新法算书 - 第 160 页/共 181 页

五上方二十五得十六开方得四中长 　　线也余与前等 　　三系三边不等形有一明角而求中长线则从一隐 　　角向对边作垂线成句股形有角有 　　以求句如乙丙丁形乙丙二十四半丙 　　丁十二丁乙十五乙角二度二分从丁 　　作丁甲垂线成两句股形其甲丁乙形 　　有丁乙边乙角而求丁甲边为全数【内】 　　与丁乙边十五【外】若乙角之正三七五一五【内】与甲丁邉五六二七二五【外】约得五尺有竒以所得与底之十二又四之一相乘得六八九三四约之得六十八方尺有竒元形之容也【凡先设先得者为明所求为隐邉角同下文仿此】 　　若俱隐角则用本书一卷六题法从大 　　角至底作垂线求两任分底之各分若 　　干既分元形为两句股各有又求得 　　句以求股若干即元形之中长线 　　法曰丁乙丁丙两小邉相并为总相减 　　得存存总相乘为实底数为法而一数 　　与底相减所余半之得相小邉之小半 　　底甲丙用句股法乙丁乙甲各自之相 　　减开方得丁甲如乙丙二十四丁丙十五丁乙十七两小邉并得三十二总也相减得二存也相乘得六十四以底二十四除之得二又三之二以减底得二十一又三之一半之得十又三之二甲丙也自之得一○七又九之一乙丁邉自之得二八九相减余一八一又九之八开方得十三又三十七之十三不尽中长线丁甲也乘半防十二得一六二弱元形之积也试用本题一法三邉并得五十六半之二十八各邉之减较为四为十三为十一连乘得五七二以半总乘之得一六○一六开方得一二六有竒不尽若有角求一邉或有二角求二边亦先求邉【本书一卷十五十六题】 　　若形之邉为断几何如圆果平积 　　之邉其法以邉数自之又加邉数 　　半之为形之积假如各邉有三自 　　之得九加边得十二半之得六形 　　积也又如设邉五自之得二十五 　　加邉三十半之得十五积也见算 　　章逓加法 　　第三题 　　量多邉形 　　一解曰有法多邉形求其容必先分元形皆为两邉等三角形故不论防何邉俱同法 　　法曰多邉形从心至各作线悉分为两邉等三角形各形有边数有角数求其中长线得各三角形之容并之得元形之容 　　如八边邉设十歩从心至角作线辏心成八角皆等凡 　　辏心必四直角分三百六十度八而 　　一每角得四十五度乙丙丁角形二 　　邉等有丁丙底有丁乙丙角则丁丙 　　两角并得一百三十五度半之得六 　　十七度又二之一为乙丁丙角又甲乙丁角形有丁甲【半元邉为五】求甲乙垂线即全数【内】与丁甲【五外】若丁角之切 　　线【二四一四二一内】与甲乙邉【一二○七一○五外】约 　　之得十二歩有竒以乘甲丁五歩得 　　六二三五五二五约六十歩有竒八 　　之得四八八四二四○○约得四百 　　八十八歩有竒为元形之容 　　若有中长线如甲戊以其半乘半周所得与前等又如十二邉有法形邉设十歩以十二除三百六十度得三十度为丙乙丁角即乙丁丙角必七十五度从心作乙甲线至丁丙邉又甲乙丁角形有甲丁五歩有丁角七十五度求甲乙线即全数【内】与甲乙【五外】若丁角之切线【三七三二○五内】与甲乙【八一八六六○二五外】约得十八歩有竒甲乙中垂线也次如前 　　或用正数法曰各邉为本弧之 　　即半邉为半弧之正而中垂线为 　　半弧之余以边数除三百六十得 　　设边之弧邉数及弧度各半之次用 　　半弧度求其正及余末用三率法以半弧之正为第一半邉数为第二余数为第三得第四为正垂线即乙甲 　　如五邉等形邉设十二以五除三百 　　六十得七十二半之得三十六其正 　　五八七七九为一率【内】其余八 　　○九○二为三率【内】半邉六为二率 　　【外】得九又九之一为四率【外】即一邉上之垂线次以形周乘四率得数半之为形之积五邉形之周为六十乘得五四六又九之四为五邉形之并积 　　多邉有法形之比例　多边有法形之具三曰邉曰周曰积形大小不等其比例等故有一形某具之比例可得他形某具之比例 　　每形之边为一【一虚数也丈尺寸分唯所设之】 　　三边形之周三积为三十之十三 　　四邉形之周四积为一 　　五边之周五积为一又一一七七五七○六之八四六九七一九约为十一之八不尽 　　六邉形之周六积为二又五百万之二九九○三八一约为五之三不足 　　七邉形之周七积为三又八六七七六七四之五五○七二二一约为八之一而盈 　　八邉形之周八积为四又一九一三四一七之一五八五一二七约为十九之十六不足 　　九邉形之周九积为六又六八四○四○二之一二四三七五五约为十七之三不尽 　　十边形之周十积为七又一二三六○六八之八五八○八九约为三之二不足 　　用法设他形之边求积以其边数自之以上所列同类形之积数乘之若设他形之积求边则上所列同类形之积数除之所得之根设形之边也 　　旧法三角形每面十四以六乘面得八十四以七而一得十二为实半面七为法乘之得八四积也试用前法 　　分元形作两句股形各形有有句以 　　求股而求积得八四又三十之二十八 　　几为八五非八四 　　论曰所以然者古法正六面七谓丙乙十四则丙甲十二故七六相乘得四十二为丙乙丁之实八十四矣不 　　知丙乙十四乙甲七各自之相减开方 　　乃十二有竒非十二也且七除又七乘 　　安用之 　　旧法六角形每面十五以面数自之得二二五以三乘之得六七五今用几何四卷十五之系六邉等形内有 　　三角等边形六用古法得各形之积为 　　九十六又七之六六因之得五九一又 　　七之一非六七五 　　论曰所以然者十五自之为二二五彼以为此乙丙邉乘得乙丙丁戊形之实也不知二二五者乙丙上正方形之实此乙丙丁戊则斜方斜方与正方同邉而异积也斜方之积必少于正方之积故实少而误以为多古法八角田每面十四以面五乘得七十七而一得十倍之得二十求一面得三十四自之得一一五六为实面数自之得一九六为法减之余九六○八角形积也 　　正法作图每两邉引长之遇于甲成正 　　方形其内有元八邉形又有甲乙丙四 　　句股形以丙乙元形邉十四为求丙 　　甲而句股等法以十四自之得一九 　　六半之得九八开方为九又十九之十 　　七甲乙也甲乙甲丁等合之加于乙丁 　　元形之邉得三十二又十九之十七为甲甲正方之邉自之得一一四又三六一之二二五正方之积也次求句股四形之积得一九六弱以减正方积余九四四有竒元八角形之积也古法曰九六○谬矣 　　论曰所以然者古法方五斜七不知方五则斜七有竒不发之根也彼以甲乙等各句各股俱为十则乙丙邉与乙丙俱十四不知各率皆是而独乙丙非十四也故八角形之积实少而误以为多 　　新法算书卷九十 <子部,天文算法类,推步之属,新法算书> 　　钦定四库全书 　　新法筭书卷九十一　　　　明　徐光启等　撰测量全义卷五