御制数理精蕴 - 第 77 页/共 595 页

先得甲乙邉及甲丙乙 　　丙之较丙丁求余邉先 　　作庚辛与丙丁等次作 　　辛壬垂线与甲乙等次作庚壬次引长庚辛至癸次作庚壬子直角而壬子截庚癸于子末平分庚子于丑即庚丑线与乙丙等辛丑线与甲丙等何也庚癸线既以庚壬子直角线截之则庚辛偕辛子矩内形必与辛壬上方形等【三巻三五】按勾股法依股较为濶作直形而与勾羃等其长必一一股之度故加辛庚折半得乙丙【若先得甲丙及甲乙乙丙之较乙戊求乙丙法同上】 　　四附以直角旁两邉之较及对直角邉求全邉 　　先得乙丙及甲乙甲丙之较 　　己丙先作庚辛与乙丙等次 　　平分于寅即以寅为心庚为 　　界向上作短界线次以庚为心己丙为度向上作短界线相交处为丑自丑作辛丑线次作庚辛壬直角令辛壬与辛丑等次作庚壬线末截庚壬于癸令壬癸与丙己等余庚癸平分于子即庚子与甲乙等子壬与甲丙等按勾股法一勾一股并作方形当上方形二而朒一勾股较上方形今庚辛上方形即羃等辛丑之辛壬上方形当一羃而朒一勾股较上方形又庚壬上方形与庚辛辛壬上两方形并等则庚壬一线必为一勾一股之度 　　五附以直角旁两邉与对直角邉之两较线求各邉先得甲丙乙丙之较丁丙及甲乙乙丙之较乙戊先倍乙戊加丁丙为庚辛壬癸线平分于子即以子为心庚为界作庚丑癸半圜次自壬作垂线抵圜界于丑 　　即壬丑线加壬癸即与甲乙等加辛壬即与甲丙等加辛癸即与乙丙等按勾股法丁丙偕乙戊矩内形二与戊丁上方形等夫庚壬偕壬癸矩内形即两较矩内形二也而又与壬丑上方形等则壬 　　丑垂线不与戊丁亦等乎故逓加之得勾股也【若倍丙丁加乙戊所求亦同】 　　六附又法以方邉角线之较求方邉 　　先得方邉角线之较甲乙三倍 　　之为甲乙丙丁线平分于戊即 　　以戊为心甲为界作甲己丁半 　　圜自丙作垂线抵圜界于己即己丙线加丙丁为方邉加甲丙为角线试作庚辛为角线上方形次作庚癸壬辛皆为元方形【详二巻十四之増】其子丑与丑壬两线之比例若丑壬与子丑寅卯两线并则丑壬为子丑及子丑寅卯两线并之中率今甲丙倍丙丁而己丙为中率其丙丁与己丙若己丙与甲丙也则己丙丑壬两线必等故加等子丑之丙丁得方邉加等子丑寅卯两线并之甲丙得角线 　　七附等角两平行方形【不同理】不必借象即以相结如甲丙丙己两平行方形两丙角等即以两角相聨令乙丙丙庚丁丙丙戊各成直线【六巻二三】次引丙庚至壬令丙庚与 　　丙壬若丁丙与丙戊旋依丁丙丙壬作丁壬形即甲丙与丙己两形之比例若乙丙与丙壬何者丙庚丙壬丁丙丙戊四线既为断比例前后两率矩内形与中两率矩内形必等【六巻十六】即丙己与丁壬等又丁壬与甲丙同丁丙邉即两形等髙两形之比例必若两底乙丙之与丙壬也故甲丙与丙己亦若乙丙与丙壬此以丁丙丙庚为前率之后复为后率之前化二为一作首尾两率之枢纽不必假借他象即以相结若以乙丙与丙戊偕丁丙与丙庚相结仿此 　　八附又法求理分中末线 　　设甲乙线求理分中末【详六巻三十】即以甲乙当股次作乙丙勾令勾半于股次以甲丙聨之次截甲丙于丁令丙丁与乙丙等末截甲乙于戊令甲戊 　　与甲丁等即甲戊乙为理分中末 　　也何者勾股上两方形并与上 　　方形等【一巻四七】于方内减去等勾 　　方之己形所余庚辛壬磬折形必与股方等又甲丁甲戊两线等即辛癸两形亦等再减辛癸两形所余庚壬两形与子丑寅磬折形必亦等又甲乙既倍于内乙即甲卯亦倍于甲辰甲丁甲戊又等则癸子两形并【当甲戊偕丙乙矩内形二】与庚壬两形并【即甲丁偕丙乙矩内形二】亦等矣即癸子两形并与子丑寅磬折形亦等此二率毎减一同用之子形则所余癸与丑寅并安得不等夫癸即甲戊上方形也丑寅即甲乙偕乙戊矩内形也故甲戊乙为理分中末也 　　