历算全书 - 第 87 页/共 206 页

以上两例皆法多于实者其法首位或在原实中必原实首位也或不在原实中则在其原实上几位也要之皆不能满法其所得必为分秒乃通变之法也 　　论曰除者分也吾欲作几分分之则为法所分之物为实所分之物能如所欲分之数则为满法满法则成一整数假如【三十六】人分布而布有【三十六】丈则各人分得一丈古云实如法而一正谓此也程大位算法统宗曰归扵法前得零其意亦同此立法之本意也乃有所分之物原少于所欲分之数是不满法也既不满法则不能成一整数而所分者皆分秒之数假如【三十六】人分布【二十七】丈则每人不能分一丈只各得【七尺五寸】是于【一丈】内得其【七分五秒】也然必先知整数然后可以知分秒故必于原实上虚拟一满法之位若曰能如此则分得整数矣而今不能则所分得者皆分秒也于是视所拟整数虚位距商数若干位而命之若相差一位则得为十之一【如两有钱尺有寸】隔位则为百之一【如两有分丈有寸】此乃通变之法要其为法上得零则一而已矣 　　又论曰此原实即不满法也若余实不满法除之终不能尽则以命分之法御之详后 　　命分法 　　法曰凡除法商数至单已极而有余实不尽者不能成一整数也则以法命之此有二法 　　一法即以除法为命分不尽之数为得分则云几十几分之几 　　解曰命分者以一整数拟作若干分而命之如满此数则成一整数而今数少故命之也得分者今所仅有之数在命分数内得若干也【命分者古谓之分母得分者古谓之分子】 　　假如古厯以九百四十分为日法每年三百六十五日又九百四十分日之二百三十五约为四之一【约法见后】 　　一法除之至尽古厯家所谓退除为分秒是也单下有一位命为十分之几有两位命为百分之几十几三位则命分千四位则命分万皆以除得数为得分 　　假如授时厯法每嵗三百六十五日二千四百二十五分是以万分为日即命分也 　　式如后 　　假如五尺为歩每方一歩积二十五尺今有积二百四十尺得若干步 　　答曰九步又五分步之三 　　如图列实简筹第九行是二二 　　五商作九【第九行故】减实二百二十 　　五尺余一十五不尽以法命之 　　命为九步又二十五分歩之一 　　十五约为五之三【约分法见后】 　　若用第二命分法再列余实加 　　○位商之以得其分秒如后 　　余实下加一圈则一十五尺通 　　为一百五十分可再商矣 　　简等第六行是一五○商六分 　　除余实恰尽 　　命分九歩六分【即十分歩之六 　　命分第二法与法多于实除法同故皆曰除分秒也】 　　若余实为一十六尺则又不尽一尺法当于不尽一○之下再加一圈为一○○使此一尺化为一百分而再除之得四厘共九歩六分四厘【即百分歩之六十四】 　　约分法 　　约分者约其繁以从简也 　　法曰母数子数平列相减而得其纽数即以纽数为法转除两原数而得其可约之分 　　凡约分相减不拘左右但以少减多如左少右多则以左减右左多右少则以右减左若减之后或多者变而少则转减之必减至左右相同无可减而止即纽数也【若一减之即得纽数则不必转减】 　　解曰纽数者互相减之余数相等者也以此除两数则皆可分乃两数之枢纽 　　若相减至尽而无纽数者则不可约 　　假如母数二十五子数一十五约之若干 　　畣曰五之三 　　一○　先以【十五】　　复以【一十】　○五 　　二五　减【二十五】一○转减【十五】　一○ 　　一五　余【一十○】一五　余【○五】　　○五 　　复以【○五】转减【一十】余【○五左右皆五即为纽数】以纽数【○五】为法转除母【二十五】得【五】除子数【一十五】得【三】故曰五之三葢母数是五个五子数是三个五也 　　此转减例 　　又如母数九百四十子数二百三十五约之若干畣曰四之一 　　先以【二百三十五】减【九百四十】余【七百○五】又减之余【四百七十○】又减之余【二百三十五】 　　左右皆【二百三十五】即纽数也 　　