历算全书 - 第 104 页/共 206 页

其法遇法首位是二是三法实皆折半遇四则折半两次遇五六七八九法实皆加倍【如此则法首位皆成一数】假如前条六十四人分银四万八千两用除法各得七百五十两今以法实各折半两次用定身除所得亦同 　　【先以法六十四折半作三十二又折半一十六为法实四万八千折 　　半作二万四千又折半一万二千为实用定身除法先以实首两位 　　一二定七为得数法去首位一不用只用六以乘得数七得四十二 　　书左并得数七共一一二以减原实一二余○○八次以余实八定 　　五为得数亦以法六乗得三○挨书于左以减余实八恰尽】 　　定位【得数七对原实千因法是有十之数退一等作七百定所得为七百五十石　假如十人七千即毎人七百故法有十者退一位也凖此推之法有百退二位有千退三位万以上仿此论之凡省除依原实定位当知此诀】 　　并除法【旧名异除同除】 　　凡有当除数次者则以法相乗为法作一次除之亦简法也【如以四除之又以五除之又以七除之则以四乘五得二十又以七乘得一百四十共为法以除之是并数次除为一次除也】 　　假如经商获利二千两原本三千二百两已经四年问毎年毎两之息 　　答曰毎两息一钱五分六厘二毫半 　　法曰先以四年乗原本【三千 　　二百】得【一万二千八百】为总法【本法宜以 　　二千二百除二千得毎两之息再以四年除之得毎 　　年毎两之息今并两次除为一次除足简法也】 　　截除法【与并除相反所以便初学】 　　凡除有法数位繁者或可以截为两次除以从简易假如五十六人分银【一千五百一十二两】各若干 　　答曰各二十七两 　　【此因法五十六是七八相乘之数故先以八除得一百八十九两仍用为实再以七除之得二十七两合问】 　　【或先用七除得数二百一十六两复以八除之亦得二十七两为毎人数】 　　【右省除式也只作一直线书原实于右纪得数于左而以九九数呼而减之不必另书减数凡法只一位者用此为便】 　　假如铜一百二十八斤价二十两问毎斤若干 　　答曰毎斤一钱五分六厘二毫半【原法三位今用截除三次俱一位为法可用省除】 　　假如银一千○八十两置田二百一十六亩问田价每亩若干 　　答曰五两　【原法三位今用六除三次亦同】 　　约分法 　　凡命分有可约者以法约之古法曰可半者半之不可半者以少减多更相减损求其有等以等约之【以等数除母子数则皆除尽西人谓之纽数】 　　假如八十一人分银二十七两问各数　答曰各得三分两之一 　　法曰【以八十一除二十七不能各得一两依命分法八十一为分母二十七为分子命为八十一分两之二十七又以法约之为三之一】解曰【八十一是三个二十七若剖毎两为八十一分即各得其二十七分是三之一也】 　　分母八一　【约分法曰置分母八十一用递减法以分子二十七减之余五十四复以二十七减】分子二七　【之仍余二十七如是则两数齐同是有等也即用此等数二十七为法转除分母八】减余五四　【十一得三除分子得一如此则不用细分但以毎两均剖为三而各得其一分即三又减分子】二七　【人共一两也若分子是五十四则用转减法以子五四】仍余二七　【转减母八一余廿七又以母余二十七转减子五四亦余卄七是相等也就以此等数卄七为法除母八一得三除子五四得二是为约得三之二】 　　假如米八十五石分结一百○二人问各若干 　　答曰各得六分石之五 　　法曰【人多米少不能各一石依命分法以一○二为分母八五为分子命为一百○二之八十五以法约之为六分之五】【约分法曰置分母一百○二以分子八十五减之得余十七用转减法以余十七减分子八十五余六十八又递减之余五十一又减之余三十四又减之余亦十七是相等也就此等数十七为法转除母数一百○二得六除子数八十五得五约为六分之五解曰一百○二是六个十七八十五是五个十七故曰六之五即六人共米五石也若以米毎石均分六分八十五石共得五百一十分为实以一百○二人为法除之得五是毎　所得为一石米中六分之五也】 　　厯算全书巻三十五 <子部,天文算法类,推步之属,历算全书> 　　钦定四库全书 　　歴算全书卷三十六 　　宣城梅文鼎撰 　　笔算卷三 　　异乘同除法 　　以先有之数知今有之数两两相得是生比例莫善于异乘同除乃古九章之枢要也先有者二今有者一是已知者三而未知者一用三求一故西法谓之三率今先明同异名之説以着古法次详三率之用以显通理 　　异者何也言异名也同者何也言同名也假如以粟易布则粟与粟为同名布与粟为异名也 　　何以为异乗同除也主乎今有之物以为言也假如先有粟若干易布若干今复有粟若干将以易布则当以先所易之数例之是先易之布与今有之粟异名也则用以乗是谓异乗若先有之粟与今有之粟同名也则用以除是谓同除皆用以乘除今粟故曰主乎今有以为言也【置今有粟以异名之布乘之为实再以同名之粟为法除之是皆以今粟为主而以先有之二件乘除之也】 　　问何以不先除后乗曰以原总物除原物总价则得每物之价以乗今有总物亦可得今有之总价然除有不尽则不可以乗故变为先乗后除其理一也 　　假如原有豆一百○八石价银三十六两今有豆一百三十五石问价若干 　　答曰四十五两 　　法曰置今豆一百三十五石以原豆价三十六两乗之得四千八百六十两为实以原豆一百○八石为法除之得四十五两为今豆应有之价【见以物求价也若还原则以价求物】 　　假如原有银四十五两买豆一百三十五石今有银三十六两问豆若干 　　答曰一百○八石 　　法以豆一百三十五石乘价三十六两得四千八百六十石为实以价四十五两为法除之得一百○八石合问西人三率法 　　其法以先有之二件为一率二率今有之二件为三率四率则前两率之比例与后两率之比例等故其数可以互求 　　【今冇之二率先只有其一合前有之二率共为三率以求之而得今有之余一率是以三求一故曰三率法实四率也】 　　假如一率是三二率是四三率是九则四率必为十二何也三与四之比例若九与十二也故以四【二率】九【三率】相乘【卅六】为实以三【一率】为法除之必得十二【四率】 　　若互用之以四率为一率则十二与九之比例若四与三故曰可以互求【此即还原之理】 　　【解曰以三比四以九比十二并三分加一之比例以十二比九以四比三并四分减一之比例凡言比例等者皆如是 　　此以上图之四率为 　　一率也故其序皆倒 　　而所得四率即上图 　　之一】 　　又更而互之 　　凡二三相乘与一四相乘等积此立法之根观右图可明【四九相乘三十六而十二与三相乘亦三十六故以三除三十六得十二以十二除三十六亦复得三此前两图互求之理若更一四为二三其实同为三十六故以四除之得九以九除之亦复得四此后两图互求之理】 　　又错综之