历算全书 - 第 91 页/共 206 页

列位　作 　　在第三位以一亿二千五百万 　　尺为初商实 　　视立方筹有【一二五】恰与实合商【五百尺】减实【一亿二千五百万尺】余【七十五万○○○○尺】 　　有三故知所商是【五百尺】宜有第二商第三商也乃以初商【五百尺】自乘【二十五万尺】而三之得【七十五万尺】为平亷法又以初商【五百尺】三之得【一千五百尺】为长亷法视余实【七十五万尺】仅足平亷之数而无长亷知第二商第三商皆空也补作两圈而以法命之 　　法以平亷法长亷法合数加小隅一共【七十五万一千五百○一尺】为命分 　　命为立方每面五百尺又七十五万一千五百○一分尺之七十五万○○○○ 　　此商数虽未至单而余实甚少不能成一整数亦以法命之例也 　　厯算全书巻三十一 　　钦定四库全书 　　厯算全书巻三十二 　　宣城梅文鼎撰 　　筹算四之五 　　开带纵平方法 　　勿庵氏曰算有九极于勾股勾股出于圆方故少广旁要相资为用也然开平方以御勾股而纵法以御和较古有益积减积翻积诸术参伍错综尽神通变要之皆带纵一法而已 　　【平方者长濶相等如碁局也平方带纵者直田也长多于濶之数谓 　　之纵纵之濶如平方之数其长则如纵之数纵与方相乘得纵积以 　　加方积成一直田形积也】 　　平方与方纵两形初商之积也两 　　亷一隅一亷纵者次商之积也亷 　　有二故倍之亷之纵只一故不倍 　　也 　　如前图除积不尽则有第三商如 　　此图虽三商亦只倍亷而不倍纵 　　四商以上仿此详之 　　用法曰先以积列位如法作防从单位起隔位防之视防在首位独商之防在次位合两位商之皆命为实次以带纵数用筹与平方筹并列之各为法 　　视平方筹积数有小于实者用其方数为初商用其积数为方积【初商自乘之数也】　即视纵筹与初商同行之积数用之为纵积【初商乘纵之数也如初商一则用纵筹第一行】兼方积纵积两数以减原实而定初商【必原实中兼此两积之数则初商无悮矣故曰定】　若原实不及减改而商之如前求得两积以减之为初商定数　不及减又改商之及减而止若应商十数因无纵积改商单九是初商空也则于初商之位作○而纪其改商之数于○下若次商者然【初商应是百而改九十应是千而改九百并同】 　　定位法曰既得初商视所作原实之防共有几何以定其得数之位以知其有次商与否【如一防则得数是单而无次商二防则得数是十而有次商之类皆如平方法取之】 　　次商法曰依前定位知初商未是单数而减积又有未尽是有次商也　次商之法倍初商加入纵为亷法用筹除之　视亷法筹行内之积数有小于余实者用为亷积以减余实用其行数为次商　就以次商自乘为隅积以减余实以定次商【必余实内有亷隅两积则次商无误】不及减者改商之及减而止皆如平方法 　　商三次以上并同次商 　　命分法曰若得数已是单而有不尽则以法命之　法以所商数倍之加入纵为亷又加隅一为命分不尽之数为得分 　　亦有得数非单而余实少在亷法以下不能商作单一者亦以法命之　法即以亷法加隅一为命分 　　列商数法曰依平方法视所作防而以最上一防为主若初商五以上【不论单五或五十或五千或五百并同】皆用进法书其其得数于防之上两位则不论纵之多少也 　　若初商四以下【亦不论单十百千】则以纵之多少而为之进退法以纵折半加入初商【单从单十从十百千各以类加】若满五以上者变从进法书于防之上两位【如初商四而纵有二初商三而纵有四之类】 　　若纵数少虽加之而仍不满五数者仍用常法书其得数于防之上一位【如初商四而纵只有一初商三而纵只有二只有二之类】总而言之所商单数皆书于亷法之上一位故初商得数有进退之法乃豫为亷法之地以居次商也初商五以上倍之则十虽无纵加亷法已进位矣初商虽四以下而以半纵加之满五则其倍之加纵而为亷法也亦满十而进位矣亷法进位故初商必进两位书也若加半纵仍不满五则其亷法无进位矣故初商只进一位而书之葢豫算所商单数已在亷法之上也 　　又初商若得单数其亷法即为命分凡商得单数必在命分之上一位以此考之庶无谬误 　　假如有直田积六十三步但云濶不及长二步 　　列位【依平方法】作防【从单位起】 　　视防在次位合六十三步商之为实次以平方筹与纵二筹平列之各为法 　　视平方筹积有【四九】小于【六三】其方七也商作单 　　七【用进法书于防之上两位　一防知所商是单】 　　即视带纵筹第七行积数【一四】用为纵积 　　并方积【四十九】纵积【一十四】共六十三除实尽【此亦偶除尽耳设不尽其命分必是十数故前商七之数必进书之以存其位】 　　