御制数理精蕴 - 第 82 页/共 595 页

必与梯形等故求直形之长即得梯形之长 　　四十一则 　　三角形以截积截濶求截长【勾股截积同】 　　设三角田依角截积一千三百六十 　　步截濶六十四步求截长法曰置积 　　倍之【得二千七百二十步】以濶除之得四十二 　　步五分即所求 　　解曰此与直田截三角同【本巻三十八则】 　　四十二则 　　三角形以截积截长求截濶 　　设三角田依角截积一千三百六十步截长四十二步五分求截濶法曰置积倍之【得二千七百二十步】以长除之得六十四步即所求 　　解曰此与直田截勾股同【本巻三十七则】 　　四十三则 　　三角形以截长求截濶 　　设三角田元长二百步濶一百五十步自角截长一百五十步求截濶法曰置截长为实以元濶乘之【得二万二千五百步】以元长除之得一百一十二步五分即所求解曰凡三角形任以一线分之分线若与底线平行则分形之比例必各与全形等谓丙丁与丁戊若丙甲与甲乙丁戊与丙庚若甲乙与丙己又丁戊与甲乙若丙丁与甲丙丙庚与丙己也【泰西几何原本】甲乙丙即元形丁戊丙即截形也则截长与截濶之比例必若元长与元濶矣截濶与元濶之比例亦必若截长与 　　元长矣【谓截长大于截濶几 　　分之几则元长亦大于元濶几分之 　　几截濶小于元濶几分之几则截长 　　亦小于元长几分之几】法以 　　元濶乘截长以元长除之者借元长及元濶之比例因截长以求截濶也【求比例用异乘同除法详三巻五则】 　　四十四则 　　三角形以截濶求截长 　　设三角田元长二百步濶一百五十步截濶一百一十二步五分求截长法曰置截濶为实以元长乘之【得二万二千五百步】以元濶除之得一百五十步即所求解曰此借元濶元长之比例因截濶以求截长也四十五则 　　三角形以截积求截长 　　设三角田元长二百步濶一百五十步自角截积八千四百三十七步五分求截长法曰置积倍之【得一万六千八百七十五步】为实以元长乘之【得三百三十七万五千步】以元濶除之【得二万二千五百步】平方开之得一百五十步即所求 　　解曰甲乙丙即元 　　形丁戊丙即截形 　　丁壬为截形等高 　　等濶之直形辛壬 　　为截长丙庚线上方形丁壬辛壬两形之高必相等两形既等高则其比例必若丁戊与辛戊【几何原本云凡两形等高形与形之比例若线与线】辛戊与截长丙庚等而丁戊即截濶是丁壬与辛壬之比例若截濶与截长也分形之比例元与全形等【本巻四十三则】则丁壬与辛壬之比例又若元濶与元长矣法倍截积者求丁壬直形也以元长乘元濶除之者借元长元濶之比例因丁壬直形以求辛壬方形也辛壬为截长丙庚上方形故平方开之得截长也 　　四十六则 　　三角形以截积求截濶 　　设三角田元长二百步濶一百五十步自角截积八千四百三十七步五分求截濶法曰置截积倍之【得一万六千八百七十五步】为实以元濶乘之【得二百五十三万一千二百五十步】以 　　元长除之【得一万二千六 　　百五十六步二分五厘】平方 　　开之得一百一十 　　二步五分即所求 　　解曰甲乙丙即元形丁戊丙即截形丁壬为截形等高等濶之直形丁辛为截濶丁戊上方形丁壬丁辛两形之濶必相等两形既等濶则其比例必若戊壬与戊辛戊辛与截濶等戊壬与截长等是丁壬与丁辛之比例若截长与截濶亦若元长与元濶矣法倍截积者求丁壬直形也以元濶乘元长除之者借元长元濶之比例因丁壬直形以求丁辛方形也丁辛为截濶丁戊上方形故平方开之得截濶也○以上皆自角截积法若自底截积则以截积减元积余积亦以上法求之得濶即截濶得长减元长余为截长四十七则 　　斜方形以截积截长求截濶【梯形截积同】 　　设斜方田元长九十步大边 　　濶三十八步小边濶二十步 　　依小边截积八百二十二步 　　五分截长三十五步求截濶 　　法曰置积为实以截长除之 　　【得二十三步五分】倍之【得四十七步】减小 　　边元濶余二十七步即所求 　　解曰以截长除积者求甲丙直形之濶甲乙也甲乙为小边及截濶之中度倍之则与小边及截濶并等矣故减小边即得截濶也 　　四十八则 　　斜方形以截积截濶求截长 　　设斜方田元长九十步大边濶三十八步小边濶二十步依小边截积八百二十二步五分截濶二十七步求截长法曰置积为实以截濶与小边元濶并【得四十七步】折半【得二十三步五分】为法除之得三十五步即所求解曰以截濶与小边相并折半者求两濶之中度甲乙也【同前图】故以除积得截长 　　