历算全书 - 第 92 页/共 206 页

先视平方筹积有【○九】与实同宜 　　商三十步【二防故初商十】因带纵改商二 　　十步其方积【四百步】纵积【一千八】 　　【百步】不及减又改商一十歩其方积【一百步】纵积【九百步】共一千步仍不及减　此有二防宜商十步今改商一十仍不及减是初商十位空也 　　【纵九十折半四十五加初商十步满五十以上故商一进书防之上两位】 　　改商单九步其方积【八十一步】纵积【八百一十步】共八百九十一步以减实余六十九步不尽【此宜商十数者变商单步故初商之位作○而以改商之九步书于○位下如次商然也盖必如此书之所商单数乃在命分之上一位也】 　　商数已得单步而有不尽以法命之以商九步倍之加纵九十步共一百○八步更加隅一步共一百○九步为命分 　　命为濶九步又【一百○九分步之六十九】　加纵为长九十九步又【一百○九分步之六十九】 　　以上四则乃纵多进位之法也凡得数虽四以下以半纵加之满五即用进法书于防之上两位此其例也 　　开带纵立方法【筹算五】 　　勿庵氏曰泰西家説勾股开方甚详然未有带纵之术同文算指取中算补之其论带纵平方有十一种而于立方带纵终缺然也程汝思统宗所载又皆两纵之相同者惟难题堆垜还原有二例只一可用其一强合而已非立术本意又不附少广而杂见于均输虽有善学何从而辨之兹因筹算稍以鄙意完其缺义取晓畅不厌烦复使得其意者可施之他率不穷云尔 　　凡立方带纵有三 　　一只带一纵 　　如云长多方若干或髙多方若干是也【即同髙】 　　一带两纵而纵数相同 　　如云长不及方若干髙不及方若干是也【此方多数为纵】 　　一带两纵而纵数又不相同 　　如云长多濶若干濶又多髙若干是也 　　大约带一纵者只有纵数而已带两纵者有纵亷又有纵方故其术不同 　　带一纵图三 　　此长多于方　　　　　此髙多于方 　　也为横纵横　　　　　也为直纵直 　　纵之形濶与　　　　　纵之形长濶 　　髙等如其方　　　　　相等如其方 　　其厚也如其　　　　　其髙也如其 　　纵所设　　　　　　　纵所设 　　俱立方一纵形一合为长立方形 　　如图立方形方纵形合者初商 　　也平亷三内带纵者二长亷三 　　内带纵者一小隅一此七者次 　　商也 　　平亷所带之纵长与立方等厚 　　与次商等其髙也则如纵所设 　　长亷所带之纵两头横直等 　　皆如次商其髙也如纵所设 　　用法曰以积列位乃作防从单位起隔两位防之防毕视积首位有防独商之以首位为初商之实首位无防以首位合有防之位商之　防在次位以首两位为初商之实　防在第三位以首三位为初商之实　皆同立方法 　　先视立方筹积数有小于初商之实者用其方数为初商【定位法合计所作防共有若干一防者商单数二防则商十数每一防进一位皆如立方】用其积数为初商立方积【定位法视初商方数若初商单数其积亦尽于单位若初商十数其积乃尽于千位每初商进一位其积进三位亦可以防计之皆如立方】 　　次以初商自乘以乘纵数为纵积 　　合计立方积纵积共数以减原积而定初商【若初商无误者原实中必兼此两积】命初商为方数加纵数为髙数【或长数皆依先所设】不及减者改商之及减而止 　　次商法曰依前定位知初商是何等【或单十百千等】若初商未是单数而减积又有不尽是有次商也 　　法以初商自乘而三之又以纵与初商相乘而两之共为平亷法　又法以初商三之纵倍之并其数与初商相乘得数为平亷法　或以初商加纵而倍之并初商数以乘初商为平亷法并同 　　又以初商三之加纵为长亷法 　　乃置余实列位以平亷法除之得数为次商【用筹为法除而得之】 　　【依除法定其位】 　　于是以次商乘平亷法为三平亷积　又以次商自乘以乘长亷法为三长亷积　就以次商自乘再乘为隅积　合计平亷长亷隅积共若干数以减原实【原实中兼此并积知次商无误矣】乃并初商次商所得数为方数加纵命为髙数【或长数皆如先所设】合问　不及减者改商之及减而止 　　商三次者以初商次商所得数加纵而倍之并商得数为法仍与商得数相乘为平亷法 　　又以商得数三之加纵为长亷法　余并同次商 　　