御制数理精蕴 - 第 86 页/共 595 页

背为全周之半必三十步法以矢 　　相并即与弧背等折半以矢乘之犹 　　圆法以半径乘周折半得积之义也 　　【本巻三则】以旧法论全圆得积三百步而半圆之弧得积一百五十步与围三径一之数脗合无差过此以往其矢渐短弧形渐细其差渐多甚至百步之积有差至二十余步者即如十七则弧矢田一十七步三分二厘有竒矢五步依旧法求之止得积五十五步八分较前法所求之积则少五步六分六厘有竒前法虽密于旧法然必背矢皆具方可起算旧法有矢有即可得积故并存之 　　二十八则 　　旧弧矢法以积矢求 　　设弧矢田积五十五步八分矢五步求法曰置积倍之【得一百　十一步六分】以矢除之【得二十二步三分二厘】减去矢余 　　一十七步三分二厘即所求 　　解曰旧法以矢乘半半矢得弧矢 　　积若以矢除弧矢积必仍得半半 　　矢以矢除弧矢积既得半半矢以 　　矢除弧矢之倍积不得一一矢乎一一矢内减去一矢所余非而何 　　二十九则 　　旧弧矢法以积求矢 　　设弧矢田积五十五步八分一十七步三分二厘求矢法曰置积八因之【得四百四十六步四分】另置自乘【得二 　　百九十九步九分八厘二毫四丝】两数并【共七百四十六步三 　　分八厘二毫四丝】平方开之【得二十七步三分二厘】减 　　去【余十步】折半得五步即所求 　　解曰甲丁方形边与一二矢等甲 　　戊乙己丁庚丙辛各与矢等其戊己 　　等四直形即矢偕一一矢矩内形壬子即上方形也又弧矢形以矢乘半半矢得积【本巻二十七则】而当一直形之半则四直形必当八弧矢积矣是一二矢上方形与上方积一及弧矢积八并等反之则上方积一及弧矢积八并为一方其边必一二矢也法并两数以平方开之所得即一二矢之度故减折半得矢也○旧弧矢法背积及径辗转相求共三百二十六法实亦不出十七则以下十法之外其不能该者止以上三法耳故存之 　　三十则 　　增弧矢法以矢求积 　　设甲乙丙弧矢田丙丁矢五步甲乙一十七步三分二厘有竒求积法曰有矢与可得丁壬余径余径加矢可得丙壬全径【本卷十九则】甲己与丙壬等即以 　　甲己为甲乙为股求乙巳勾得十 　　步【六卷三则】为乙巳庚余弧之又将乙 　　己折半得巳辛复为勾戊巳半径为 　　求戊辛股以减半径【戊庚与戊巳等】余庚 　　辛一步三分四厘为乙己庚余弧之矢另求甲己径上半圆积【得一百五十七步一分四厘二毫八丝○本巻三则】次求甲乙己勾股积【得八十六步六分○一巻四则】与半圆积相减【余七十步零五分四厘二毫八丝】为甲乙丙与乙己庚两弧之共积置为实两弧各以三一矢相并以矢乘之【甲乙丙弧得二百八十四步八分乙己庚弧得四十一步九分九厘五毫六丝】以甲乙丙弧数乘实【得二万零九十步零五分八厘九毫四丝四忽】并两弧数【共三百二十六步七分九厘五毫六丝】除之得六十一步四分七厘七毫五丝有竒即所求 　　解曰此借两弧三一矢以矢乘之之数为比例以分共积也此法较旧法为密然大弧既盈则小弧必朒较十七则未免有千一之差如必欲得弧积眞数密量弧背从十七则可也 　　三十一则 　　圆截圆 　　设圆田径二十一步依外周截积三 　　百三十六步八分七厘五毫求余圆 　　径法曰置径自乘【得四百四十一步】另置截 　　积以十四乘之【得四千七百一十六步二分五厘】十 　　一除之【得四百二十八步七分五厘】两数相减【余一十二步二分五厘】平方开之得三步五分即所求 　　解曰此与方环截积同【一巻五十六则】 　　三十二则 　　圆截弧矢【旧法】 　　设圆田径一十三步截弧矢积三十 　　二步求矢法曰置截积自乘【得一千零二十 　　四步】为实用商法商矢四步即以所商 　　之矢乘截积【得一百二十八步】为上亷另以 　　矢每步加负隅二分五厘【得五步】与径相减余八步为余径又以所商之矢自乘【得一十六步】以乘余径【得一百二十八步】为下亷并两亷【共二百五十六步】为法除实得四步即所求 　　解曰弧矢之积元以矢乘半半矢而得【本巻二十七则】若以半半矢相并除积必得矢法置截积自乘是倍截积为三十二若以三十二半与三十二半矢并除倍积必亦得矢法以矢乘截积得三十二全矢是多三十二半矢少三十二半若以半大于半矢 　　之数三十二倍之与三十二全矢并 　　即与三十二半三十二半矢相并 　　之数同今无半数须以矢乘余径 　　