如银五十四两毎两月息二分五厘今两个月共本息若干 　　答曰共五十六两七钱 　　【此因所加是分在两下二位故隔位加　又因毎月二分半今两个 　　月该五分故以五分为法先于四两加二○进于五十加二五末以 　　并法连原数合总】 　　省乘又法【古谓之求一乘法】 　　凡法数之首为一数者即原数不动而挨身加之与前两条同也若法首非一数者以法变为一数则亦可挨加此为本非一数求而得之故名求一乗法也　其法遇法首为二为三则折半用之而倍其实　法首遇五六七八九则加倍用之而半其实　法首遇四则取四之一用之而四其实【如此则法首成一数可用省乘】 　　【凡求一乘法定位亦于原实内寻毎数为根以横行对得数定之但此所对得数恒为法首位数　若乘法则为法尾位数与此不同乃理势之自然不可不知】 　　假如前条珠三分五厘价毎两值银二十四两用乘法得价银八钱四分今以法数折半作一十二两实数加倍作七分挨身加之所得正同而用加防矣 　　【原数不动即用为法首一数所乘也挨身以法次位二与原数相乘呼二七加 　　一十四本位纪一下位纪四加讫以并法合总亦连原数作数并之】定位【亦从原数七分上加两○寻毎两位为定位之根横对左行总数得法首 　　位是十两下一位是两俱空位补作两○再下一位即钱定所得为八钱四分】 　　又如前条钱三十万○○五百八十文毎千价九钱○五厘以钱折半【十五万○二百九十】为实价加倍【作一两八钱一分】为法 　　【原数借为得数不动　以法去首位一只用八一挨身加 　　之自下起于九加七二九于二加一六二其○位无加于 　　五加四○五于实首一加八　一加讫合　原数并总】定位【寻原数千位为根横对左行得数得法首两位】 　　并乘法【凡有数次乗者并为一次乗亦算家简法旧谓之异乗同乘】 　　假如原本银三千二百两毎两一年获息一钱五分六厘二毫五丝已经四年该息若干　答曰二千两 　　【法先以三千二百两乘四年得一万二千八百两再 　　以息银乘之是并两次乘为一次乘也】 　　截乘法【凡乗法位多者截作数次乘之以便初学其法与并乗相反而其理相通】 　　假如有三十二人各给布六丈四尺共若干 　　答曰二百○四丈八尺 　　【先置六丈四尺以十六人为法用省乘就身加六得一百○二丈四尺又 　　二乘加倍合总解曰十六乘又二乘即三十二乘也】定位【凡就身加者原数即可定位如前条漕粮毎石加四斗是也此 　　条是十六加首行六四虽以原数当得数而六丈四尺已陞为六十四丈 　　矣　若加倍自是本位此在用算者临时消息之也】 　　或置三十二人以八丈乘两次亦同 　　解曰八乘二次即六十四乗也 　　或置六丈四尺以四乗之得数又以八乗之所得亦同 　　解曰四乗一次又八乗一次即三十二乗也 　　除法 　　以数剖数是之谓除除其原数以归各数故除亦曰归【除与乘对理精用博近或谓之分义则浅矣】 　　有一位除有多位除【或分一位曰归多位曰除或曰归除曰混归然古皆曰除】皆有法有实有得数【得数一名商数】 　　实其物也法其则也法实在乘法或可互用而除法必须审定乘法以法与实相遇而生一数如阴阳相交而生物也故虽互用而其交之理不易其生之用亦不易也除法以实满法而成一数如镕金以就型也故曰实如法而一若倒用之则非矣【实如法而一或变文曰如某数而一如用三除者省文曰以三而一言以三数成一数也而字皆连上为文或者不察遂竟以而一当除之字义失其防矣】定法实诀 　　凡审法实有二诀一曰先有定则即以定则为法其所除者必同名之物也【如有定则之银为法而除总银以定则之米为法而除总米是也】一曰先无定则而求定则须详问意以所用求之者为法其所除者必异名之物也【如以总米除总银以总银除总米是也】何以为先有定则也以事明之如银籴米而先知每米一石之银若干是先有定则之银也即以此定则之银为法而以总银为实以法除实则得总银所籴之总米矣【此为有总银数又有米毎石之银数故以银除银而得总米】 　　若先知毎银一两之米若干是先有定则之米也即以此定则之米为法而以总米为实以法除实则得总米所粜之总银矣【此为有总米数又有银毎两之米数故以米除米而得总银】 　　是皆所除者同名而所得者异名也又谓之以毎数求总数【凡以毎数求总数者以每数为法毎数即定则也以比例求之更明图具左方】 　　何以为先无定则而求定则也如有总米又有总银而无毎数则当于问意详之问者若欲知每米一石之银是以米分银也则以总米为法总银为实问者若欲知每银一两之米是以银分米也则以总银为法总米为实是所除者异名而所得者亦异名也又谓之以总数求每数【凡以总数求毎数先无定则故必于问者之所求酌之亦有比例之理】 　　又防法 　　凡不动者为法动者为实何以明之如有总米总银而欲知毎米一石之银则将变总银为每米之银是银动而米不动也故以米为法若欲知每银一两之米则将变总米为毎银之米是米动而银不动也故以银为法其以毎数求总数者先有定则不动即用为法尤为易见 　　凡布算乗易而除难除法之难尤在法实法实无误则思过半矣此乃珠算笔算所同也故首辨之如右若笔算除法更有宜知者数端具如后方 　　一列位【法实既辨即当列位】 　　其法先作两直线自上而下平行相望约其间可容字两行为率其长短则视位数多寡定之先以实数列于右直线之右自上而下依列位法书之次以法数列于右直线之左亦自上而下其千百十单皆与实相对或法数有千而实只有百者即对书于上一位余皆仿此亦有实数无分秒而法数有之者亦对书于实尾之下次约实以求得数【得数亦名商数】 　　以法约实纪其得数于左线之右视法首位是言如之数【如三三如九之】则书于实之上一位而于实首添作○以遥对之或法首位是言十之数【如二六一十二之类】则书于实首之对位其次商三商以上皆依此书之若书之而不相接辏是商数有空位也补作○此定位之根慎不可错次乘商数求应减之数以减原实 　　以商得数与法数相呼乗之而纪数于左线之左皆以乘数之进位对商数纪之【如二六一十二则以一十对商数书之如三三如九是为○九则以九上之○对商数书之他皆仿此】乃遂以乗出数与右行原实对减【周减法】足减者于原实抹改之不足减者改商数其乗出数亦抹去便续商也 　　次定得数之位 　　先于法数之上一位作□为识以对得数命为单位等而上之则十百千万等而下之则分秒忽微皆从此定 　　次命分