御制数理精蕴 - 第 87 页/共 595 页

三十九则 　　圆内减不相切之方以余积求圆径及方 　　设圆田内减方田圆周至方角一步余积四十三步 　　求圆径及方法曰置一步 　　自乘【仍得一步】以二因之【得二步】与 　　余积并【并四十五步】另置一步以 　　四因之【得四步】为纵方以平方 　　带纵开之【得一十四步】减去纵方 　　即圆径再减圆周至方角各一步【共二步】余八步即方 　　解曰依内方角作一圆线此圆线偕外圆周必成一圆环形次依环濶改作方环圆环当方环四分之三 　　故止作方环之三隅即与圆 　　环等依图分之成甲乙丙三 　　方形丁戊己庚辛壬六直形 　　尚余癸子丑寅四弧矢形为 　　圆减内切方形之余积以圆 　　三方二推之【旧法谓圆内容方方居圆三分 　　之二】四弧矢形并当圆三分之 　　一必当内方二分之一而夘癸辰方形亦当内方二分之一则四弧矢形必能补夘癸辰方形之阙而与辛壬丙三形并共辏成一震坎方形矣次移甲于巳移乙于午移丁于酉移戊于戌移己于亥移庚于干尚阙未申二形故法取圆周至方角一步自乘二因之补入积内也自巳至申凡四形每形濶一步共四步故取圆周至方角之一步四因之为纵方也以平方带纵开之得巽艮艮坎长濶相和之度减去纵方巽震余震艮艮坎两濶即圆径圆径之大于方者为两边之各一步故减之得方 　　四十则 　　诸杂线形求积 　　第一图可作一弧矢形而减一弧矢形第二图可作半弧矢形而减半弧矢形第三图可作两弧矢形第四图移甲丙实形补乙丁虚形成戊三角形又移己实形补庚虚形成辛三角形壬癸子各成三角形丑自成弧矢形此一大形内成三角形五弧矢形一第五图甲乙各自成弧矢形丙丁辛各自成三角形移 　　戊实形补 　　己虚形庚 　　亦成三角 　　形癸借壬 　　虚形亦成 　　三角形【得积 　　减去壬圆形】此 　　一大形内 　　成弧矢形二三角形五而减一圆形凡属杂线形者【裁之数学钥巻二】 　　皆依五形例 <子部,天文算法类,算书之属,数学钥> 　　钦定四库全书 　　数学钥卷三凡例 　　柘城杜知耕撰 　　凡例 　　一则 　　设一数与甲乙两率为同名与丙丁两率为异名置所设之数为实以甲乘丙除曰同乘异除以丙乘甲除曰异乗同除以丙乘甲得数乘实曰异乘同乘【与以丙乘复以甲乘同】以丙乘甲得数除实曰异除同除【与以丙除复以甲除同】以丙乘丁除曰异乘异除以甲乘乙除曰同乘同除 　　二则 　　设一数以一率除二率乘又以三率除四率乘又以五率除六率乘方得所求变为以四率乘二率复以六率乘之得数乘实以三率乘一率复以五率乗之得数除实即得所求亦曰同乘同除 　　三则 　　凡用一率除二率乘者则变为先以二率乘后以一率除凡用一率除复用二率除者则变为以一率乘二率得数除实恐归除多有畸零不尽之数也 　　四则 　　设甲乙丙三率以甲乘乙以乙乘丙曰逓乘以甲乘乙以乙乘丙以丙复乘甲曰维乘以甲乘乙复以乙乘甲曰互乘以甲乘乙复乘丙曰遍 　　五则 　　命分数曰母得分数曰子母数者子之本数子数者母之分数 　　六则 　　设两数一为法一为实以法除实得若干将法实任各若干倍之以倍法除倍实必仍得若干与原得数同若以倍法除元实则得数小于元得数之倍数即同元法小于倍法之倍数若以元法除倍实则得数大于元得数之倍数即倍实大于元实之倍数如元实为六十元法为五十以五十除六十得十二任三倍元实为一百八十亦三倍元法为一百五十以一百五十除一百八十亦得十二与元得数同以倍法一百五十除元实六十得四则四与元得数十二之比例若元法五十与倍法一百五十也以元法五十除倍实一百八十得三十六则三十六与元得数十二之比例若倍实一百八十与元实六十也 　　数学钥巻三凡例 　　钦定四库全书 　　数学钥巻三上目録 　　柘城杜知耕撰 　　粟布 　　一则籴粜一法 　　二则籴粜二法 　　三则籴粜三法 　　四则籴粜四法 　　五则籴粜五法 　　六则籴粜六法 　　七则籴粜七法 　　八则籴粜八法 　　九则撞换一法 　　十则撞换二法 　　十一则撞换三法 　　十二则盘量仓窖 　　十三则布帛 　　十四则银色一法 　　十五则银色二法 　　十六则银色三法 　　十七则银色四法 　　十八则银色五法 　　十九则银色六法 　　二十则斤两一法