四十九则 　　斜方形以截濶求截长 　　设斜方田元长九十步大边 　　濶三十八步小边濶二十步 　　截濶二十七步求截长法曰 　　置小边元濶与截濶相减【余七】 　　【步】为实以元长乘之【得六百三十步】另以两元濶相减【余一十八步】除之得三十五步即所求 　　解曰小边与截濶相减所余必庚己两元濶相减所余必甲戊庚己与截长之比例若甲戊与元长也与三角形同【本巻四十三则】 　　五十则 　　斜方形以截长求截濶 　　设斜方田元长九十步大边濶三十八步小边濶二十步自小边截长三十五步求截濶法曰置截长为实以两元濶相减【余一十八步】乘之【得六百三十步】以元长除之【得七步】并小边元濶得二十七步即所求 　　解曰七步即己庚之度也【图同前】故加小边元濶得截濶余同前解 　　五十一则 　　斜方形依小边截积求截濶 　　设斜方田元长九十步大边濶三十八步小边濶二十步自小边截积八百二十二步五分求截濶法曰置积为实以两元濶相减【余一十八步】乘之【得一万四千八百零五步】以元长除之【得一百六十四步五分】倍之【得三百二十九步】另以小边元濶自乘【得四百步】两数并【共七百二十九步】平方开之得二十七步即所求 　　解曰甲乙丙丁全形己辛丙丁截形丙丁与甲乙为两元濶辛己为截濶丙戊为元长丙庚为截长庚己 　　为小边与截濶之较线甲戊 　　为两元濶之较线癸辛为截 　　濶上方形子辛为小边上方 　　形【庚辛与丙丁等】癸辛之大于子辛 　　者为丑寅两亷与夘一隅夘隅即较线庚己上方形也截形以丙庚线分之必成庚丁一直形己丙庚一勾股形若以截长丙庚除直形必得辛庚线再以较线己庚乘之必成一亷【两亷俱以小边为长以较线为濶】若以截长丙庚除勾股必得庚壬线庚壬者庚己之半也再以庚己乘之必成半隅然直形与勾股两形实一截形之分也若以己庚乘截积以丙庚除之亦必得一亷半隅也又全形之比例与截形等【本巻四十九则】丙戊之与甲戊必若丙庚之与己庚故置截积以元长丙戊除之以两边较线甲戊乘之亦得一亷半隅与前同倍之则成两亷一隅夫小边上方形之小于截濶上方形者此两亷一隅也并之则成截濶上方形矣故平方开之得截濶 　　五十二则 　　斜方形依大边截积求截濶 　　设斜方田元长九十步大边濶三十八步小边濶二十步自大边截积一千七百八十七步五分求截濶法曰置积为实以两元濶相减【余一十八步】乘之【得三万二千一百七十五步】以元长除之【得三百五十七步五分】倍之【得七百一十五步】另以大边元濶自乘【得一千四百四十四步】两数相减【余七百二十九步】平方开之得二十七步即所求 　　解曰既自大边截积则 　　元形之大边亦即截形 　　之大边而截濶为小边 　　小边上方形之小于大 　　边上方形者两亷一隅也故于大边上方形内减去两亷一隅平方开之即得截濶○若并求长得濶用本巻四十八则法求之 　　五十三则 　　梯形截勾股 　　设梯田元长一百二十步大边濶八十步小边濶二十步自一角截勾股积三百四十八步四分八厘求 　　截濶法曰置积倍之【得六百九十六 　　步九分六厘】以两元濶相减【余六十步】折半【得三十步】乘之【得二万零九百零八步八 　　分】以元长除之【得一百七十四步二分四】 　　【厘】平方开之得一十三步二分即所求 　　解曰甲乙丙丁梯形减去甲戊丙丁斜方所余必戊丁乙勾股形截积亦勾股形则是勾股截勾股也故法同勾股【本巻四十六则】○若求长则倍截积以截濶除之即得【本巻三十八则】 　　五十四则 　　梯形截斜方 　　设梯田元长一百二十步大边濶八十步小边濶二十步截斜方积三千六百步求截濶法曰置积为实 　　以元长除之【得三十步】另以两元 　　濶相减【余六十步】四归之【得一十五步】两数并得四十五步即所求 　　解曰元长除截积得己戊甲 　　庚为大边大于小边之半甲己又为甲庚之半则甲己为大边大于小边四分之一矣故四归两濶之较并己戊得截濶 　　五十五则 　　梯形截无法五边形 　　设梯田元长一百二十步大边濶八十步小边濶二十步截五边形【即甲戊己丁丙】积五千六百五十一步五分二厘求截濶法曰先求梯田全积【本巻七则】减去截积【余三 　　百四十八步四分八厘】以梯田截勾股 　　法求之【本巻五十三则】得濶【一十三步二分】以减大边元濶余六十六步 　　八分即所求