御制数理精蕴 - 第 79 页/共 595 页

数学钥巻一目録 　　钦定四库全书 　　数学钥巻一 　　柘城杜知耕撰 　　方田上【直线类】 　　一则 　　实积求亩 　　设田积二万九千五百二十步求亩法曰置积为实以亩法二四除之得一百二十三亩即所求 　　解曰五尺为步二百四十步为亩如自甲至乙濶一 　　步【即五尺】余三边各与甲乙等则甲丙 　　方形为积一步二百四十倍之则为 　　一亩故亩法用二四也本巻及二巻 　　皆言求积之法得积以此法求之即 　　得亩数 　　二则 　　直形求积 　　设直田长十步濶八步求积法曰置长为实以濶乘之得八十步即所求 　　解曰直田长濶不等求积之法任取 　　一边为此一边之倍数【或以濶乘长或以长乘濶】如甲戊形之戊乙己甲各二步则二 　　倍甲乙边八步之数而甲戊形得积 　　一十六步今丙乙丁甲各十步是十倍甲乙边八步之数故得积八十步也 　　三则 　　方形求积 　　设方田方八步求积法曰置八步自乘得六十四步 　　即所求 　　解曰方田四边皆等以此边为此边 　　之倍数与以他边为此边之倍数同 　　故法用自乘也 　　四则 　　勾股求积 　　设勾股田股长十二步勾濶八步求积法曰置股为实以勾乘之【得九十六步】折半得四十八步即所求解曰勾股形当等高等濶直形之半如甲乙丙勾股 　　形另作丁己直形 　　与之等高【谓丁庚与甲丙 　　等】等濶【谓丁戊与甲乙等】以庚戊线分之则 　　成丁戊庚庚己戊两勾股形皆与甲乙丙勾股形等夫丁己一直形当甲乙丙勾股形二而甲乙丙勾股形不当丁己直形之半乎法以勾乘股所得者丁己直形积也故半之得勾股积又法置股为实以半勾【四步】乘之所得同前【半股为实以勾乘之亦得】 　　解曰丁己直形再以壬辛线中分之成丁壬辛己两分形法以半勾乘股所得即分形积也勾股既为丁己直形之半而分形亦为丁己直形之半故分形积即勾股积也 　　五则 　　三角形求积 　　设三角田中长一十二步底濶八步求积法同勾股田 　　解曰甲乙丙三角形依底线作甲丁直形从角以丙 　　己线分之则三角 　　形内成甲己丙乙 　　己丙两勾股形直 　　形内成甲丙己丁 　　两分形从前解推 　　之甲己丙勾股形 　　当甲丙分形之半 　　乙己丙勾股形当 　　己丁直形之半两勾股形既当两分形之半而三角全形不为甲丁全形之半乎故求积之法与勾股同也　或两边等【如第一图】或三边等【如第二图】或三边俱不等【如第三图】法皆同 　　六则 　　斜方形求积 　　设斜方田长一十 　　五步上濶六步下 　　濶十步求积法曰 　　置长为实以两濶 　　相并【共一十六步】折半【得八步】为法乘之得一百二十步即所求 　　解曰甲乙丁庚斜方形减去辛丁直形所余必甲庚辛勾股形勾股形既为等高等濶直形之半【本巻四则】则己庚直形必与甲庚辛勾股形等又己庚直形与辛丁直形并亦必与甲庚辛勾股形与辛丁直形并等法并两濶折半者乙己之度也以乙己乘丁乙所得乃己丁直形也而己丁直形即己庚辛丁两形并也安得不与甲乙丁庚斜方形等乎 　　七则 　　梯形求积 　　设梯田长一十五步上濶六步下濶十步求积法同斜方田 　　解曰甲乙丙丁梯形减去戊丁直形余甲丙戊乙丁 　　己两勾股形必与 　　辛丙己庚两分形 　　等今戊丁直形与 　　两分形并则与全 　　梯形等矣故并两濶折半乘长得积也 　　八则 　　象目形求积 　　设象目田濶八步正长一十二步求积法曰置正长 　　为实以濶乘之得 　　九十六步即所求 　　解曰几何原本云 　　甲乙丙丁象目形 　　甲戊为正长自乙 　　作乙己线与甲戊平行次于丁丙线引长之至戊成甲乙己戊甲乙丁丙两形在平行线内【等高即在平行线内】而同底【等濶即同底】则两形必相等何也甲戊乙己两线既平行则戊己必与甲乙等而丙丁元等于甲乙则丙丁与戊己必亦等丙丁既与甲乙等则甲丙乙丁两线必平行而亦相等因显甲丙戊乙丁己两三角形亦等于两形内每减一己丙庚三角形所余甲庚己戊庚乙丙丁两无法四边形亦等次于两无法形每加一甲庚乙三角形则成甲乙丙丁甲乙戊己两形安得不等法以濶乘正长得甲己直形之积即甲乙丙丁象目形之积 　　又法甲乙丙丁象目田自甲量至丁得一十六步自丙量至戊得六步两数相乘亦得九十六步与前同 　　解曰象目田以甲丁线分之则成相 　　等之两三角形甲丁即底丙戊即中 　　长也故以底乘长得全积也【三角法以底乘 　　长折半得积今不折故得两形之共积】 　　九则 　　诸直线形求积 　　第一图 　　可作三 　　三角形 　　第二图 　　可作一 　　斜方形 　　一三角 　　形第三图可作一三角形而减一小三角形第四图可作一方形而减一勾股形第五图可作一直形一勾股形第六图可作两三角形其余千形万状凡属直线边者皆依方直三角勾股裁之 　　十则 　　积求方边【即开平方】 　　设方田积三万六千一百步求方边法曰置积于中为实初商一百步于实左亦置一百步于实右为方法左右对呼除实一万步【余二万六千一百步】倍方法【得二百步】为 　　亷法次商九十步于左初商 　　之次【共一百九十步】亦置九十步于 　　右亷法之次为隅法【共二百九十步】以左次商与亷法对呼除实