以纽数【二百三十五】转除母数【九百四十】得【四】除子数【二百三十五】得一故曰四之一 　　母数是四个【二百三十五】 　　子数是一个【二百三十五】 　　此不转减例 　　厯算全书巻三十 　　钦定四库全书 　　厯算全书巻三十一 　　宣城梅文鼎撰 　　筹算二之三 　　开平方法 　　勿庵氏曰自周髀算经特着开平方法其説谓周公受于商髙矩地规天为用甚大然有实无法故少广之在九数别自为章今以筹御之简易直截亦数学之一乐也 　　解曰平方者长濶相等之形也其中所容古谓之幂积亦曰面幂西法谓之面面有方有圆此所求者方面也其法有方有亷有隅总曰平方也【幂音覔覆物中也】开亦除也以所有散数整齐而布列之为正方形故不曰除而曰开平方四边相等今所求者其一边之数西法谓之方根 　　如后图方者初商也初商不尽则倍初商之根为亷法除之得两亷又以次商为隅法自乘得隅隅者以补两廉之空合一方两亷一隅成一正方形 　　如图一方两廉一隅除积仍不尽则合初商次商倍之为廉法除之以得次两廉又以三商为隅法自乘得隅合一方四廉两隅成一正方形【商四次以上仿此加之】 　　解曰上两位者自乘之积也假如方一十则其积一百方二十则其积四百以至方九十则其积八千一百也下一位者方根也假如积一百则其根一十积四百则其根二十乃至积八千一百则其根九十也平方筹式列左 　　开平方筹只用两位积数何也曰开方难得者初商耳平方积数虽多而初商所用者只两位次商以后皆亷积也亷积可用小筹除之开方大筹専为初商故积止两位 　　筹下一位单数也而实有百也万也百万也亿也百亿也万亿也百万亿也皆与单同理故独商首位者用下位之积数焉【其积自○一至○九其方根为一二三】 　　筹上一位十数也而实有千也十万也千万也十亿也千亿也十万亿也干万亿也皆与十同理故合商两位者用上下两位之积数焉【其积自一六至八一其方根自四至九】 　　用法曰先以实列位列至单位止实有空位作圏以存其位次乃作凡作之法皆从实单位实单位起作一毎隔位则之而视其最上一以为用首位有防者以实首一位独商之【乃补作一圏于原实之上亦成两位之形】 　　首位无在次位者以实首位合商之 　　皆视平方大筹积数有与相同或差小于实者用之以减原数而得方数即初商也 　　定位法曰既得初商则约实以定其位知其所得为何等【或单或十或百之类】以求次商 　　其法依前隔位所作之总计之视有若干防 　　假如只一者初商所得必单数也【自方一至方九】则初商已尽无次商矣 　　有二者初商所得必十数也【自方一十至方九十】初商十数者有次商 　　有三者初商所得必百数也【自方一百至方九百】初商百数者有次商又有三商 　　有四者初商千也有商四次焉 　　有五者初商万也有商五次焉 　　次商法曰依前术定位则知其宜有次商与否 　　若已开得单数虽减积不尽不必更求次商也虽未开得单数而初商减尽亦不必更求次商也惟初商未是单数而减积又有不尽是有次商矣次商者　倍初商为亷法用小筹以除之【初商一则用第二筹初商七则用第一第四两筹皆取倍数】视筹积数有小于余实者用之为亷积视亷积在小筹某行命为次商数 　　既得次商减去亷积即用次商数为隅法以求隅积隅积小平方也即隅法自乘之数也【可借开方筹取之】若隅积大于余实不及减者转改次商及减而止 　　以数明之　假如积一百其方根十即除实尽此独用方法无亷隅矣若积一百四十四初商十除实百余四十四则倍初商之根得廿为亷法【在初商之两旁故曰亷亷有二故倍之也】次商二以乘亷得四十为亷积又次商二为隅法自乘得四为隅积共四十四除实尽开其根得一十二也 　　商三次以上法曰次商所得尚非单数而减积又有不尽是有第三次商矣 　　商第三次者合初商次商数皆倍之为次亷法　如前用筹以除余实求得第三商以减亷积 　　又即以第三商之数为隅法以求隅积皆如次商 　　商四次五次以上并同第三商