历算全书 - 第 93 页/共 206 页

无纵长廉长如初商两头横直等如次商 　　小隅横直髙皆等皆如次商 　　用法曰先以纵倍之为纵廉【两纵并也】以纵自乘为纵方【两纵相乘】 　　此因两纵数同故其法如此也若两纵不同径用乘法并法矣 　　乃如法列位作防求初商之实 　　以立方筹为法求得初商方数及初商立方积【皆如立方法皆依定位法命之】 　　次以初商乘纵方得数为纵方积　又以初商自乘数乘纵亷得数为纵亷积 　　合计纵方纵亷立方之积共若干数以减原实而定初商【皆如一纵法】 　　命初商为髙数【或深数皆如所设】加纵为方数【不及减改商之若初商未是单数则以余实求次商】 　　次商法曰以初商加纵倍之以乘初商髙数得数　又以初商加纵自乘得数　并之共为平亷法【又法初商三之加纵以初商加纵乘之得数为平亷法亦同】 　　次以初商加纵倍之并初商数共为长亷法【又法初商三之纵倍之并为长亷法亦同】 　　乃置余实列位　以亷法位酌定初商列法而进退之以平亷为法而除余实得数为次商【皆以所减首位是○与否而为之进若退】　又法合平亷长亷两法以求次商 　　于是以次商乘平亷法为平亷积　又以次商自乘数乘长亷法为长亷积　又以次商自乘再乘为隅积　合计平亷长亷隅积共若干数以减余实而定初商【皆如一纵法】 　　【又法以次商乘长亷法为长亷法又以次商自乘为隅法并平亷长亷隅法以与次商相乘为次商亷隅共积以减余实亦同】 　　乃命所商数为髙【或深之类如所设】加纵数命为方合问 　　不尽者以方倍之乘髙又以方自乘【如平亷】又以方倍之并髙【如长亷】又加单一【如隅】为命分 　　假如有方台积五百八十六万六千一百八十一尺但云髙不及方一百四十尺　以带两纵立方为法除之【方者长濶等每面各多髙一百四十尺】 　　先以纵一百四十尺倍之得二百八十尺为纵积又纵自乘之得一万九千六百尺为纵方 　　列位　加防 　　视防在首位独商之以○ 　　○五百万尺为初商之实 　　视立方积有○○一小于 　　○○五商一百尺【三防故商百尺】得立方积一百万尺【商一数宜用常法书于防之上一位今因纵多致亷法升为十万法上一位为单单上一位为十今初商是百尺故改用进法书之亷法之升见后】 　　就以初商一百尺乘纵方得一百九十六万尺为纵方积 　　又以初商一百自乘一万乘纵亷得二百八十万尺为纵亷积 　　合计立方纵方纵亷积共五百七十六万尺以减原实余一十万○六千一百八十一尺【初商百尺宜有续商】初商一百尺髙也　加纵共二百四十尺方也次以方倍之四百八十尺用乘髙数得四万八千尺又以方自乘之得五万七千六百尺并之得一十万○五千六百尺为平亷法 　　又以方倍之并髙得五百八十尺为长亷法 　　乃列余实　以亷法酌定初商改进一位书之 　　以平亷法用筹除余实 　　视筹第一行○一○五六 　　小于余实次商一尺于初 　　商一百尺之隔位【所减是○一○五六首位○宜进书然犹与初商隔位故知为单一尺】　就以次商一尺乘平亷法如故又以次商一尺自乘以乘长亷法亦如故就命为平亷长亷积　又以次商自乘再乘仍得一尺如故　合计三积共一十万○六千一百八十一尺除实尽 　　乃以所商数命为台髙　加纵为方 　　计开 　　台髙一百○一尺　方二百四十一尺 　　此常法改用进法也 　　假如有方池积五十万丈但云深不及方五十尺　先以纵【五十】尺倍之一百为纵亷　