历算全书 - 第 94 页/共 206 页

尺为初商之实 　　乃视立方筹有○○一与实同商一十尺【二防商十】得立方积一千尺次以初商一十尺自乘一百尺乘纵亷得九百尺为纵亷积又以初商一十尺乘纵方得一百八十尺为纵方积　合计之共二千○八十尺大于实不及减【商一十故用常法书于防之上一位】改商九尺得七百二十九尺为立方积【十变为单则上一防不用用第二防故商九书于第二防之上两位用超进法也】 　　次以初商九尺自乘八十一乘纵亷亦得七百二十九尺为纵亷积 　　次以初商九尺乘纵方得一百六十二尺为纵方积并三积共一千六百二十尺除实尽 　　乃以商数命为濶　各加纵为长为髙 　　计开 　　濶九尺　长一十五尺　髙一十二尺 　　假如有长立方积六万四千尺但云长多濶五尺髙又多长一尺 　　先以长多五尺髙多六尺并之得【十十】为纵亷　又以五尺六尺相乘三十为纵方 　　【解曰长多濶五尺髙又多长一尺是髙多濶六尺也】 　　列位　作防 　　视防在第二位合商之以○六 　　万四千尺为初商之实 　　视立方筹有○六四与实同宜 　　商四十尺因有纵改商三十尺【二防故商十尺】得二万七千尺为立方积【商三十故书于防之上两位用进法也】 　　次以初商三十尺自乘九百尺乘纵亷得九千九百尺为纵亷积 　　次以初商三十尺乘纵方得九百尺为纵方积并三积共三万七千八百尺以减原实余二万六千二百尺再商之【初商十宜有次商】 　　初商三十尺濶也　加纵五尺共三十五尺长也又加一尺共三十六尺髙也 　　乃以初商长濶髙维乘之 　　濶乘长得一千○五十尺　髙乘濶得一千○八十尺　长乘高得一千二百六十尺 　　并三维乘数共三千三百九十尺为平亷法【又法并长与髙乘濶又以髙乘长并之亦同】 　　次以初商长濶髙并之共一百○一尺为长亷法【又法初商三之加两纵亦同】 　　乃以平亷用筹为法以余实列位除之 　　如后图合视筹第六行是二○三四小于余实次商六尺【所减首位不空故书本位】得二万○三百四十尺为平亷积【次商乘平亷法也】 　　次以次商六尺自乘三十六尺乘长亷法得三千六百三十六尺为长亷积又以次商六尺自乘再乘得二百一十六尺为隅积 　　并三积共二万四千一百九十二尺以减余实余二千○○八不尽以法命之 　　法以初商濶髙长各加次商为濶髙长而维乘之濶乘长得一千四百七十六尺　髙乘濶得一千五百一十二尺　长乘髙得一千七百二十二尺 　　并得四千七百一十尺【如平亷】又并濶髙长得一百一十九尺【如长亷】又加一尺【如隅】共得四千八百三十尺为命分不尽之数为得分 　　命为四千八百三十分尺之二千○○八即竒数也计开 　　濶三十六尺有竒【音基】　长四十一尺有竒髙四十二尺有竒 　　假如有长立方形积一十万○一千尺但云长多濶五尺髙多濶六尺 　　先以两纵并得一十一尺为纵亷 　　以两纵乘得三十尺为纵方 　　列位　作防 　　视防在第三位合三位商之以 　　一十万○一千为初商之实 　　乃视立方筹有○六四小于一 　　○一商四十尺【二防商十】得六万四千尺为立方积【商四十故书于防之上两位进法也】 　　次以初商自乘一千六百尺乘纵亷得一万七千六百尺为纵亷积 　　次以初商乘纵方得一千二百尺为纵方积 　　并三积共八万二千八百尺以减原实余一万八千二百尺再商之 　　初商四十尺濶也　加纵五尺得四十五尺长也加纵六尺得四十六尺髙也 　　乃以初商濶长髙而维乘之 　　长乘濶得一千八百尺　濶乘髙得一千八百四十尺【又法并髙与长九十一尺以濶四十尺乘之共三千六百四十尺省两维乘其数亦同】髙乘长得二千○七十尺 　　