新法算书 - 第 154 页/共 181 页
第二题
斜靣测远【三支】
一支不论根之能到与否
一法曰乙甲为山之髙其坡乙丙欲测坡若于于丙或左或右置象限作直角一边向丁至丁上置象限边向丙窥乙令丁为四十五度角则得丙丁与乙丙等
论曰乙丁丙直角形丁角四十五度则乙角亦四十五度丁丙乙丙各等角之对边也必等
二支根之能到者 二法曰置丙
象限边向甲根窥乙定丙角之度
此形有甲丙边丙角而求乙丙边
法为全数与外甲丙若丙角之割
线与外乙丙 三法曰丙甲直线上求丁置象限令其角为乙丙甲角之半则丙丁与乙丙等
四法用矩度
一解曰表在丁窥交平边于辛为
辛庚与辛丁若甲丁与乙丁
二解曰表在丙窥交为对角线依
句股法丙甲自之倍之开方得
三解曰表在戊窥交立边于己为
戊寅与戊己若甲戊与戊乙
五法省算矩边从丁到午取分数
如丁甲之歩数立午子垂线成午
丁子角形与甲丁乙形相似则丁子之分数为乙丁之步数从戊亦如之
三支根之不能到者 六法曰丙
丁直线上用象限两次于丙于丁
成乙丙丁形此形有丁丙边丁丙
两角用正法得乙丙边
七法曰以意置乙甲垂线用丁乙
甲丙乙甲两角之切线较为一率
外丁丙为次率丙乙甲之割线为
三率所得为外率乙丙【或丁乙甲交线为三】
【率所得四率乙丁】
用矩度【八法】一解交平边法曰在丙交辛于甲丙直线上退至丁得若干步而交己则己辛与辛丁【即辛丙】若丁丙与丙乙
论曰壬辛丙角形与甲丙乙角形相似丁己壬角形与乙丁甲角形相似于壬己减壬辛甲丁减甲丙则丁丙与己辛相似
二解交立边法曰在丙交辛退丁交己则于矩靣上作子午线与丁戊平行截辛丁线【即辛丙】于子遇己丁线于
午成子午丁角形与丁丙乙角形相
似则子午与子丁若丁丙与丙乙或
矩靣外作辛庚线与丁戊平行则庚
辛丁形与乙丁丙形相似是庚辛与
辛丁若丁丙与丙乙次求辛丁线法
以辛戊戊丁各自之并而开方得所
求次求辛庚线法己戊与戊丁若辛
己与辛庚为丁己戊辛己庚两直角
形有庚丁两角在平行线内即相似故
论曰丁午子丁丙乙两形相似葢子午丁午丁戊为平行线内相对之两角等辛子午辛丙壬两角等【在平行线内】则乙丙丁辛子卯两余角自等辛子卯午子丁两交角
亦等既两形之各角俱等即各边自
相似 省算取子午之分数为丁丙
之步数
三解互交法曰在丙交辛在丁交己
以平边引长之遇于庚成庚辛丁角
形则庚辛与辛丁若丁丙与丙乙
论曰庚辛丁乙丙丁两角形相似葢辛庚丁丙丁乙相对之两内角等壬辛丁角与甲丙乙角等其余角庚辛丁乙丙丁自等故庚辛与辛丁若丁丙与丙乙第三题
望高测远
一支平靣上有余地 一法曰甲乙为
山或楼台而直线不能至甲欲借乙顶
测丙与甲相距之远则于丙上置象限
定角度却从丙到丁得若干步置象限
定角度乙丙丁角形有丁丙边丁丙两角可求乙丙边有乙丙边而求甲丙边法为全数与乙丙边若乙角之正与甲丙边
二法用切线乙为心甲为界作甲己戊弧而得甲乙丙甲乙丁两角切线之较则丙丁切线较与外丙丁步数
若甲丙切线与外甲丙步数
三法曰丙外不能作直线则或左或右
作丁丙乙直角行至丁置象限求作四
十五度角即丙丁得三十一步又三十
之二十三以乙丙为全数丙丁为丁乙丙角之切线丙甲为甲乙丙角之正是丁丙切线与外丁丙之步数
若丙甲正与外甲丙之步数
四法省算丙上置象限定乙丙甲角六十四度退至丁定其角三十二度为丙角之半却于地平靣之丙丁线上作丙丁戊角
与甲乙丙角等为二十六度丁戊线上求戊作直角则丙戊之步数即甲丙之步数
论曰丁戊丙甲丙乙两直角形有丁乙两角等乙丁丙为乙丙甲外角之半即丁乙丙角亦半而丁丙乙丙两
腰必等丙丁戊形与甲乙丙形有
等角有同边即丁戊与甲丙必等
用矩度 五交平边法曰丙上立
矩度成午壬丙形与甲乙丙形相
似丁上立矩度成午己丁形与丙
丁乙形相似则己午与壬午若丁
丙与甲丙
六交立边法曰在丙交午在丁交
己则午己与己壬若丁丙与丙甲
论曰试从己作己戊线与午丁平行即午壬丁形【即午壬丙】
与甲乙丙形相似而午壬丁己壬戊
两形亦相似己壬丁甲乙丁两形亦
相似夫戊己壬形之壬戊为小甲丙
己丁壬形之丁壬为小丁甲丁壬之
内减戊壬丁甲之内减甲丙则戊丁
小丁丙也午己与己壬既若丁戊与
戊壬必若丁丙与丙甲矣
七互交法曰在丙交戊在丁交午即以壬戊边引长之遇丁午线于子成子戊丁角形与乙丙丁相似则子戊与戊壬若丁丙与丙甲
论曰甲乙丁午己丁两形相似午己丁丁壬子两形亦相似则丁壬子甲丁乙两形亦相似夫壬戊丙形【即壬戊丁】与甲乙丙形原相似是壬子当甲丁壬戊当甲丙即戊子当丁丙矣戊子与戊壬不若丁丙与甲丙乎矩靣加庚午衡线同上论
二支平靣上无余地 一法曰甲不可到丙外复无余
地则立表柱于内权线取直上丁下丙
各置象限定丁丙两角成乙丙丁形此
形有丁丙边有角则乙角之正与外
丁丙若丁角之正与外乙丙【如丁为钝角无】
【正则以余角之正】次甲乙丙形有乙丙边有角则全数与外
乙丙之步数若乙角之正与外甲丙
之步数
用矩度 二法一解交立边在丙交己
成己壬丙形与甲乙丙形相似在丁交
辛成己辛丁形与乙丙丁形相似则己辛与丁壬若丙丁与甲丙
论曰丁壬边引至庚得庚丁与甲丙平行夫己壬当乙甲辛壬当乙庚则辛己丁丙皆当甲庚
二解交平边在丙交
己在丁交辛则以丁
己戊庚两边各引长
之遇于寅截丁乙视