历算全书 - 第 90 页/共 206 页

视第三筹之第八行积数二四小于余实次商八十于初商一千之下一位【所减首位不空故次商八书本位而上一位作○因与次商隔位故知其是十】 　　就以次商八十乘方法三百万得二亿四千万为平亷积 　　又以次商八十自乘得六千四百用乘廉法三千得二千九百二十万为长亷积　又次商八十自乘再乘得五十一万二千为隅积　并三积共二亿五千九百七十一万二千除实尽 　　凡开得立方一千○八十○【初商千次商○八是十而除实已尽是所商单位亦○也此列位之妙】 　　以上皆商得一数例也　皆以最上一为主而以初商得数书于之上一位乃常法也惟商得一数者可用常法一十一百一千一万并同 　　假如有积九千二百六十一立方开之 　　列位　作 　　视在首位以○○九千命为初商之实 　　乃视立方筹积有小于○○九者 　　○○八也其立方二于是商二十 　　【二故初商十】减立方积八千余一千二 　　百六十一 　　以最上一为主而以得数书于防之上两位乃进法也商二至五之法也 　　次以初商二十用三因之得六十为亷法 　　又以初商二十自乘得四百而三因之得一千二百为方法【用第一第二两筹】 　　合两筹第一行积一二与余实相同次商单一于初商二十之下【所减首位空宜进书也若初商不先用进法则无以处次商矣故进法自商二始】 　　就以次商一乘方法仍得一千二百为三平亷积又以次商一自乘得一用乘亷法仍得六十为三长亷积又以次商一自乘再乘皆仍得一为隅积　并三积共一千二百六十一除实尽凡开得立方二十一 　　假如有立方积三万二千七百六十八立方开之问得若干 　　列位　作 　　视在次位以○三万二千为初 　　商之实乃视立方筹积小于○三 　　二者是○二七其立方三也于是 　　商三十【二防故初商十】减商三十【二故初商十】减立方积二万七千余五千七百六十八 　　次以初商三十用三因得九十为亷法 　　又以初商三十自乘得九百而三之得二千七百为方法【用第二第七两筹】 　　合视两筹第二行积○五四小于余实次商单二于初商三十之下【所减首位○宜进书以对其○】 　　就以次商单二乘方法得五千四百为平亷积　又以次商自乘得四用乘廉法得三百六十为长廉积又以次商自乘再乘得八为隅积　并三积共五 　　千七百六十八除实尽凡开得立方三十二 　　假如有立方积一十一万七千六百四十九立方开得若干 　　列位　作 　　视在第三位以一十一万七千为初商之实 　　乃视立方筹积有小于一一七者 　　○六四也其立方四于是商四十 　　【二故初商十】减立方积六万四千余五 　　万三千六百四十九　次以初商四十用三因之得一百二十为亷法 　　又以初商四十自乘得一千六百而三之得四千八百为方法【用第四第八两筹】 　　合视两筹第九行积数四三二小于余实次商九于初商四十之下【所减首位不空故本位书之】 　　就以次商九乘方法得四万三千二百为平亷积又以次商九自乘得八十一用乘亷法得九千七百二十为长亷积　又以次商九自乘再乘得七百二十九为隅积　合计亷隅三积共五万三千六百四十九除实尽 　　凡开得立方四十九 　　假如有积一千六百六十三亿七千五百万立方开得若干 　　列位　作 　　视在第三位以一千六百六十亿为初商之实 　　乃视立方筹有小于一六 　　六者是一二五其立方五 　　也商作五千【四商千】除立方 　　积一千二百五十亿余四百一十三亿七千五百万次以初商五千用三因之得一万五千为亷法又以初商五千自乘得二千五百万三因之得七千五百万为方法【用第七第五两筹】 　　合视两筹第五行积三七五小于余实次商五百于初商五千之下【所减首位不空故书本位】 　　就以次商五百乘方法得三百七十五亿为平亷积又以次商五百自乘得二十五万用乘亷法得三 　　十七亿五千万为长亷积　又以次商五百自乘再乘得一亿二千五百万为隅积　并三积共四百一十三亿七千五百万除实尽　