新法算书 - 第 159 页/共 181 页

问田旧法并两长折半乗北广 　　驳曰若北两皆直角者即梯田之类也否则从何定南广之度乎 　　旧法四不等田北四十二南五十六东六十四西五十八并东西两邉半之并南北两邉亦半之两半相乗得二九八九歩为其容驳曰若甲为直角试作乙丁对直角线成甲乙丁句股形有句股以求为七十六 　　又一五三之九四其积为一三四四又以乙丙丁形之三邉求其容得一五三七【此法见后第三题】并两形积得二八七一知法为未合也 　　论曰两广或两长在平行线内者并而折半损有余补不足改为方形也以中长线乗之则得其容若四不等无法形也损此益彼一不能为方一不能为中长线何縁得合乎 　　第二题 　　量三邉形 　　乙丙丁三边形有邉数无角数求实其法并三邉数半之为实以每边之数为法各减之三较连乗得数以半总数乗之为实 　　平方开之得实 　　如三边为七为十二为九并得二十八半之为一十四减七较七减十二较二减九较五三较连乗得七十以半总十四乘之得九百八十○开方得三十一又六十二之一十九不尽 　　又如三边为十三十八二十一并得五十二半之为二十六减十三较十三减十八较八减二十一较五三较连乘得五百二十○以半总数二十六乘之得一万三千六百二十○ 　　开方得一百一十六又二三 　　二七之一六四不尽 　　解曰如图乙丙丁斜角形先 　　平分丙丁二角作丙戊丁戊 　　二线遇于戊从戊向各边作 　　垂线为戊壬戊己戊庚三线 　　皆等【戊壬丙戊己丙两直角形同用戊丙邉两丙角 　　亦等形必等则戊己戊壬亦等又壬戊丁丁戊庚两直角 　　形同用戊丁边两丁角亦等形必等则壬戊戊庚亦等】次从乙作乙戊平分乙角乙 　　戊己乙戊庚两直角形有己 　　戊戊庚两邉等同用乙戊邉 　　形必等则两乙角亦等依三角形推壬丙与丙己己乙与乙庚庚丁与丁壬各等共六线三等次于三相等邉各取一邉如乙己己丙壬丁合之为元形三邉并之半【或丁庚庚乙壬丙或每相等两形邉减一边得三较亦元形三邉并之半】次乙丙边引长之取丙辛与丁壬等乙丁边引长之取丁癸与己丙等则乙辛乙癸皆元形三边并之半亦三较之总数也次从辛从癸作两垂线遇于子乙戊引长之亦与辛子癸子遇于子【乙癸子乙辛子两直角形之乙癸乙辛两邉等两乙角亦等即乙子必等而辛子子癸亦等】次截丙午与壬丁等作午子线又截辛丑与壬丙等作丑子线即丑子与丁子必等【癸丁子辛丑子两直角形之丁癸与辛丑等癸子与辛子等则其丁子丑子必等】又午丁子辛丑子两形亦等【丁子与丑子等丁午与辛丑等则午子与辛子必等】则午为直角【相似之辛角先已为直角】而丙辛子丙 　　午子两直角形亦等又此两 　　形并成一斜方形而丙辛子 　　午四角内减午辛两直角余 　　子丙两角并为两直角【凡四邉形 　　之四角并为四直角】又□　丙壬壬丙辛 　　两角并亦等两直角而减共 　　用之壬丙辛余午子辛壬丙己两角等其各半角亦等【即丙子辛己丙戊两角】即己丙戊辛子丙两直角形相似【己辛等为直角己丙戊辛子丙两角又等即其对邉相似】而戊己【小句一率】与己丙【小股二率】若丙辛【大句三率】与辛子【大股四率】次以线变为数【乙丙三十五乙丁五十丁丙五十乙己十七强己丙十八弱丙壬十八弱壬丁三十二强辛子四十八各有竒今约用成数令直截易算也】则戊己十二与己丙十八若丙辛三十二与辛子四十八也 　　又以第一率乘第四以 　　第二率乘第三得数必 　　等则戊己辛子之矩内 　　实己丙丙辛之矩内实 　　【各五七六】通用可也又戊己 　　【小句一率】与辛子【大句二率】若乙 　　己【小股三率】与乙辛【大股四率】而以第一自乘又以 　　乘第二其两方之比 　　例亦若第三与第四 　　【见几何七卷十七题】则戊己方 　　【一四四】与戊己【十二】辛子 　　【四八】矩【五七六】若戊己【十二】 　　与辛子【四八其比例皆四之一】亦若乙己【十七】与乙辛【六八何者乙己戊乙辛子两直角形同用己乙戊角则相似则乙己与己戊若乙辛与辛子】反之则乙己【十七一率】与乙辛【六八二率】若戊己方【一四四三率】与戊己辛子矩【五七六四率】或与己丙丙辛矩【又四率亦五七六也一二与三四异类而为比例者根与根若积与积也四与四异形而为同比例者论积不论形也故先定戊己辛子矩己丙丙辛矩可通用也】 　　又四率法既云一乘四二乘三 　　两矩积等今依法乘之即得乙 　　己根【十七一率】乗己丙丙辛矩【五七六第 　　四率】所得数【九七九二】与乙辛根【六八二率】乗戊己方【一四四第三率】所得数【九七九二】等次再以乙辛乗之即得乙辛 　　根【第一率六十八二邉总之半】乗乙辛根 　　【六八】偕戊己【元形中垂线】方【一四四】之 　　矩实【共九七九二为第二率】所得数【六六 　　