历算全书 - 第 86 页/共 206 页

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷三十> 　　一四二四四四五七五共九位因实尾空位【无零年故也】用省乘法加一○于末位下共十位而以尾○命为分得一十四万二千四百四十四日五十七刻五十○分合问 　　除法 　　勿庵氏曰天地之道盈虚消息而已无有盈而不虚无有消而不息乘者息也盈也除者消也虚也二者相反而不能相无其数每相当不失毫厘如相报也邵子曰算法虽多乘除尽之矣故除法次之 　　解曰除者分物之法也原作几何今作几分分之则成各得之数而除去原数也有归除有商除珠算任用筹算则独用商除为便以意商量用之故曰商除 　　法曰凡除以所分之物为实今欲作几分分之为法法与实须审定倘一倒置则毫厘千里矣【假如有粮若干分给若干人则当以粮为实以人之数为法除之盖粮数是所分之物人数是用以分之之法也若倒用以粮分人则所误多矣】　凡法有几位则用几筹　乃列实【自上而下直书之】　视筹之第几行中积数有与原实相同者或略少于实者用其数以减原实而得初商　有不尽者如法再商或三商以上皆如之实尽而止　余实不满法以法命之 　　凡商数皆以筹之行数为其数【假如所减是等第一行即商一数第二行即商二数】 　　书商数法曰凡书商数皆与减数第一位相对　若所减第一位是○则补作○于原实首位上而对之【此定位之根】 　　定位法曰除毕以商得数与原实对位求之皆于法首位之上一位命为单数【程大位曰归于法前得零古法实如法而一是也】此有二法　有法少实多者从原实内寻法首位认定逆转上一位命为单数【如米则为单石钱则为单文之类】既得单数则上而十百千万下而分秒忽微皆定矣此为正法 　　有法反多实反少者乃变法也法从原实首位逆溯而上至法首位止又上一位命为单数【此是虚位借之以求实数】既得单数乃顺下求之命所得为分秒之数 　　初商除尽式　　　　法此欲分为七十二分也故以七二为 　　假如太阳每　　　　　法用两筹 　　嵗行天三百　　　　实三六○　　如图先列三百六十度 　　六十度分为　　　　　百十　　　为实次简两筹行内有 　　七十二每　　　　　　　　　　三六○与实相同用减 　　几何度　　　　　　　　　　　原实恰尽　次查所简 　　【答曰】每五度　　　　　　　　　　系筹之第五行商作五又查所减第一位是三将商数五对三字书之 　　定位法曰此法少于实也宜于原实内寻十度位即法首位也法首再上一位为单度定所得为五度假令实是三千六百则所得为五十度如后图 　　定位法曰此亦法少于实也法亦于 　　原实内寻法首十位再上一位为单 　　位单位空补作圏再上一位是十度 　　定所得为五十度用筹同而得数逈 　　异定位之法所以当明也 　　再商式　　　　　　法此欲分为一十二分也故以一二 　　假如皇极经世　　　　为法用两筹 　　一元共一十二　　　实　　　　　　如图列实【一元总数】简万九千六百年　　　○一二九六○○筹第一行是○一 　　分为一十二会　　　　十万千百十年二商作一数【第一行故】 　　各几何　　　　　　　　　　　　　【商一】减实一十二万 　　答曰每防一万　　　　　　　　　　余九千六百不尽 　　○八百年　　　　　　　　　　　　再用筹如法除之又因所减数是○一二故于原实首补作圏而以商得一对此○位书之【即所减筹上第一位也】此定位之根不可错须细审之 　　简两筹第八行是○九六与余实 　　相合再商八【第八行故也】减余实九千 　　六百恰尽 　　此所减数亦是○九六故以商得 　　八进位书之以暗对其○ 　　如此审定商数位置已知不错而初商次商隔一位不相接是得数有空位也乃于其间补作圏为一○八 　　假如隔两位则作两圏三位以上仿此求之若非于商数审其位置鲜不误矣此算中一大闗键也非此则不能定位 　　定位诀曰此亦法少于实也从原实内寻法首十位再上一位是单年单位空补作圏又上一位是十十亦 　　【亦补作圈又上一位是百知所】 　　【得为八百年　　　　　　也知百知千万矣定为一万○八百年假　　　　　　　如黄钟之法此欲分得二】【千一百八十实一十七万七乃为一分故以二一八七千】 　　【一百四十七为法用四筹】 　　【七其分法二千一百八十】 　　【七问若干分答曰八十一】 　　空 　　二千一百八十七再商之 　　简筹第一行是○二一八七正合 　　余实再商一除实恰尽 　　次商一进位书暗对所减○位 　　定位诀从原实寻法首位千逆转 　　上一位得单分则余位皆定 　　按筹算原书于定位颇略又其为法原实横而商数纵各居其方不相依附定位颇难故虽厯书间有讹位今特详之而两两直书于定位尤易亦足见余之非好为异也 　　四商法 　　假如有小珠三十　　　　四此欲分为九分有【为主】竒也万三千一百五十四故粒【则六分五厘是其竒零九分之分去声】换得大珠重九钱以为法用筹三根【九六五】六分五厘每大 　　珠一如后图列实　　　　先简筹第钱换小珠【三】 　　几何粒行略少　　　　　于【二八九五】实商减答曰【三】每 　　钱换三万五实余　　　　实【二十八万九千】千五【五百五万三千】 　　百六十粒以　　　　　　【六百五】续商以钱 　　次简筹第【五】行是【四八二五】为略少于余 　　实商【五】减余实【四万八千二百五十】仍余【五千 　　四百○四】以待第三商 　　原实　　　　　　　又简筹第【五】行是【四八二五】为略少于余 　　实又商【五】减余实【四千八百二十五】仍余 　　商数　　　　　　　　【五百七十九】知尚有第四商也 　　又简筹第【六】行是【五七九○】与余实恰合 　　四次商数俱对首位　　商作【六】除余实【五百七十九】恰尽定位诀从原实中寻法首【单】位逆转上一位得【单】粒定所得为【三万五千五百六十○粒】命为大珠每钱所换小珠之数五园问曰法是钱数实是粒数不类也何定位亦如是准乎勿庵曰此定位之法所以的确不易也且钱与粒不类子疑之固矣抑知单与单之为一类乎葢所问是每钱若干故钱数为单位若问每分若干则法首钱数为十位得为【三千五百五十六】矣故定位须详问意乃要诀也 　　法有○筹式　　　　　法此欲分作【九百○七分】也故以【九○七】 　　假如布二万　　　　　　为法用三筹 　　一千七百六　　　　　　　　　　　如图简筹第【二】行 　　十八丈给与　　　　　　　　　　　【一八一四】商作【二】减实 　　九百○七人　　　　　　　　　　　【一万八千一百四十】余【三千六百】 　　各几何　　　　　　　　　　　　　【二十八丈】次简第【四】行 　　答曰【每人二　　　　　　　　　　　三六十四丈　　　　　　　　　　　二八】商【四】除实尽以上例皆法少于实故法首在原实中乃本法也