御制数理精蕴 - 第 81 页/共 595 页

两边等之三角形求对角之垂线 　　设三角田底濶六步两余边各五步 　　求中长法曰置底折半【得三自步】乘【得九 　　步】余边亦自乘【得二十五步】两数相减【余一 　　十六步】平方开之得四步即所求 　　解曰丙乙作乙丁作勾以所求之丙丁作股此即勾求股法也【六巻二则】甲乙边折半即得勾者以乙丙丙甲两边等也设两边不等此法不行矣则有下法在 　　三十则 　　有一方角之三角形求对角之垂线 　　设不等边三角田有一方角【丙为方角即勾股田】底濶十步乙丙边六步甲丙边八步求中长法曰置乙丙边自乘【得三十六步】以底除之【得三步六分○此即丁乙之度以下仍勾求股法】又自乘 　　【得一十二步九分六厘】与丙乙边自乘之数相 　　减【余二十三步零四厘】平方开之得四步八分 　　即所求 　　解曰此勾股求对角垂线法也【六巻二十 　　五则】因有方角故用之若无方角此法 　　又穷矣更有一法不问等边方角与否皆可求如下则 　　三十一则 　　不等边而无方角之三角形求对角之垂线 　　设三角田底濶一十五步乙丙边八 　　步甲丙边十步求中长法曰置乙丙 　　甲丙两边各自乘【乙丙得六十四步甲丙得一百步】两数相减【余三十六步】为实以底除之【得二 　　步四分】以减底【余一十二步六分】折半【得六步三分】 　　【即乙丁之度以下勾求股法】又自乘【得三十九步六分九厘】另置乙丙自乘【得六十四步】两数相减【余二十四步三分一厘】平方开之得四步九分三厘有竒即所求 　　解曰甲乙丙三角形丁为对角防另作庚辛为乙丙 　　边上方壬癸为甲 　　丙边上方壬癸大 　　于庚辛之较为夘 　　子丑磬折形若移 　　丑于寅则成夘子 　　寅直形又作辰巳 　　为丁乙上方午未 　　为甲丁上方午未 　　大于辰巳之较为申酉戌磬折形若移戌于亥则成申酉亥直形申酉亥与夘子寅两直形必相等何也甲乙丙三角形以丙丁线分之则成丁乙丙丁甲丙两勾股形既皆勾股形则丙乙上方形必与丙丁股乙丁勾上两方形并等甲丙上方形必与丙丁股甲丁勾上两方形并等【六巻一则】从此推之则甲丙上方形大于丙乙上方形之容必与丙丁甲丁上两方形大于丙丁乙丁上两方形之容等试减去同用之丙丁上方形则甲丙上方形大于乙丙上方形之夘子寅直形与甲丁上方形大于乙丁上方形之申酉亥直形必相等矣法以乙丙甲丙上两方形相减余即夘子寅直形之容亦即申酉亥直形之容也夫申酉亥直形以甲乙底为长【以甲丁乙丁两线并为长即以甲乙全线为长】以甲丁乙丁之较线甲己为濶者也故以甲乙底除之得甲己甲己既为甲丁乙丁之较线于甲乙线减去甲己则己丁乙丁两线等矣故折半得乙丁余仍勾求股法【六巻二则】同前则 　　三十二则 　　方周求积 　　设方田周二百步求积法曰置周自乘【得四万步】以方法十六除之得二千五百步即所求 　　解曰假如一步以 　　四面计之则周四 　　步四步自乘得一 　　十六步是周自乘 　　之十六步止得实积一步故以十六为方法也然此法止可施于方田至于直田则不可用如下图直田长六十步濶四十步周亦得二百步实积止得二千四百步如以前法求之则多积百步矣 　　三十三则 　　方环以周求积 　　设方环田外周二百八十步内周一百二十步求积法曰二周各自乘【外周得七万八千四百步内周得一万四千四百步】两数相 　　减【余六万四千步】以方法十六除之得四千 　　步即所求 　　解曰此方内减方法也○如知环濶 　　则用梯田法置两周相并折半以濶 　　乘之即得环积 　　三十四则 　　方环以积及濶求边 　　设方环田积四千步濶二十步求内外边法曰置濶自乘【得四百步】以四因之【得一千六百步】以减环积【余二千四百步】余积 　　以四归之【得六百步】以濶除之得三十步 　　即内边倍濶【得四十步】加之得七十步即 　　外边 　　解曰法以环濶自乘者求环之隅方 　　也【即甲等】以四因之者环之隅有四也【即甲乙丙丁四方形】以减环积所余必四直形也【即戊己庚辛四直形】四归之者取四直形之一也以濶除之即得内边者其直形以环之濶为濶以内边之度为长也加两濶即得外边者外边大于内边之较为两濶也○或四因环濶除积得五十步【即直方两形并之共长】加濶得外边减濶得内边 　　三十五则 　　直形依长截濶 　　设直田长八十五步依元长截积二千七百二十步 　　求截濶法曰置积为实以元长除之 　　得三十二步即所求 　　解曰即以长求濶法【本巻十四则】 　　三十六则 　　直形依濶截长 　　设直田濶六十四步依元濶截积二千七百二十步求截长法曰置积为实以元濶除之得四十二步五分即所求 　　解曰即以濶求长法【本巻十五则】 　　三十七则 　　直形截勾股 　　设直田长八十五步依元长截积一千三百六十步成勾股形法曰置积倍之【得二千七百二十步】以元长除之得三十二步即所求 　　解曰勾股形当等高等濶直形之半 　　法倍勾股积即乙丙直形积也乙丙 　　直形既倍勾股积则必与勾股等高 　　等濶矣故求乙丙直形之濶即勾股 　　之濶也 　　三十八则 　　直形截三角 　　设直田濶六十四步依元濶截积一千三百六十步成三角形求长法曰置积倍之【得二千七百二十步】以元濶除 　　之得四十二步五分即所求 　　解曰三角形亦当等高等濶直形之 　　半法倍三角积即甲乙直形积也甲 　　乙直形既倍三角积则必与三角形 　　等高等濶矣故求甲乙直形之长即三角形之长也三十九则 　　直形截斜方 　　设直田长八十五步依元长截积二千七百二十步成斜方形两濶相差五步求两濶法曰置积为实以 　　元长除之【得三十二步】另置相差五步折 　　半【得二步五分】并三十二步得三十四步 　　五分即大边减三十二步得二十九 　　步五分即小边 　　解曰以元长除积者求甲乙直形之濶也甲乙直形之濶为斜方两濶之中度【谓小于大边二步五分大于小边亦二步五分】故置差折半增减之即得两濶 　　四十则 　　直形截梯形 　　设直田濶六十步依元濶截积三千七百八十步成梯形两濶相差一十二步求长法曰置积为实倍元濶【得一百二十步】减相差一十二步【余一百零八步】折半【得五十四步】为 　　法除之得七十步即所求 　　解曰倍濶减差折半者求甲乙直形 　　之濶也甲乙直形濶为梯形两边之 　　中度【谓小于大边六步大于小边亦六步】则直形之容