五八五六】与乙辛根【第三率六十八三邉总之 　　半】乘乙己根【十七】偕己丙辛丙 　　矩【五七六乙己己丙辛丙者三差之各数也】之矩 　　实【共九七九二为第四率】所得数【六六五八五六】等依此用三较连相乘又以半总乘之得数为实开平方得元形之积此用前所得数本法也或用元形中垂线自乘以乘半总又以 　　半总乘之得数为实 　　开平方亦得元形之 　　积此用后所得数证 　　法也 　　何谓中垂线自乘以 　　乘半总又再乘而得 　　积以句股法解之如 　　戊己丙句股形若以戊己句乘己丙股得戊己丙形之倍积即己戊壬丙两形并之 　　积【两形等故】又乙戊己句股形以戊己句 　　乘乙己股得倍积即乙庚戊己两形 　　并之积又以戊壬句乘壬丁股【或戊己乘 　　丙辛】得倍积即庚戊壬丁两形并之积 　　故戊己乘乙辛得元形之积如此即 　　一乘可得何待他法然元法中无戊己也特以戊己自乘又再乘乙辛而得积与三较连乘以乘半总之元法所得大积等故以开方而得元形之积亦等则知元法之不谬故谓垂线三乘为证法也又论二法之相合者 　　算术中两方相乘开方得两根相乘之 　　数如图戊己【一二】自乘为戊子方【一四四】以 　　乘乙辛【六八即戊寅】为戊丑长方【九七九二】又以 　　乘乙辛为戊寅大方【六六五八五六】此前证法所得数也若以乙辛【六八】自之得【四六二四】以戊己方【一四四】乘之所谓两方相乘也【得六六五八五六】开方各得八一六即戊己根【一二】乙辛根【六八】相乘之数也若三较连乘又以乘乙辛虽不成方形而连乘所得亦九七九二以乘乙辛亦六六五八五六以开方亦得八一六故三较连乘之元法无证以垂线三乘法为证也 　　若直角三邉形以句股数相乘得数半 　　之为形之容葢方形与三角形同底同 　　在平行线内则方形之容倍于三邉形 　　之容或用半 　　若三邉等形则有中长线者法与句股 　　同为本线分元形为两直角形也无中 　　长线者以法求之如乙丙丁三邉等形 　　从丁角作垂线至乙丙邉平分元形为 　　二【一卷二十六】用句股法以乙丁乙甲两方相减余为甲丁方其根则甲丁中长线也如设乙丙线一即乙甲线为二之一各自之乙丙之方一乙甲之方四之一相减余四之三甲丁上方也开方得四之三之方根【何谓四之三之方根葢四之三为方之实可明而其根不可明算家谓之不发之根若方实百开其根为十则能发之根也既不能发即有别法以求之故摽之以号曰四之三之方根四之三方实也四之三之方根根号也法见下文】次以四之三乘甲乙四之一【甲乙四之一与乙丙一皆有能发之根为同类故可以相乘若能发之根与不发之根为异类不可相乗故别求同类者乘之同类者则两方数也算法根乘根得方开方得方之根方乘方得方方开方得根之方今于两率各减其根号独用两方相乘得数以分法之得异类两根相乘之容方积也详见句股索隐】得方方根【即根之方】十六之三为元形之容次用分法开之得九十之三十九约之为三十之十三元形之容也然不能毕合以开方不尽故 　　系三十为元形乙丙邉上方形十三 　　为乙丙丁三邉形之容葢两形同底 　　则其比例为三十与十三求分之母 　　为全数全数者一也则一邉之方数亦一其根亦一 　　法曰三角形边上方形与三邉形之容若三十与十三则用一边之方数乘十三以三十除之得三边形之容如各边设十自之得一百以十三乘之得一三○○以三十除之得四十三又三之一元形之容也 　　又如各边为十其半五五自之得二十 　　五以减全邉方之一百余七十五开方 　　得八又一百之六十六以五乘之得四 　　十三又十之三较前少差以开不尽故 　　公法先求形之中垂线以形之半周乘 　　之得形之容凡有法之形通用此 　　解曰设三边等形从心向各边作垂线 　　又向各角作线必分元形为六直角形 　　而等夫甲皆直角甲乙边俱等则其为 　　句股形亦各相等半句【即甲乙之半】乘股【即甲】 　　【丙中垂线】得甲乙丙之容六倍之得元形之容凡用甲乙三次【为半句者六也】乘甲丙故法曰形周之半乘中垂线得形之容如设各边十则甲乙为五乙全角六十度则甲乙丙角必三十度今甲乙丙角形有角有一边用法求甲丙边则全数与甲乙五若乙角三十度之切线五七七二五与甲丙边之数二八八六八五有竒为中垂线也各边十共三十半之得十五以甲丙中垂线二八八六八五乘之得四三三○二七五若所设各边十为一尺约之得其面四十二方尺又三十方寸有竒如前法试用本题第一法边之总数为三十半之为十五减边之较各五五连自乘得一二五又以半总十五乘之得一八七五开方得四三同前法 　　一系若三边等形之边为全数如十百千等其中长线及其容积皆不发之数【十四卷十二】 　　二系二边等形先求中长线如三邉等形之法如两 　　腰各五底六半之三自之得九以减腰