九附求于三角形内作一线抵两腰与底线平行又与所设线等 　　甲乙丙三角形求作一线抵两腰与乙丙平行而与丁线等先作甲戊线次分 　　于己令甲戊与甲己若乙丙底与丁线末从己作庚辛线与乙丙平行为所求【若设线大于乙丙即不可作】 　　十附有多线求理分中末 　　设甲乙丙丁戊己庚辛多线各求理分中末先依前法【八附】分甲乙于壬次 　　任作甲癸乙角形次从壬作癸壬线次作丙丁戊己庚辛多线令两界各抵腰线而与底线平行【九附】末依癸壬线分丙丁于子分戊己于丑分庚辛于寅各为理分中末也 　　几何论约巻末 <子部,天文算法类,算书之属,数学钥> 　　钦定四库全书　　　　　子部六 　　数学钥　　　　　　　　天文算法类二【算书之属】提要 　　【臣】等谨案数学钥六巻 　　国朝杜知耕撰其书列古方田粟布裒分少广商功均输盈朒方程勾股九章取今线面体三部之法之载其图解并摘其要语以为之注与方中通所撰数度衍用今法以合九章者体例相同而每章设例必标其凡于章首每问答有所旁通者必附其术于条下所引证之文必着其所出搜辑尤详梅文鼎勿庵歴算书记曰近代作者如李长茂算海详説亦有发明然不能具九章惟方位伯数度衍于九章之外搜罗甚富杜端伯数学钥图注九章颇中肯綮可为筭家程式其説固不诬矣世有二本其一为妄人窜乱殊失本真此本犹当日初刋今据以校正以复知耕之旧焉乾隆四十六年四月恭校上 　　总纂官【臣】纪昀【臣】陆锡熊【臣】孙士毅 　　总　校　官【臣】陆费墀 　　钦定四库全书 　　数学钥卷一凡例 　　柘城杜知耕撰 　　凡例【计十四则】 　　一则 　　数非图不明图非手指不明图用甲乙等字作志者代指也作志必用甲乙等字者取其笔画省而不乱正文也甲乙等字尽则用子丑等字又尽则用乾坤等字如云甲乙丙丁方形则指第一图戊巳庚辛方形 　　则指第二图或错举二字谓 　　第一图为甲丁或乙丙形谓 　　第二图为戊辛或巳庚形又 　　指第一图左下角曰甲角右 　　下角曰乙角又或有两角相 　　连如第三图两形相同一角 　　如第四图举一字不能别为某形某角则连用三字曰寅癸丑角或壬癸子角以中一字为所指之角二则 　　四边皆等四角中矩者曰方形如第一图四角中矩四边两两相等者曰直形如第二图或四边等或两边等而四角俱不中矩者曰象目形如第三图四边俱 　　不等两角中矩两 　　角不中矩者曰斜 　　方形如第四图角 　　不中矩两边相等 　　者曰梯形如第五 　　图边及角俱不等 　　者曰无法形如第六图三边形有一方角者【甲为方角】曰勾股形如第七图无方角者曰三角形如第八图三则 　　形边之界曰线线之纵者曰长或曰高衡者曰濶或曰广在下者或曰底斜对两角者曰 　　四则 　　形之积步积尺曰积曰容方形之容或曰羃 　　五则 　　线之作志处曰防 　　六则 　　两线相并曰和 　　七则 　　以此线比彼线彼线之大于此线者以此形比彼形彼形之大于此形者或曰较或曰差如甲丙线之大于甲乙线为丙乙则丙乙为两线之较线或曰两线之 　　差丁己形之大于丁戊形为庚己形 　　则庚己为两形之较形或曰两形之 　　差 　　八则 　　甲乙线上作甲丙方形各边俱等于甲乙曰甲乙线上 　　方形其形之容即甲乙自乘