御制数理精蕴 - 第 148 页/共 595 页

分角才离锐角便为直角即大于半圜分角是所经无数线终无有相等线也又直线锐角皆小于半圜分角直角钝角皆大于半圜分角是大小终无等也 　　十七设一防一圜求从防作切线如甲防与乙丙圜其圜心丁先从甲作甲丁直线截圜于乙次以丁为心甲为界作甲戊圜乃作甲丁之垂线为乙戊遇甲戊圜于戊又作戊丁直线截乙丙圜于丙再作甲丙直线即切乙丙圜于丙也 　　十八直线切圜从圜心作直线至切界必为切线之垂线 　　十九直线切圜圜内作切线之垂线则圜心必在垂线之内 　　二十负圜角与分圜角所负所分之圜分同则分圜角必倍大于负圜角如甲乙丙圜其心丁有乙丁丙分圜角乙甲丙负圜角同以乙丙圜分为底 　　则乙丁丙角倍大于乙甲丙角 　　又乙丁丁丙不作角于心或如上图为半圜或如下图为小半圜则丁心外余 　　地为乙丁戊戊丁丙两角倍大于同乙丁丙之底负圜角为乙甲丙角也 　　二十一凡同圜分内所作负圜角俱等如丁甲乙丙圜 　　分内不论此为大分小分函心不函 　　心但分内任作丁甲丙丁乙丙两角 　　必等 　　二十二圜内切界四边形每相对两角并与两直角等如圜心为戊圜内有甲乙丙丁四边形则甲乙丙丙丁甲两角并或乙丙丁丁 　　甲乙两角并与两直角必等 　　二十三一直线上作两圜分不得相似而不相等二十四相等两直线上作相似两圜分必等如甲乙丁戊两等直线上作甲丙乙丁己戊两相似 　　圜分必等 　　二十五有圜之分求成圜如甲乙丙圜分先作甲丙线 　　次作乙丁为甲丙之垂线丁即分甲 　　丙为两平分次作甲乙线须视丁乙 　　甲角或大于丁甲乙角或小或等若大则甲乙丙当为圜小分也即作乙甲戊角与丁乙甲角等次引乙丁至戊戊即圜心若丁乙甲角小于丁甲乙角则甲乙丙当为圜大分也即作乙甲戊角与丁乙甲角等戊即圜心若乙甲两角正等则甲乙丙当为半圜分丁即圜心矣又法于甲乙丙圜分任取三防于甲于乙于丙以两直线聫之各两平分于丁于戊从丁从戊作甲乙乙丙之各垂线为己丁为己戊而相遇于己即己为圜心又法任取四防为甲为乙为丙为丁每两防各自为心相向各任作圜分四圜分两相交于戊于己于庚于辛从戊己从庚辛各作 　　直线引长之交于壬即壬为圜心 　　二十六等圜之乗圜分角或在心或在界等其所乗之圜分亦等如在心者为甲庚丙丁辛己两角等在界者为甲乙丙丁戊己两角 　　等其甲丙丁己两圜分必等 　　二十七等圜之角所乗圜分等则其角或在心在界俱等此反前题也如甲丁乙丙两直线在一圜内而不相交其相去之甲乙丁丙两圜分等则两 　　线必平行 　　二十八等圜内之直线等则其割本圜之分大与大小与小各等 　　二十九等圜之圜分等则其割圜分之直线亦等三十有圜之分求两平分之如甲乙丙圜分先作甲丙线次两平分于丁作乙丁线为甲丙之垂线即分甲乙丙圜为两平分 　　三十一负半圜角必直角负大分角小于直角负小分角大于直角大圜分角大于直角小圜分角小于直角如甲乙戊丙圜其心丁径甲丙于半圜分内任作甲乙丙角负半圜分乙甲丙角负乙甲丙大 　　分又任作乙戊丙角负乙戊丙小分则负半圜之甲乙丙为直角负大分之乙甲丙为锐角负小分之乙戊丙为钝角丙乙甲大圜分角大于直角丙乙戊小圜分角小于直角 　　又凡角形之内一角与两角并等其一角必直角何者其外角与内相对之两角等则与外角等之内交角岂非直角 　　三十二直线切圜从切界任作直线割圜为两分分内各任为负圜角其切线与割线所作两角与两负圜角交互相等如甲乙线切圜于丙从丙任作丙戊直线不论过己心与不过己心 　　割圜两分两分内任作丙丁戊丙庚戊两负圜角则甲丙戊角与丙庚戊角等乙丙戊角与丙丁戊角等通曰割线正则左与左等右与右等割线偏则左与右等右与左等盖切线在外割线在内故也 　　三十三一线上求作圜分而负圜分角与所设直线角等如甲乙线丙直角先以甲乙两平分于丁以丁为心甲乙为界作半圜圜分内作甲戊乙角 　　即负半圜角为直角而与丙等若丙系锐角先于甲防上作丁甲乙锐角与丙等次作戊甲为甲丁之垂线次作己乙甲角与己甲乙角等乙己线遇甲戊线于己即己乙己甲两线等以己 　　为心甲为界作圜则甲庚乙圜分内所作负圜角必为锐角而与丙等若丙系钝角如辛者即作壬甲乙钝角与辛等又作戊甲为壬甲之垂线余仿锐角法而于甲乙线上作甲癸乙角即与辛等 　　三十四设圜求割一分而负圜分角与所设直线角等如甲乙丙圜丁角先作戊己线切圜于甲次作己甲乙角与丁等即割圜之甲乙线上所 　　作甲丙乙角负甲丙乙圜分而与丁等 　　三十五圜内两直线交而相分各两分线矩内直角形等如甲乙丙丁两线圜内交于戊若两线俱过心者其各分四线等则甲戊偕戊乙与丙戊偕戊丁两矩内直角形等或丙丁线过心 　　而甲乙线不过心者或 　　两线俱不过心者其甲 　　