历算全书 - 第 89 页/共 206 页

开立方法【筹算三】 　　勿庵氏曰物可以长短度者泰西家谓之线线之原度一横一缩而自相乘之以得其羃积者平方也西法谓之方面方面与线再相乘而得其容积则立方也西法谓之体 　　解曰平方长濶相等形如碁局立方长濶髙皆相等形如骰子细分之有方有平亷有长亷有小隅总曰立方 　　立方亦有实无法以所有散数整齐之成一立方形故亦曰开 　　立方长濶髙皆等今所求者其一边之数故西法亦曰立方根 　　如图方者初商也初商不尽 　　则再商之于是有三平亷三 　　长亷一小隅共七并初商方 　　形而八合之成一立方形 　　如图方形者长濶髙皆如初商之数 　　方形只一 　　如图平亷形者长濶相同皆如初商数其厚则如次商数　【平亷形凡三以辅于方形之三面】长亷者长如初商数其两头髙与濶等皆如次商数　【长亷形亦三以补三平亷之隙】 　　小隅者长濶髙皆等皆如次商数　【其形只一以补三长亷之隙】 　　商三位图 　　如后图一方三平亷三长亷 　　一小隅除实仍不尽则更商 　　又得次平廉次长廉各三 　　次小隅一合之共十五形凑 　　成一大立方形　次平亷之 　　长濶相等皆如初商并次商 　　之数厚如三商数其形三以 　　辅初商并次商合形之外　次长亷之长如初商并次商之数其濶与厚相等皆如三商数其形亦三以补次平亷之隙次小隅之长濶髙皆等皆如三商数其形只一以补次长亷之隙 　　立方筹式【列后】 　　解曰上三位者自乘再乘之积也假如根一十则其积一千根二十则其积八千乃至根九十则其积七十二万九千也　次两位者自乘之积即平方也置于立方 　　筹者以为亷法之用假如初商一百则 　　其平亷亦方一百其积一万乃至商九 　　百则其平亷方九百而积八十一万也 　　又如次商一十则其长亷之两头亦必 　　方一十而积一百乃至次商九十则其 　　长亷之两头必方九十而积八千一百 　　也　下一位者方根也假如立积一千 　　则其根一十立积八千则其根二十乃 　　至积七十二万九千则其根九十也 　　立方筹三位何也自乘再乘之数止于三位也且以为初商之用故只须三位其余实虽多位皆亷积耳 　　用法曰先以积列位至单位止无单者作圈以存其位次作从单位起每隔两位作一【即满三位去之之法也】讫视最上一以为用 　　在首位者独商之以首位为初商之实 　　单数商法也　若千若百万若十亿若万亿若千万亿凡以三位去之余一位者皆与单法同 　　在次位者合首两位为初商之实 　　十数商法也　若万若千万若百亿若十万亿若兆凡以三位去之余二位者皆与十同法 　　在第三位者合首三位为初商之实 　　百数商法也　若十万若亿若千亿若百万亿若十兆凡以三位去之余三位者皆与百同法 　　又法视其在首位则于原实之上加两圈在次位者上加一圈皆合三位而商之 　　次以初商之实与立方筹相比勘视立方筹积数有与实相同或差小于实者用之以减原实而得其立方之数即初商也 　　定位法曰既得初商则约实以定位知所得立方为何等【或单或十百等】以知有续商与否　皆以前所作防而合计之视有若干之命之 　　假如只有一则商数是单　初商已得单数无次商 　　有二防者商数十　初商十数者有商两次焉有三者商数百　初商百数者有三三次焉四商千　五防商万　每多一防则得数进一位而其商数亦多一次皆以商得单数乃尽也 　　减积法曰凡初商减积皆止于最上之位 　　次商法曰依前定位若初商末是单而减积未尽是有次商也次商者有平亷法有长亷法有隅法【解曰平亷古曰方法长亷法古曰亷法以后或曰平亷长长亷从质也或省曰方法亷法从古也】 　　先以所得初商数三之为亷法 　　又以初商数自乘而三之为三法　以方法用筹除积以得次商【以列位之法定之其法见后】 　　既得次商用其数以乘方法为三平亷积 　　又以次商自乘以乘亷法为三长亷积 　　