御制数理精蕴 - 第 150 页/共 595 页
似而体势等矣凡设多角形俱仿此
又法如设甲乙丙丁戊己形求于庚
线上作相似而体势等形先引甲乙
至辛甲丑亦然次从甲向角各作直线为甲壬甲癸甲子次于甲乙线上截取甲辛与庚线等不论其在乙内外末作辛壬与乙丙平行作壬癸与丙丁平行作癸子与丁戊平行作子丑与戊己平行即所求
十九相似三角形之比例为其相似边再加之比例如甲乙丙丁戊己两角形等角乙与戊丙与己相当之角各等而甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己则两形之比例为乙丙与戊己两边再加
之比例也
又凡三直线为连比例即第一线上角形与第二线上角形之比例若第一线与第三线之比例也
二十以三角形分相似之多边直线形则分数必等而相当之各三角形各相似其各相当两三角形之比例若两元形之比例为两相似边再加之比例如此甲乙丙丁戊彼己庚辛壬癸两多边直线形其乙甲戊庚己癸两角等余相当之各
角俱等而各等角旁各两边之比例各等则各以角形分之其分数必等如题所云
又甲线倍大于乙线则甲上方形与乙上方形为四倍大之比例
又凢三直线为连比例其线上多边形一与二之比例若一与三
二十一两直线形各与他直线形相似则自相似二十二四直线为断比例则两比例线上各任作自相似之直线形亦为断比例两比例线上各任作自相似之直线形为断比例则四直线为断比例
二十三等角两平行方形之比例以两形之各两边两比例相结如甲丙丙己两平行方形之乙丙丁戊丙庚两角等则两比例之前率在此形两比
例之后率在彼形如甲丙与丙己之比例以乙丙与丙庚偕丁丙与丙戊相结也或以乙丙与丙戊偕丁丙与丙庚相结此乃不同理之比例也
二十四平行线方形之两角线方形自相似亦与全形相似如甲乙丙丁平行方形作甲丙对角线任作戊己庚辛两线与丁丙乙丙平行而与对角
线交相遇于壬则戊庚己辛两角线方形自相似亦与全形相似
二十五两直线形求作他直线形与一形相似与一形相等如甲乙两形先于甲形任取一边如丙丁上作平行方形与甲等为丙戊次于丁戊边上作平行方形与乙等而丙丁庚己戊辛
俱为直线也次作壬癸线为丙丁丁庚之中率次于壬癸上作子形与甲相似而与乙等
通曰似者形似也等者容等也体势等者非容等也二十六平行方形之内减一平行方形其减形与元形相似而体势等又一角同则减形必依元形之对角线如乙丁形内减戊庚形元形减形相似而体势等又戊甲庚同角则戊庚形必依乙丁形之对
角线
二十七凡依直线之有阙平行方形不满线者其阙形与半线上之阙形相似而体势等则半线上似阙形之有阙依形必大于此有阙依形如甲乙线平分于丙于半线丙乙上任作丙丁戊乙平行方形
对角线乙丁次作甲乙戊辛满元线平行方形即甲丁为甲丙半线上之有阙依形丙戊为丙乙半线上之阙形此两形相似相等体势又等则甲乙线上凡作有阙依形不满线者其阙形与丙戊相似而体势等即甲丙半线上之甲丁有阙依形必大于此有阙依形
二十八一直线求作依线之有阙平行方形与所设直线形等而其阙形与所设平行方形相似其所设直线形不大于半线上所作平行方形与所设平行方形相似者如甲乙线平分于戊于戊乙半线上作戊己庚乙平行方形与丁相似而体势
等次作甲辛庚乙满元线平行方形若甲己平行方形与丙等者即得所求甲己依线之有阙平行方形也戊庚阙形也
二十九一直线求作依线之带余平行方形与所设直线形等而其余形与所设平行方形相似如甲乙线平分于戊于戊乙半线上作戊己庚乙平行方形与丁相似别作平行方形与丙及戊庚并相等为辛形又别作平行方形与辛
等又与丁相似为壬癸子丑形乃引己戊至卯与壬丑等引己庚至寅与壬癸等作夘寅平行方形与申等又引甲乙至酉引庚乙至午引午卯至未又作甲未与己卯平行得甲辰带余平行方形依甲乙线与丙等而酉午为其余形与戊庚形相似即与丁相似也
三十有直线求作理分中末线如甲乙线上作甲丙直角方形次依丁甲边作丁己带余平行方形与甲丙形等而甲己为其余形又与甲丙形相似
则戊己线分甲乙于辛为理分中末线也谓甲乙与甲辛若甲辛与辛乙也