命分法曰己商至单数而有不尽则以法命之　其法以所商得数加纵倍之加所商得数以乘所商得数【如平亷】又以所商得数三之加纵【如长亷】并两数又加单一【如隅】为命分不尽之数为得分 　　或商数尚未是单而余实甚少在所用平亷长亷两法并数之下或仅同其数【仅同者无隅积】是无可续商也亦以法命之法即以所用平亷长亷两法并之又加隅一为命分 　　列商数法曰依立方法以初商之实有防者为主【即原实内最上之一防】凡初商得数必书于防之上一位乃常法也惟初商一数者用常法 　　有以初商得数书于防之上两位者进法也初商二三四五者用进法 　　有以初商得数书于防之上三位者超进法也初商六七八九者用超进之法 　　若纵数多亷法有进位则宜用常法者改用进法宜用进法者用超进之法宜超进者更超一位书之其法于次商时酌而定之葢次商时有三平亷法三长亷法再加隅一为命分法于原实寻命分之位为主命分上一位单数位也从此单数逆寻而上自单而十而百而千至初商位止有不合者改而进书之若与初商恰合者不必强改此法甚妙平方带纵亦可用之 　　若宜商一十而改单九或宜商一百而改九十凡得数退改小一等数者皆不用最上一防而以第二防论之此尤要诀【或于初商位作圈而以所商小一等数书于圈之下即可以上一防论也细考其数则同此商数列位立法之妙宜详翫之】 　　假如浚井计立方积七百五十四万九千八百八十八尺但云深多方八百尺　法以立方带纵为法除之列位　作防 　　视防在首位独商之以○ 　　○七百万尺为初商之实 　　以立方筹为法　视立方筹积有○○一小于○○七商一百尺【三防故初商百商一百故用常法书于防之上一位】得立方积一百万尺【三防者方积尽百万之位　初商之方积皆尽于最上之一防】 　　次以初商一百尺自乘一万尺乘纵八百尺得八百万尺为纵积　并两积九百万积大于原实不及减抹去之不用改商如后图 　　视立方筹第九行积七二九改商九十尺得立方积七十二万九千尺【百改十故亦改用第二防第二防是十位故方积亦尽于千位】次 　　以初商九十尺自乘八千一 　　百尺乘纵八百尺得六百四 　　十八万尺为纵积　并两积 　　共七百二十万○九千尺以减原实余三十四万○八百八十八尺再商除之【初商一百今改商九十故上一防不用用第二防论之商九者书于第二防之上三位超进法也】 　　次用次商又法以纵八百尺加初商九十尺而倍之得一千七百八十尺并初商九十尺共一千八百七十尺用与初商九十尺相乘得一十六万八千三百尺为平亷法　又以初商九十尺三因之得二百七十尺加纵八百尺共得一千○七十尺为长亷法乃列余实以平亷为法除之【用第一第六第八第三共四等】 　　商九十用超进法书于第二防之上三位今以纵多致亷法进为十万故次商时应更为酌定又超一位书之然后次商单数在亷法上一位矣改如后图【亷法十万上一位单数位也今商九十不合在此位故改之】 　　合视筹第二行积○三三六六小于余实次商二尺于初商九十之下【所减首位是○法宜进书也初商不改而更超之何以居次商】就以次商二尺乘平亷法得三十三万六千六百尺为平亷积　又以次商二尺自乘四尺用乘长亷法得四千二百八十尺为长亷积　又以次商二尺自乘再乘得八尺为隅积　并三积共三十四万○八百八十八尺除实尽 　　乃以商数命为井方　加纵为井深 　　计开 　　井方九十二尺深八百九十二尺 　　此超进法改而更超一位也 　　带两纵纵数相同图二 　　此髙不及方也方之横与直俱 　　多于髙是为两纵两纵者纵廉 　　二纵方一并立方而四 　　立方形长濶髙皆相等 　　纵亷形髙与濶相等如其方之 　　数其厚也如所设纵之数 　　纵方形两头等皆如纵数其髙也如立方之数两纵亷辅立方两面而纵方补其隅合为一短立方形 　　不及之数有在立方旁者观后图可互见其意 　　如图初商有立方有纵廉二纵方一共四形今只图其二余为平廉所掩意防之可也【此横头不及方也即前图之眠体】 　　次商平廉三内带一纵者二带两纵者一长廉三内带纵者二小隅一共七 　　平廉带一纵者濶如初商加纵为长厚如次商其带两纵者髙濶皆等皆如初商加纵之数厚如次啇 　　长廉带纵者长如初商加纵之数其两头横直皆等皆如次商