新法算书 - 第 163 页/共 181 页
其一设三角形求变为等底等积方形
凡设形求变者皆截元形之实补求形之虚也如上一图甲乙丙元形求变为丙丁戊方形其元形之大边为底法平分两腰作中线与底平行次以中线为底作对角垂线成甲乙两形从元底两端向中线各作垂线成戊丁两形则截甲实形移补交角之丁截乙实形移补交角之戊成
丁丙戊方形与元形等底等积
如二图小边为底亦平分两腰作平行中线次从上角从钝角各向中线作垂线成甲乙两句股形及丙斜角形次截甲实形移为交角之乙并丙乙实形移为交角之丁成丁戊方形如所求
如三图钝角上垂线截中线出元形之外甲戊丁己两线为等作己垂线成甲小形则截交角之乙实形移为甲并甲两实形移为交
角之丁并丁己成四边实形移为相似之戊【形并戊庚如所求】
如四图两腰甚长亦如前作中线于中线上截取庚丁壬己各形之边皆与底等而成各直角四边形又从两交截取癸形与夘等即甲与乙夘癸与夘各交角之两形各等先截取癸实形移补交角之虚夘次并夘乙作三边实形移补交角之虚甲次并甲丙作四边实形移补相似之虚壬次并壬丑作四边实形移补相似之虚丁次并丁戊作四边实形移补相似之虚己次并己寅作四边实形移补相似之虚庚次并庚辛即所求其二设一方形一线求变为他方形其边与设线等如上一图设丁戊方形求变他形其边与甲等法从乙丁边取乙丙与甲等从戊角作戊丙迤线【丙非角故不名对角】引长之与己丁之引长线遇于辛成丁辛丙三角虚形次于己戊边取
己庚与甲等次从庚作垂线成壬庚戊三角实形以此实形移补丁丙辛虚形又以戊丙迤线上形移置壬辛迤线上即成庚辛方形如所求如二图设形为斜角与上同法
若所设线甚小几倍之得为元形边则平分
元形为几形如前法变得各小形并之为一大形如所
求
如三图所设线大于元形边则引长己戊边为己庚与甲等作庚丁对角线成戊庚壬三
角虚形次取丁丙与壬庚等成丁辛丙实形移补壬戊庚虚形又乙壬丁实形之壬角移为庚角成庚辛角形即所求
其三设矩内形变为正方形
如图以设形之两边连为一直线求心作半圏次从两线之界防作垂线为两率之中比例线即用为设线依前法变设形为他形其边为设线
其四设多边形变为正方形
先以直线分元形为若干三边形
次依第一法变各三边形为矩内形
三任取一线为设线依上法变各矩形皆为等边形
四并各等边形成一大矩形
五依第三法求大矩形两边之中比例线成正方形
以上四法若反求之则亦反作之如一矩形求作三角形一正方形求作有比例之
矩内形是也
其五两正方形变为一正方【防何原本一卷四十七题备论其理此则用法】置两正方形以角相切令其边为直线角之外为直角即成甲句股虚形其聨两元形之各一角即以为底作正方形其积与两元形并积等其变法作丙戊庚己丁
矩形及乙寅线又截壬形与子形庚形
等次截取癸实形移补丙丁虚形次取
丙子实形移补甲虚形次取壬实形移
补庚虚形次取庚丑实形移补戊【己庚】虚
形次取戊实形移补辛虚形
成夘辰午未正方形
其六设矩形求变为他矩形
其边各有比例如设一形欲
作他形等积而两边之比例
若五与四法分大边为五小边为四作平行分线如甲乙形次依丙丁罄折线截讫移就成戊己形
第四题
截形法
借题云设多边形截为多三角形求作多线以当各形
之比例如图甲乙丙丁戊多边形从甲
角作甲戊甲丁甲丙各对角线分元形
为四三角形求其比例法曰从各角向
各对线为垂线如己向庚戊向辛丁向
壬又向子丙向癸乙向丑丁壬丙癸因对角线短故垂线在形之外盖三角形论底论高不论垂线内外因几何六卷第一题增同底之形其比例若其高之比例今甲戊己甲戊丁两形同用甲戊为底即己庚壬丁两垂
线为两形之比例又甲戊丁甲丁丙