以为半自乘之方【本巻十九则】如甲乙 　　方形甲己为半甲丁为半矢丁己为半矢较【即半大于半矢之度】则丁己乙戊直形必半矢较以半为倍数者也庚辛等于丁己庚丙等于甲丁则庚丙戊辛直形必半矢较以半矢为倍数者也两直形并再以矢乘之必半矢较以截积三十二为倍数者也何也弧矢之积元以矢乘半半矢而得故也甲乙大方形减去丁己乙戊与庚丙戊辛两直形余甲丙小方形为甲丁半矢之幂法所谓负隅也负隅既为半矢之幂必为全矢幂四分之一故法以二分五厘为负隅也法用矢自乘以乘余径与用矢乘余径再以矢乘之得数同也○按元注云所得之矢过于所商之矢为约矢太短不及所商之矢为约矢太长宜更商之商约之法既无一定惟以意斟酌之若整齐之矢或一二商可得苟遇畸零之矢必至千百商不能得者古人于此条实无善法姑以此考验所商之合否耳若止欲考验所商之合否又何如以所商之矢求半【本巻二十则】再加半矢以矢乘之【本巻二十七则】合积为准过积为约矢太长不及积为约矢太短不较捷乎 　　三十三则 　　弧矢截杂线三角形 　　设半圆弧矢田二十步自心截杂线三角形背长一十步零四分七厘六毫一丝六忽求截积法曰置 　　截背以折半【得十步】乘之【得一百零四步七分 　　六厘一毫六丝】折半得五十二步三分八厘 　　零八丝即所求 　　解曰杂线三角形为圆之分形故求 　　积之法同圆【本巻三则】 　　三十四则 　　方内减圆以余积求圆积 　　设方田减去内切圆田四隅余积一百六十八步求圆积法曰置积为实以圆法十一乘之【得一千八百四十八步】 　　以圆法十一与方法十四相减余三 　　为法除之得六百一十六步即所求 　　解曰圆既为方十四分之十一则方 　　内减圆之余积必为方十四分之三 　　圆十一分之三矣故十一乘三归得圆积也 　　三十五则 　　方内减圆以余积求方积【求方边圆径附】 　　设方田减去内切圆田四隅余积一百六十八步求方积法曰置积为实以十四乘之【得二千三百五十二步】以圆法十一与方法十四相减余三为法归之得七百八十四步即所求 　　解同前○置方积平方开之即方边亦即圆径三十六则 　　圆内减方以余积求方积【求方边圆径附】 　　设圆田减去内切方田余积二百二 　　十四步求方积法曰置积为实以七 　　乘之【得一千五百六十八步】以七与圆法十一 　　相减余四为法归之得三百九十二 　　步即所求 　　解曰内切方形之与外切方形之边等则内切方形必倍小于外切方形而若七之与十四夫圆既为外方十四分之十一而内方不为圆十一分之七乎圆内减方之余积为圆十一分之四即为内方七分之四故七乘四除得内切方积也○置方积平方开之即得方边倍方积平方开之即得圆径 　　三十七则 　　圆内减方以余积求圆积 　　设圆田减去内切方田余积二百二十四步求圆积法曰置积为实以圆法十一乘之【得二千四百六十四步】以圆法十一与七相减余四为法归之得六百一十六步即所求 　　解同前 　　三十八则 　　方内减不相切之圆以余积求方边及圆径 　　设方田内减圆田方边至圆周五步余积一千七百二十五步求方边及圆径法曰置五步自乘【得二十五步】以三因之【得七十五步】与余积并【共一千八百步】另置五步以六因之【得三十步】为纵方以平方带纵开之【得九十步　一巻十三则】减 　　去纵方余六十步即方边再 　　减两边各五步【共十步】余五十 　　步即圆径 　　解曰依图分之成甲乙等方 　　形四子丑等直形八干坎等 　　杂线三角形四其甲乙等四形即方边至圆周五步自乘之方形也子丑等八形亦各以五步为濶其长 　　则圆之半径也干坎等四形 　　为方减内切圆形之余积以 　　方四圆三推之【旧法谓方内容圆圆居方 　　四分之三】四形并必当方四分之 　　一干坎艮三形并必足以补 　　癸形之阙而与一小方二直 　　形一杂形并共凑成一坤震 　　方形矣次移甲于丁移乙于 　　戊移丙于己移子于午移丑于未移寅于申移夘于酉移辰于戌移巳于亥尚阙庚辛壬三形故法取方边至圆周之五步自乘以三因之加入积内也自壬至丁凡六形每形濶五步共计三十步故法取方边至圆周之五步以六因之为纵方也带纵开方法置积四因之纵方自乘两数并平方开之得长濶相和之度【即兑巽与巽震并】减去纵方【即兑坤】余两濶【即坤巽与巽震并】即方边方边之大于圆径者为两边之各五步故减之得圆径【本则及下则皆用周三径一法】