御制数理精蕴 - 第 80 页/共 595 页

一万八千步【余八千一百步】又以左 　　次商与隅法对呼除实八千 　　一百步恰尽于左得一百九十步即所求方边之数解曰初商与方法对呼所除者己辛方形也【即大方积】次商与亷法对呼所除者甲壬壬丁两直形也【即两亷】必倍方法为亷法者以亷有二也次商与隅法对呼所除者庚戊方形也【即隅方】四形恰尽实积则初次两商 　　之数为方田边无疑矣 　　又设方田积七万一千八百 　　二十四步求方边法曰置积 　　于中为实初商二百步于左 　　亦置二百步于右为方法左 　　右对呼除实四万步【余三万一千八 　　百二十四步】倍方法【得四百步】为亷法 　　次商六十步于左初商之次亦置六十步于亷法之次为隅法先以次商与亷法对呼除实二万四千步再以次商与隅法对呼除实三千六百步【余实四千二百二十四步】又倍次商【得一百二十步】并右亷法【共五百二十步】复为亷法三商八步于左初商次商之次【共二百六十八步】亦置八步于右亷法之次复为隅法先以三商与亷法对呼除实四千一百六十步再以三商与隅法对呼除实六十四步恰尽于左初次三三商共得二百六十八步即所求方边之数 　　解曰此与前条无异但前二位此三位耳初商次商不能尽故三商之如三商又不尽则四商五商仿此十一则 　　方边求斜 　　设方田方五十步求法曰置方数自乘【得二千五百步】倍 　　之【得五千步】平方开之【本巻十则】得七十步零 　　七分有竒即所求 　　解曰甲乙丙丁方形作甲丁丙乙 　　线次作己庚辛壬方形令方边与甲 　　丁方形之线等则庚壬方形必倍大于甲丁方形何也甲丁形内丁戊丙丙戊甲甲戊乙乙戊丁三角形四是四三角形当一甲丁方形也形外丁丙己乙丁壬甲乙辛丙甲庚三角形亦四各与甲丁形内四三角形等是形外四三角形又当一甲丁方形矣因知斜自乘之方形【即庚壬方形】倍大于方边自乘之方形【即甲丁方形】法置方边自乘即甲丁方积也倍之即庚壬方积也平方开之得庚壬方形之边即得甲丁方形之也 　　十二则 　　斜求方边 　　设方田长七十步零七分有竒求方边法曰置自乘【得五千步】折半【得二千五百步】平方开之得五十步即所求解曰置自乘求庚壬方积也【图同上则】折半即甲丁方积也故平方开之得甲乙 　　十三则 　　直积求长与濶【即带纵开平方】 　　设直田积九百七十二步长濶差九步求长与濶法 　　曰置积四因之【得三千八百八十八步】又长濶 　　差自乘【得八十一步】两数并【共三千九百六十九步】平方开之得六十三步加长濶差【共七 　　十二步】折半得三十六步即长以长濶 　　差减长余二十七步即濶 　　解曰一线任两分之两分线矩内形四及两分线之较线上方形一并与元线上方形等如图甲乙线两分于丙丙子庚癸己壬辛丑四线各与乙丙等庚子己癸辛壬丙丑四线各与甲丙等则丙庚庚己己辛辛丙四形必两分线矩内形也辛丑既等于丙乙壬辛又等于甲丙则丑壬必两分线之较线壬癸癸子子丑又各等于丑壬则癸丑形必较线上方形矣甲乙元线上方形不与五形并等乎直田积即两分线矩内形也四因之者矩内形四也长濶差自乘即较线上方形也五形并等于元线上方形故平方开之得甲乙元线即长濶相和之度也【开方所得之六十三步】长濶和增一长濶差即两长两长折半非一长而何以长濶差减长非濶而何 　　十四则 　　直形以长求濶 　　设直田积九百七十二步长三十六 　　步求濶法曰置积为实以长除之得 　　二十七步即所求 　　解曰濶为长之倍数故以长除积得 　　濶【本巻二则】 　　十五则 　　直形以濶求长 　　设直田积九百七十二步濶二十七步求长法曰置积为实以濶除之得三十六步即所求 　　解曰长亦为濶之倍数故以濶除实得长【本巻二则】十六则 　　直形长濶求 　　设直田濶二十七步长三十六步求 　　法曰长濶各自乘【长得一千二百九十六步濶得 　　七百二十九步】两数并【共二千零二十五步】平方开之 　　得四十五步即所求 　　解曰此即勾股求【六巻一则】 　　十七则 　　直形濶求长 　　