又纵自乘之得【二千五百】尺为纵方 　　列位　加防 　　视防在第三位合商之以五十 　　万○○尺为初商之实 　　视立方筹有三四三小于五○ 　　○宜商七十尺【二防商十尺】因纵改商六十尺得立方积二十一万六千尺　次以初商六十尺自乘三千六百尺用乘纵亷一百尺得三十六万尺已大于实不及减不必求纵方积矣　改商五十尺用筹求得立方积一十二万五千尺 　　就以初商五十尺乘纵方得纵方积亦一十二万五千尺　又以初商五十尺自乘二千五百尺用乘纵亷得纵亷积二十五万尺　并三积共五十万尺除实尽　以商数命为池深　加纵为方 　　计开　池深五十尺　方一百尺 　　此进法改为超进也【假有次商则其平亷法二万尺矣假有命分则其命分二万○二百五十一矣】　亦有髙与长同而濶不及数者准此求之但以初商命为濶而加纵为髙与长 　　带两纵纵数不相同图二 　　此长多于濶而髙又多于 　　长也是为两纵而又不相 　　同凡为大纵亷小纵亷各 　　一纵方一并立方形而四 　　立方形长濶髙相等 　　大纵亷横直等如其方而 　　髙如大纵　小纵亷髙濶 　　等如其方而厚如小纵 　　纵方形之两头髙如大纵厚 　　如小纵其长也则如立方大 　　纵　小纵以辅立方之两 　　面而纵方补其阙合为一长 　　立方形如图初 　　商有立方有大纵廉小纵廉 　　纵方各一共四只图其二余 　　为平廉所掩也次商平廉三 　　内 　　带小纵者一带大纵者一带 　　两纵者一长廉【在初商大纵立方之 　　背面】三内带小纵 　　者一带大纵者一小隅一共 　　七在初商 　　大纵立方之 　　带小纵平亷濶如初商长如初商加小纵之数髙如次商 　　带大纵平亷濶如初商髙如初商加大纵之数厚如次商 　　带两纵平亷濶如初商加小纵之数髙如初商加大纵之数厚如次商 　　带小纵长亷长如初商加小纵之数　带大纵长亷髙如初商加大纵之数　无纵长亷长如初商数其两头横直皆如次商之数 　　小隅横直髙皆如次商之数 　　用法曰以两纵相并为纵亷　以两纵相乘为纵方列位作防求初商之实　以立方筹求得初商立方积　以初商求得纵方纵亷两积　皆如前法乃以初商命为濶　各加纵命为长为髙 　　求次商者以初商长濶髙维乘得数而并之为平亷法 　　又以初商长濶髙并之为长亷法 　　乃置余实列位【以平亷酌定初商之位】以平亷为法求次商及平亷积长亷积隅积以减余实乃命所商为濶各以纵加之为髙为长【如所设】皆如前法 　　不尽者以所商长濶髙维乘并之【如平亷】又以长濶髙并之【如长亷】又加单一【如隅】为命分 　　假如有长立方形积九十尺但云髙多濶三尺长多濶二尺 　　先以两纵相并五尺为纵亷　以两纵相乘六尺为纵方 　　列位　作防 　　视防在第二位合商之以○九十 　　○尺为初商之实 　　乃视立方筹有○六四小于○九○宜商四八因有纵改商三尺得二十七尺为立方积【原实只一防故初商是单商三故书于防之上两位用进法也】 　　次以初商三尺自乘九尺乘纵亷得四十五尺为纵亷积 　　又以初商三尺乘纵方得一十八尺为纵方积并三积共九十尺除实尽 　　乃以初商命为濶　各加纵为髙为长 　　计开 　　濶三尺　长五尺　髙六尺 　　假如有立方积一千六百二十尺但云长多濶六尺髙多濶三尺 　　先以两纵相并九尺为纵亷　以两纵相乘一十八尺为纵方 　　列位　作防 　　视防在首位独商之以○○一千