凡开得立方五千五百○○ 　　以上乃商得二三四五之例也　皆以最上一为主而以初商所得进书之上两位进法也初商得二三四五者用进法单十百千并同 　　假如有积二十六万二千一百四十四立方开之列位　作 　　视在第三位以二十六万二 　　千为初商之实 　　乃视立方筹有小于二六二者 　　二一六也其立方是六商六十【二防商十】减立方积二十一万六千余四万六千一百四十四 　　以最上一为主而以得数书于之上三位超进法也乃商六至九之法也 　　次以初商六十用三因之得一百八十为亷法又以初商六十自乘得三千六百而三因之得一万○八百为方法【用第一空位第八三筹】 　　合视筹第四行积四三二小于余实次商四于初商六十之下【所减首位是○故进位书之以对其○】 　　就以次商四乘方法得四万三千二百为平亷积又以次商四自乘得一十六用乘亷法得二千八百八十为长亷积　又以四自乘再乘得六十四为隅积　并三积共四万六千一百四十四除实尽凡开得立方六十四 　　假如有积三十七万三千二百四十八立方开之列位　作 　　视在第三位以三十七万三千为初商之实 　　乃视立方筹积有小于三七三 　　者是三四三其立方七也商七 　　十【二商十】减立方积三十四万三 　　千余三万○二百四十八次以初商七十用三因之得二百一十为亷法 　　又以初商七十自乘得四千九百三之得一万四千七百为方法【用第一第四第七三筹】 　　合视筹第二行积二九四小于余实次商二于初商七十之下【所减首位空故进位书之以对其○】 　　就以次商二乘方法得二万九千四百为平亷积又以二自之得四用乘亷法得八百四十为长亷积又以二自乘再乘得八为隅积　并三积共三万 　　○二百四十八除实尽凡开得立方七十二 　　假如有积五十三万一千四百四十一立方开之列位　作 　　视在第三位以五十三万一千为初商之实 　　乃视立方筹积有五一二小于 　　五三一其方八也商八十【二商十】减立方积五十一万二千余一 　　万九千四百四十一 　　次以初商八十用三因之得二百四十为亷法又以八十自乘得六千四百三之得一万九千二百为方法【用第一第九第二三筹】 　　合视筹第一行是一九二小于实次商一于初商之下　就以次商一乘方法为平亷积　又以一自乘用乘亷法为长亷积　又以一自乘再乘为隅积并三积共一万九千四百四十一除实尽 　　凡开得立方八十一 　　假如有积九十七万○二百九十九立方开之 　　列位　作 　　视在第三位以九十七万○为初商之实 　　乃视立方筹有七二九小于九七○其方九也商九 　　十【二商十】减积七十二万九千余 　　二十四万一千二百九十九 　　次以初商九十三之得二百七十为亷法 　　又以九十自之得八千一百而三之得二万四千三百为方法【用第二第四第三三筹】 　　合视筹第九行是二一八七小于余实次商九于初商九十之下【所减首位不空故本位书之】 　　就以次商九乘方法得二十一万八千七百为平亷积　又以九自乘得八十一以乘亷法得二万一千八百七十为长亷积　又以九自乘再乘得七百二十九为隅积　并三积共二十四万一千二百九十九除实尽凡开得立方九十九 　　此以上皆初商六七八九之例也　皆以最上一为主而以得数书于之上三位乃超进法也初商六七八九用超进之法单十百千并同 　　命分例 　　假如有立方八百一十尺问立方每面各若干 　　列位　作 　　在第三位以八百一十○尺为 　　初商之实 　　视立方筹有小于实者为七二九 　　其立方九商九尺减积【七百二十九尺】余【八十一尺】 　　此商数已至单尺而有不尽当以法命之 　　法以商数九自乘【八十一】而三之得【二百四十三】如平亷又置商数九而三之得【二十七】如长亷　加小隅一共【二百七十一】为命分 　　命为立方每面九尺又二百七十一分尺之八十一此商得单数而有不尽以法命之例也 　　又如有立方积一亿二千五百七十五万尺问立方若干