设直田濶二十七步四十五步求长法曰濶各自乘【得二千零二十五步濶得七百二十九步】两数相减【余一千二百九十六】平方开之得三十六步即所求 　　解曰此即勾求股【六巻二则】 　　十八则 　　直形长求濶 　　设直田长三十六步四十五步求濶法曰长各自乘【得二千零二十五步长得一千二百九十六步】两数相减【余七百二十九步】平方开之得二十七步即所求 　　解曰此即股求勾【六巻三则】 　　十九则 　　直形长及濶差求濶 　　设直田长三十六步濶差一十八步求濶法曰长与濶差各自乘【长得一千二百九十六步濶差得三百二十四步】两数相减【余九百七十二步】折半【得四百八十六步】以濶差为法除之得二十七步即所求 　　解曰此即股与勾较求勾【六巻十四则】 　　二十则 　　直形濶及长差求长 　　设直田濶二十七步长差九步求长法曰置濶自乘【得七百二十九步】以长差为法除之【得八十一步】减长差【余七十二步】折半得三十六步即所求 　　解曰此即勾与股较求股【六巻十五则】 　　二十一则 　　直形及长濶和求长濶差 　　设直田长濶和六十三步四十五步求长濶差法曰置自乘【得二千零二十五步】倍之【得四千零五十步】另置长濶和自乘【得三千九百六十九步】两数相减【余八十一步】平方开之得九步即长濶差以减长濶和【余五十四步】折半得二十七步即濶加长濶差得三十六步即长 　　解曰此即与勾股和求勾股较【六巻七则】 　　二十二则 　　直形长及濶和求濶 　　设直田濶和七十二步长三十六步求濶法曰置长自乘【得一千二百九十六步】以濶和为法除之得一十八步即濶差以减濶和【余五十四步】折半得二十七步即所求 　　解曰此即股与勾和求勾较【六巻十八则】 　　二十三则 　　直形濶及长和求长 　　设直田长和八十一步濶二十七步求长法曰置濶自乘【得七百二十九步】以长和为法除之得九步即长差以减长和【余七十二步】折半得三十六步即所求解曰此即勾与股和求股较【六巻十九则】 　　二十四则 　　直形及长濶差求长与濶 　　设直田长濶差九步四十五步求长与濶法曰置自乘【得二千零二十五步】倍之【得四千零五十步】另置长濶差自乘【得八十一步】两数相减【余三千九百六十九步】平方开之得六十三步即长濶和加长濶差【共七十二步】折半得三十六步即长减长濶差余二十七步即濶 　　解曰此即与勾股较求勾股和【六巻十则】 　　二十五则 　　直形长和及濶和求长与濶 　　设直田长和八十一步濶和七十二步求长与濶法曰置长和以濶和乘之【得五千八百三十二步】倍之【得一万一千六百六十四步】平方开之得一百零八步与长和相减余二十七步即濶与濶和相减余三十六步即长 　　解曰此即勾和股和求勾与股【六巻十三则】 　　二十六则 　　直形长差及濶差求长与濶 　　设直田长差九步濶差一十八步求长与濶法曰置长差以濶差乘之【得一百六十二步】倍之【得三百二十四步】平方开之得一十八步加濶差得三十六步即长加长差得二十七步即濶 　　解曰此勾较股较求勾与股【六巻二十则】 　　二十七则 　　直形积及长濶和求长濶差 　　设直田长濶和六十三步积九百七十二步求长濶差法曰置长濶和自乘【得三千九百六十九步】另置积四因之【得三千八百八十八步】两数相减【余八十一步】平方开之得九步即所求 　　解曰长濶和自乘之方积当直田积四长濶差自乘之方积一故以长濶和自乘减去四直田积余以平方开之得长濶差也【本巻十三则】 　　二十八则 　　直形积及长濶和求 　　设直田积九百七十二步长濶和六十三步求法曰置长濶和自乘【得三千九百六十九步】另置积倍之【得一千九百四十四步】两数相减【余二千零二十五步】平方开之得四十五步即所求 　　解曰甲戊形长濶和自乘之方也庚 　　辛形自乘之方也甲戊形内勾股 　　八及长濶差自乘之方一庚辛形内 　　勾股四及长濶差自乘之方一每二 　　勾股当一直形【如一丙乙丑辛直形内有乙丙辛丑辛丙】 　　【两勾股形】是长濶和上方形大于上方形之较为二直田积也故法以长濶和自乘减去二直田积平方开之即得度也 　　二十九则