并维乘数共五千七百一十尺为平亷法 　　又以濶长髙并之共一百三十一尺为长亷法乃列余实以平亷用筹为法除之 　　合视筹第三行是一七一三小于 　　余实次商三尺【所减首位不空故本位书之】就 　　以次商三尺乘平亷法得一万七 　　千一百三十尺为平亷积　又以 　　次商三尺自乘九尺乘长亷法得一千一百七十九尺为长亷积　又以次商三尺自乘再乘得二十七尺为隅积　并之得一万八千三百三十六尺大于余实不及减 　　改商二尺 　　就以次商二尺乘平亷法得一万一千四百二十尺为平亷积【即用筹第二行取之】 　　次以次商自乘四尺乘长亷法得五百二十四尺为长亷积　又以次商自乘再乘得八尺为隅积并之共一万一千九百五十二尺以减余实仍余六千二百四十八不尽以法命之 　　法以濶长髙各加次商二尺为濶长髙而维乘之并髙四十八尺长四十七尺共九十五尺以濶四十二尺乘之得三千九百九十尺【代两维乘】又以长乘髙得二千二百五十六尺并得六千二百四十六尺　又以长濶髙并之得一百三十七尺　又加一尺　共六千三百八十四为命分 　　命为六千三百八十四之六千二百四十八即竒数计开 　　濶四十二尺有竒 　　长四十七尺有竒 　　髙四十八尺有竒 　　厯算全书卷三十二 <子部,天文算法类,推步之属,历算全书> 　　钦定四库全书 　　厯算全书卷三十三 　　宣城梅文鼎撰 　　筹算六之七 　　开方捷法 　　勿庵氏曰亷隅二形也故有二法今借开方大筹为隅法列于亷法筹之下而合商之则亷隅合为一法而用加捷矣存前法者所以着其理用捷法者所以善其事 　　平方 　　法曰如前列实从单位作防每隅位防之以求初商【初商列位有常法进法俱如前】既得初商即倍根数为亷法【亦同前法】以亷法数用筹【亷法几位用筹几根】列于平方筹之上为亷隅共法【或省曰次商法】合视亷隅共法筹某行内有次商之实同者或略少者减实以得次商【以本行内方根命之】 　　三商者合初商次商倍之以其数用筹列平方筹上为亷隅共法【或省曰三商法】以除三商之实而得三商四商以上仿此求之 　　解曰隅者小平方也故可以平方筹为法　亷之数每大于隅一位今以平方筹为隅列于亷之下则隅之进位与亷之本位两半圆合成一数故亷隅可合为一法 　　【何以知亷大于隅一位也曰有次商则初商是十数矣平方亷法是初商倍数其位同初商故大于隅一位】 　　凡初商减积尽最上一防故最上一防者初商之实也次商减积尽第二防故第二防以上次商之实也三商减积尽第三防故第三防以上三商之实也推之第四防为四商之实第五防为五商之实【以上并同】 　　审空位法曰若次商之实小于亷隅共法之第一行【凡筹第一行最小数也】则知次商是空位也【不能成一数故空】即作圈于初商下以为次商　乃于亷法筹下平方筹上加一空位筹为亷隅共法以求三商【若空位多者另有简法见后】三商实小有空位并同 　　假如有平方积二千四百九十九万九千九百九十九尺问每面若干 　　列位　作防 　　如图防在次位以二千四百 　　万为初商实 　　视平方筹有小于二四者是 　　一六其方四也商四千尺减积一千六百万尺【有四防故初商是千而有次商】 　　次以初商四千尺倍之得八千尺为亷法用第八筹列平方筹上为亷隅共法 　　以第二防余实八百九十九万为次商实视筹第九行合数八○一小于实次商九百尺减实八百○一万尺 　　【此所减首位不空故对位书之】 　　次倍初商次商共四千九百尺得九千八百尺用第九第八两筹列平方筹上为廉隅共法　以第三防上余实九八九九为三商之实 　　合视筹第九行是八九○一小于实商九十尺减余 　　实八十九万○一百 　　尺 　　【首位不空故亦对位书之】