其次商即为隅法　以隅法自乘再乘得小立方积为隅积 　　乃并三平亷三长亷一小隅积为次商亷隅共积若此亷隅共积与余积适等或小于余积则减而去之视其仍余若干以为用【或续商或以法命之】 　　若共积反大于余实不及减转改次商及减而止【若次商单一而无减以法命之】 　　商三次法曰次商尚未是单而减积未尽是有第三次商也 　　第三次商者合初商次商得数而三之为亷法又合初商次商得数自乘而三之为方法　如前以方法用筹除余实求得第三商【亦以列位法详其所得】 　　既得第三商如前求得三平亷三长亷一小隅积以减余实其法并同次商 　　四次以上皆同法 　　命分法曰但商得单数而有不尽则以法命之　未商得单数而余实甚少不能商单一者亦以法命之其法以所商立方数自乘而三之【如平亷】又以立方数三之【如长亷】又加单一【如小隅】并三数为命分不尽之数为得分　其命分必大于得分 　　列商数法曰依前隔位作防以最上一为主而论之有三法凡商得立方一数者于此之上一位书之【或单一或一十或一百或一千并同】此常法也 　　若商得立方二三四五者于此之上两位书之【单十百千其法并同】乃进法也 　　若商得立方六七八九者于此之上三位书之【单十百千其法并同】乃超进法也 　　平方只有进法而立方有三法何也平方以亷法为法而平方只二亷故其亷法之积数只有进一位故止立进法与常法为二也立方以方法为法而立方有三平廉故其方法之积数有进一位进两位故立进法超进法而与常法为三也其预为续商之地使所得单数居于法之上一位则同 　　假如立方单一其方法单三　若立方单二则方法一十二变为十数进一位矣故单一用常法而单二即用进法也 　　又如立方单五其方法七十五　若立方单六则方法一百○八又变百数进两位矣故单五只用进法而单六以上必用超进之法也 　　假如立方一十其方法三百　若立方二十则方法一千二百变千数进一位矣故一十只用常法而二十即用进法也 　　又如立方五十其方法七千五百　若立方六十则方法一万○八百又变万数进两位矣故五十仍用进法而六十以上必用超进之法也 　　若宜进而不进宜超进而不超进则初商次商同位矣不宜进而进则初商次商理不相接矣此归除开立方之大法也 　　其次商列位理本归除以所减积数首一位是空不是空定其进退皆同平方　商三次以上并同 　　隅积法曰隅法单隅积尽单位　隅法是十隅积尽于千位 　　隅法百隅积尽百万之位　以上仿求　大约隅法大一位则隅积大三位 　　还原法曰置开得立方数为实以立方数为法乘之得数再以立方数乘之有不尽者加入不尽之数即得原实 　　假如有积一千三百三十一立方开之 　　列位　作【从单位起】 　　视首位有以○○一千为初商 　　之实 　　乃视立方筹有○○一其立方一 　　于是商一十【有二故商十】减去立方积一千余三百三十一【初商十者有次商也】 　　以最上为主商一数者书于防之上一位常法也次以初商一十而三之得三十为亷法 　　又以初商一十自乘而三之得三百为方法【用第三】 　　视筹第一行积数○三与余 　　实同次商一于初商一十之 　　下【减积首位是○故进位书于一十之下以暗对其○】 　　于是以次商一乘方法仍得三百为平亷积　又以次商一自乘仍得一用乘亷法仍得三十为长亷积又以次商一自乘再乘皆仍得一为隅积　并三 　　积共三百三十一除余实恰尽 　　凡开得立方一十一【还法以立方一十一自乘得一百二十一又以一十一再乘合原积】 　　假如有积一十二亿五千九百七十一万二千立方开之列位　作 　　视首位有以○○一十 　　亿为初商之实 　　乃视立方筹有○○一其方亦一于是商一千减立方积一十亿余二亿五千九百七十一万二千次以初商一千而三因之得三千为亷法 　　又以初商一千自乘得一百万而三之得三百万为方法【用第三筹】