三十一三边直角形之对直角边上一形与直角旁边上两形若相似而体势等则一形与两形并等如甲乙丙三边直角形乙甲丙为直角于乙丙
上任作直线形为丁于甲乙甲丙上亦作己戊两形与丁相似而体势等则丁形与戊乙两形并必等
通曰此勾股半幂相并与半幂等也
三十二两三角形此形之两边与彼形之两边相似而平置两形成一外角若各相似之各两边各平行则其余各一边相聨为一直线如甲乙丙丁丙戊两角形甲乙甲丙边与丁丙丁戊边相似则甲乙与甲丙之比例若丁丙与丁戊也试平置两形令相切
成甲丙丁外角而甲乙与丁丙甲丙与丁戊各平行则乙丙丙戊必一直线
三十三等圜之乗圜分角或在心或在界其各相当两乗圜角之比例皆若所乗两圜分之比例而两分圜形之比例亦若所乗两圜分之比例如两圜等其心为丁为辛各任割一圜分为乙丙为己庚其乗圜角之在心者为乙丁丙己辛庚在界者为
乙甲丙己戊庚则乙丙与己庚两圜分之比例若乙丁丙与己辛庚两角又乙甲丙与己戊庚两角之比例若乙丙与己庚又乙丁丁丙两腰偕乙丙圜分内乙丁丙分圜形与己辛辛庚两腰偕己庚圜分内己辛庚分圜形之比例亦若乙丙与己庚
又凡在圜心两角之比例皆若两分圜形
又在圜心角与四直角之比例若圜心角所乗圜分与全圜界
増题
一圜与圜为其径与径再加之比例如甲乙丙丁戊己两圜其径甲丙丁己则甲乙丙与丁戊己为甲丙与丁己再加之比例
又全圜与全圜半圜与半圜相当分与相当分任相与为比例皆等盖诸比例皆两径再加之比例故也又三边直角形对直角边为径所作圜与余两边为径所作两圜并等半圜与两半圜并等圜分与相似两圜分并等
又三线为连比例以为径所作三圜亦为连比例推此可求各圜之相与为比例者又可以圜求各圜之相与为比例者
二直线形求减所命分其所减所存各作形与所设形相似而体势等如甲形求减三分之一先作丙丁形与甲等与乙相似次任于一边如丙戊上作丙己戊半圜次分丙戊为三分而取其庚戊
一分从庚作己庚为丙戊之垂线次作己丙己戊两线次于己丙己戊上作己辛己壬两形各与乙相似又若于大圜求减所设小圜以圜径当形边法如右又依此可作直角方形与初月形等如甲乙丙丁圜其界上有附圜四分之一为乙壬丙戊初
月形先从乙丙作甲乙丙丁内切圜直角方形次用方形法四平分之即其一为所求方形
三两直线形求别作一直线形为连比例如甲子两形先作戊己庚直线形与甲等与子相似以相似两形之各一边如戊己乙丙为前率中率
线而求其连比例之末率线为辛壬于辛壬上作辛壬癸形与子丑两形相似如求
四三直线形求别作一直线形为断比例如甲丁辛三形先作戊形与甲等与丁相似次以三形之任各一边如壬癸乙丙己庚求其断比
例之末率线为寅卯于寅卯上作寅卯辰形与辛相似如求
五两直线形求别作一形为连比例之中率如甲丁两形先作戊己庚直线形与甲等与丁相似次求戊己乙丙两线之中率为辛壬于辛壬上
作辛壬癸形与戊己乙丙上两形相似即为戊己乙丙两形之中率又法如后图甲乙两形先作丁丙戊己平行线形与甲等次作庚己辛壬平行线形与乙等与丁戊相似以所作两形己角相聨令
丁己壬戊己庚俱成直线再引各边成丙子辛癸平行线形即两余方形俱为丁戊庚壬两形之中率
六一直线形求分作两直线形俱与所设形相似而体势等其比例若所设两几何之比例此与二题之法相同但多乙丙两线之比例耳如先取戊己边两分之于庚令戊庚与庚己之比
例若乙与丙也余用前法
七一直线形求分作两直线形俱与所设形相似而体势等其两分形两相似边之比例若所设两几何之比
例如甲形求分两形俱与丁相似其
两分形两相似之边又与乙与丙之
比例相若先以乙丙两线求其连比例之末率为戊次作己庚辛形与甲等与丁相似次分己辛于壬令己壬与壬辛若乙与戊余同二题之法
八两直线形求并一直线形与所设形相似而体势等如甲乙两形先作戊丁己形与甲等作己庚辛形与乙等又各与所设丙相似次令两形
相似之戊己己辛两边聨为直角次作戊辛线聨之于戊辛上作戊辛壬形与丙相似即与上两形并等也又法作一平行方形与甲乙两形并等又作戊辛壬角形与平行方形等又与丙相似即所求