定为濶七步　加纵二步得长九步 　　凡得数在五以上用进法书于防之上两位此其例也 　　假如有直田六百三十步但云长多濶二步 　　列位【无单位补作圈】作防 　　视防在首位独商之以○六百步 　　为实 　　以平方带纵二各用筹为法 　　视平方筹积数有【○四】小于【○六】 　　其方二商二十步【二防故初商十】自乘得方积【四百步】随视纵筹第二行是【四】得纵积【四十步】并两积共四百四十步以减原实余一百九十步再商之【初商十故有次商也商数二十以纵折半得单一加之共二十一仍不满五数故只用常法书于防之上一位】 　　次以初商【二十步】倍之【四十步】加纵【二步】共四十二步为亷法【用第四第二两筹】 　　合视两筹第四行积数【一六八】小于【一九○】次商【四】减亷积一百六十八步余二十二步【所减首位不空次商故书本位】次以次商【四步】为隅法自乘得【一十六步】为隅积用减余实不尽六步以法命之【初商虽不进位所得次商单数已在命分之上一位矣列商数法妙在于此】倍所商【二十四步】为【四十八步】加纵【二步】又加隅【一步】共五十一步为命分 　　命为濶【二十四步】又【五十一分步之六】加纵【二步】得长【二十六步】又【五十一分歩之六】 　　凡得数在四以下以半纵加之仍不满五则只用常法书于防之上一位此其例也 　　假如有直田五亩但云长多濶八十八步 　　列位【以亩法二百四十通之得一千二百步十步单步空补作两圈】作防 　　视防在次位合商之以一千二 　　百步为实纵有两位用两筹与 　　平方筹并列各为法 　　先视平方筹有【○九】小于【一二】宜商三十【二防商十】因有纵改商二 　　十其方积四百步纵积一千七 　　百六十步【初商十与纵相乘故纵单数皆成十数】兼两积共二千一百六十步大于实不及减所商有误抹去之 　　改商【一十步】其方积【一百步】其纵积【八百八十步】并两积共除实九百八十步余二百二十步再为实以求次商【初商十故有次商也】 　　【纵折半四十四步加初商一十步共五十四步故变用进法】 　　次以初商【一十步】倍之【二十步】加纵【八十八步】共一百○八步为亷法【用第一空位第八三筹】 　　合视筹第二行积【二一六】小于【二二○】次商【二步】于初商【一十步】之下减亷积一百一十六余四步【所减首位○故进书之初商豫进正为此也】 　　次以次商【二步】自乘得四步为隅积除实尽 　　定为濶一十二步加纵【八十八步】得长一百步 　　假如有直田一十二亩半但云长多濶七十步 　　列位【以亩法二百四十通之得三千步百十单皆作圈】作防 　　视防在次位以三千○百步为实 　　以平方带纵七十各用筹为法 　　先视平方筹积有二五小于【三○】宜 　　商【五十】因纵改商【四十步】其方积一 　　千六百步其纵积二千八百步共四 　　千四百步大于实不及减抹去之 　　改商【三十步】其方积【九百步】其纵积【二千一百步】共三千步除实尽 　　【纵七十折半三十五加初商三十共六十五是五以上也故用进法书商三于防上两位假有余实则当再商或命之以分今虽商尽当存其位　命分者亷法加隅一也倍初商加纵共一百三十是原实百者亷法之位也进一位乃单位初商不进两位何以容单数】 　　凡开得平方三十步为田濶　加纵七十步共一百步为长 　　假如有直田七亩但云长多濶六十步 　　列位【以亩法二百四十通之得一千六百八十步单位空作圈】作防 　　视防在次位合商之以一千六百步 　　为实 　　以平方带纵六十步用筹各为法 　　先视平方筹有一六与实同宜商四 　　十【二防初商是十】因带纵改商三十步其方 　　积【九百步】纵积【一千八百步】共二千 　　七百步大于实不及减抹去之 　　改商【二十步】其方积【四百步】纵积【一千二百步】共减一千六百步余八十步再商之 　　【纵折半三十加初商共五十故进书之】 　　【假余实满命分一百○一步即当商一步故初商豫进以居次商今次商虽空当存○位故也】 　　次以初商【二十步】倍之【四十步】加入纵六十步共一百步为亷法　亷法大于余实不及减次商作○其余实以法命之　法以亷法加隅一为命分 　　命为濶【二十步】又【一百○一分步之八十】加纵为长【八十步】又【一百○一分步之八十】 　　假如有直田四亩但云长多濶九十步 　　列位【以亩法通之得九百六十步】作防 　　视防在首位独商之以○九百为实 　　以平方带纵九十步各用筹为法