两形同用甲丁为底即戊辛丙癸两
垂线为两形之比例甲丁丙甲乙丙
两形同用甲丙线为底即丁子乙丑
两垂线为两形之比例也今欲作四线之比例与此四形之比例等依几何原本六卷第十九题三直线为连比例则一线上形与二线上形若一线与三线今以一垂线当一形以第二第三率通为一比例而求末率【即第三线】则一形与二形若一线与三线也如上图壬丁之形与戊辛之形同底而壬丁为一率戊辛为二率己庚之形与某线之形同底而己庚为三率某线为四率则以戊辛之数通为己庚之数而求其线即壬丁与戊辛若己庚【元数】与某线而某线之数为己庚之次数又丁子与丙癸若乙丑【元数】与某线而某线之数为乙丑之次数今一设三角形从一角命截几分之几法于角之对边平分如命数从角作线截取一分为得数如甲乙丙形从甲命分四之三即四平分丙乙线为丁戊己次从甲作甲丁分元形为二其比例如丙丁与丁乙
又命分四之一而其截线求与命角之对边【如丙乙】平行法四平分甲乙腰四乗三【命分数内减得分以其余乗命分】得十二开方得三又百之四十八即得甲向乙取四分之三有半至
丁作丁戊线与乙丙平行截元形为二其积如三与一而丁丙为四之一甲乙戊为四之三
二设多边形从一角命截几分之几法依前借题分本
形为若干三边形又如前次第求各形
之比例线【因形求线】合之成一直线如图为
乙丙丁戊己若命分为四之一即四平
分之若第一分在乙丙线内则分甲乙
丙形之乙丙边如乙丙比例线其一分
所至为乙壬作甲壬线截甲乙壬形为元形四之一若欲截分在甲己之旁则分甲己戊形之己戊边如戊己比例线其一分所至为己辛作甲辛线截甲己辛形为
元形四之一若命分之界不在元形之
角如甲乙边内取庚防为界法从庚向
各角作线求各形之比例线如前
上二法俱从甲或庚为截分之总界其他形若能为对角线在形之内者任用各边各角皆可为截分之界若作对角线而切本形边或出形之外则不能为截界如图
甲戊丁乙四角己庚三角其截分或出形外甲庚甲乙戊己戊丁诸线各切本边但可从丙截之
三设方形命截几分之几法任分一边
如命分数取得数作平行线或正方或
斜方或矩形皆同理若以角为截界则
与上文多边形同法
四设梯田命截几分之几如四分
之一法上下两【边各四平分而取其一作直线聨之】
或用角为截界则与前多边形同法
若命截线与底平行则用三率法依设形成三角形得其腰求两形之比例得全三角之积若干小三角形之积若干以小减大得梯形积若干因算梯形之防分得全形之几分随用前第
一设截三角形之法得所求
假如大底为十上边为六斜边得四上下边之较四半之得二为第一率大底半数五为二率斜边四为三率算得全形之腰为十此全形有两腰有底求其积得四十三又三之一其小形有两腰各六有底六求其积得十五又五之三以减全积得二十七又三之二弱为元梯形之积今欲截取四之一以四而一得六又五之四弱以除全积得六有五之二弱为元形四之一亦为全形六分五之二分用平行截三角形之法六有竒为母五有竒【减一得子】为子相乗开方得五○○即从全形上角分全腰为六分有五之二弱内取五又五之四强作平行线分元形如所求【或取三十二而取二十九】
若近小底命作截线其理同上但母子数不同上得元形四之一分为六又六十之四十六畧约五之四今所求者四之三则三倍之得二十又三十之九以倍数与全数相乗得数开方得二十九半即从上角如法取作平行线分元形如所求【或分全腰为四十三又三之一从上角取二十九半作线】凡梯田在平行线内但底等即其积等
不论角大小
若两梯田截法先求各形之积次算此
形所截之分为彼形之防分其用法如
前
【有本法本论于法算诸书中详之此不及备着】
【新法算书】
【卷九十一】
此外别形尚多各