九圜内两合线交而相分其所分之线彼此互相视如圜内有甲丙乙丁两合线交而相分于戊则所分之甲戊戊丙乙戊戊丁为互相视之线谓甲
戊与戊丁若乙戊与戊丙也又甲戊与乙戊若戊丁与戊丙也
通曰两等线交亦等两不等线交亦不等
十圜外任取一防从防出两直线皆割圜至规内其两全线与两规外线彼此互相视若从防作一切圜线则必为各割圜全线与其规外线之各中率如任取戊防作戊丁戊丙两割圜线则戊丙与戊丁若戊甲与戊乙又戊丙与戊甲若戊丁与戊乙也或有
戊己切圜线则戊丙偕戊乙矩内直角形与戊己上直角方形等即戊丁偕戊甲亦然
十一两直线相遇作角从两腰之各一界互下垂线而每方为两线一自界至相遇处一自界至垂线则各相对之两线皆彼此互相视如甲乙丙乙两线相遇于乙作甲乙丙角从甲作丙乙之垂线从丙作甲乙之垂线若甲乙丙为钝角如甲丁丙戊两垂线至甲乙丙乙之各引出线上而甲戊丙丁交而
相分于乙也若甲乙丙为锐角如甲丁丙戊两垂线在甲乙丙乙之内交而相分于己也则两图之甲乙乙戊丙乙乙丁皆互相视者谓甲乙与乙丙若丁乙与乙戊又甲乙与丁乙若乙丙与乙戊也
十二平行线形内两直线与两边平行相交而分元形为四平行线形此四形任相与为比例皆等如甲丙平行线形内戊己庚辛两线与甲丁丁丙各平行而交于壬则所分之戊庚庚己乙壬壬丙四形
任相与为比例皆等
十三凡四边形之对角两线交而相分其所分四三角形任相与为比例皆等如甲乙丙丁四边形之甲丙乙丁两对角线交相分于戊则所分甲戊丁乙戊丙甲戊乙丁戊丙四三角形任相与为比例皆
等
十四三角形任于一边任取一防从防求作一线分本形为两形其两形之比例若所设两几何之比例如甲乙丙角形任于一边如乙丙上任取一防求丁上作线分本形为两形其两形之比例若所设戊与己也先两分乙丙于庚令乙庚与庚丙之
比例若戊与己其庚与丁若同防即作丁甲线则乙丁甲与丁丙甲两角形之比例若戊与己也假若庚防在丁丙之内亦作丁甲线从庚作庚辛线与丁甲平行次作丁辛相聨即丁辛线分本形为两形其比例若戊与己也又若庚防在乙丁之内亦作丁甲线从庚作庚辛线与丁甲平行次作丁辛相聫即丁辛线分本形为两形其比例若戊与己也
又凡角形任于一边任取一防从防求减命分之一如前法作多倍大之比例即得其所作倍数每少于命分之一如求减四分之一即作三倍大之比例减五分之一即作四倍大之比例也则全形与所减分之比例其倍数若命分之数也
十五一直线形求别作一直线形相似而体势等其小大之比例如所设两几何之比例如甲形先以所设乙丙及任用甲之一边如丁戊三线求其断比例之末率为己次求丁戊及己之中率线为
庚辛乃于庚辛上作壬形与甲相似甲与壬之比例若乙与丙
用此法可依此直线形加作两倍大三四五倍以至无穷之他形亦可减作二分之一三四五分之一以至无穷之他形其此形与他形皆相似而体势等也如甲乙丙丁直角方形求别作五倍大之他形先以甲乙线引长之以甲乙为度截取五分至戊令乙至戊五倍大于甲乙也次以甲戊两平
分于己次以己为心甲戊为界作甲庚戊半圜其乙丙线引之至圜界于庚即乙庚为所求方形之一边也再作庚辛壬乙直角方形即五倍大于甲丙
又凡甲乙上不论何等与乙庚上形相似而体势等者其乙庚上形皆五倍大于甲乙上形相加相减俱仿此以至无穷
十六诸三角形求作内切直角方形如甲乙丙锐角形
先从甲角作甲丁为乙丙之垂线次
以甲丁线两分于戊令甲戊与戊丁
之比例若甲丁与乙丙末从戊作己
庚线与乙丙平行从己从庚作己辛庚壬两线皆与戊丁平行即得己壬形如所求若直角钝角则从直角甲钝角甲作垂线余法同前
又若直角三边形求依乙角作内切直角方形则以垂线甲乙两分于丁令甲丁与丁乙之比
例若甲乙与乙丙次从丁作丁戊线与乙丙平行从戊作戊己线与甲乙平行即得丁己形如求
通曰西学莫精于象数象数莫精于几何余初读三过不解忽秉烛玩之竟夜而悟明日质诸穆师极许可凡制器尚象开物成务以前民用以利出入尽乎此矣故约而记之于此
数度衍附录
<子部,天文算法类,算书之属,句股引蒙>
钦定四库全书 子部六
勾股引 天文算法类二【算书之属】提要
【臣】等谨案勾股引五卷