戊偕戊乙与丙戊偕戊丁两矩内直角形亦等 　　三十六圜外任取一防从防出两直线一切圜一割圜其割圜全线偕规外线矩内直角形与切圜线上直角方形等如甲乙丙圜外任取丁防从丁作丁乙切圜线而切于乙作丁甲割 　　线毋论过心不过心而截圜界于丙则甲丁偕丙丁矩内直角形与丁乙上直角方形等 　　又从圜外甲防作数线至规内各全线偕各规外线如甲戊偕甲丁甲己偕甲丙两矩内直角形必等 　　又从圜外甲防作两直线切圜如甲乙甲丙 　　必等亦止可作两线切圜无三线也 　　三十七圜外任于一防出两直线一至规外一割圜其割圜全线偕割圜之规外线矩内直角形与至规外之线上直角方形等则至规外者必切圜线此反前题也 　　论圜内外形 　　一有圜求作合圜线与所设线等此设线不大于圜之径线如甲乙丙圜与丁线其丁线不大于径线若大则不可合矣先作圜径为乙丙若乙丙与丁等者即是合线若丁小于径者即乙丙上截取乙戊与丁等次以乙为心戊为界作甲戊圜交甲乙 　　丙圜于甲末作甲乙合线即与丁等 　　通曰甲乙与乙戊等凡两圜相交毋论深浅其一圜之半径必与合圜线等 　　二有圜求作圜内三角切形与所设三角形等角如甲乙丙圜与设角形先作庚辛线切圜于甲次作庚甲乙角与己角等次作辛甲丙角 　　与戊角等末作乙丙线即圜内三角切形与所设形之三角各等甲等丁乙等戊丙等己也 　　通曰凡三角形并三角为一处必成直线盖圜外切线自切界出两线入规内分切处为 　　三角并此三角必与设形三角相并等也 　　三有圜求作圜外三角切形与所设三角形等角如图先于戊己一边引长之为庚辛次于圜界抵心作甲壬线次作甲壬乙角与丁戊庚 　　角等次作乙壬丙角与丁己辛角等次于甲乙丙上作癸子子丑丑癸三垂线切圜而令角上相遇则癸子丑三角与设形之丁戊己三角各等 　　四三角形求作形内切圜如图先以甲乙丙角甲丙乙角各两平分作乙丁丙丁两直线遇于丁自丁至角形之三边各作垂线为丁己丁庚丁 　　戊以丁为心戊庚己为界作圜切甲乙丙角形之三边五三角形求作形外切圜如图先平分两边分甲丙于 　　戊甲乙于丁各作垂线为丁己 　　戊己而遇于己其己防或在形 　　内或在形外或在乙丙边上再作己甲己丙己乙三线等以己为心甲为界作圜切三角 　　六有圜求作内切圜直角方形如图作甲丙乙丁两径线直角相交于戊次作甲乙乙丙丙丁丁甲四线即成甲乙丙丁内切圜直角方形 　　七有圜求作外切圜直角方形如图作甲丙乙丁两径线直角交于戊次于甲乙丙丁作庚己己辛辛壬壬庚四线为两径之垂线而相遇于己 　　辛壬庚即成己庚壬辛外切圜直角方形 　　八直角方形求作形内切圜如图以四边各两平分之于戊于己于庚于辛作辛己戊庚两线交于壬以壬为心戊为界作圜如所求 　　九直角方形求作形外切圜如图作甲丙丁乙对角两线而交于戊以戊为心甲为界作圜如所求通曰方外圆内同径圆外方内方斜为圆径也 　　十求作两边等三角形而底上两角各倍大于腰间角如图先任作甲乙线次分之于丙其分法须甲乙偕丙乙矩内直角形与甲丙上直角方形等 　　次以甲为心乙为界作乙丁圜次作乙丁合圜线与甲丙等末作甲丁线相聨其甲乙甲丁等成两边等三角形底上乙丁两角各倍大于甲角 　　十一有圜求作圜内五边切形其形等边等角如图先作己庚辛两边等角形而庚辛两角各倍大于己角次于圜内作甲丙丁角形与己庚辛角形各等角次以甲丙丁甲丁丙两角各两平分为 　　丙戊丁乙两线末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊甲五线相聫即得 　　十二有圜求作圜外五边切形其形等边等角如图先用右法作圜内五边等边等角切形乃从己心作己甲己乙己丙己丁己戊五线再从此五线 　　作庚辛辛壬壬癸癸子子庚五垂线各界相遇即得十三五边等边等角形求作形内切圜如图先分乙甲戊甲乙丙两角各两平分为己甲己乙两线遇于己又自己作己庚为甲乙之垂线而平分甲 　　乙于庚再以己为心庚为界作圜如求 　　十四五边等边等角形求作形外切圜如图分乙甲戊甲乙丙两角各两平分为己甲己乙两线遇于己以己为心甲为界如求 　　十五有圜求作圜内六边切形其形等边等角如图先作甲丁径线庚为心次以丁为心庚为界作圜两圜相交于丙于戊次从庚心作丙 　　庚戊庚各引长之为丙己戊乙末作甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己甲六线相聫即得 　　又凡圜之半径为六分圜之一之分庚丁与丙丁等也 　　十六有圜求作圜内十五边切形其形等边等角如图先作甲乙丙内切圜平边三角形与丁等角三边等也次作甲戊己庚辛内切圜五边形等角甲乙圜分之圜界为十五分之 　　五分甲戊圜分之圜界为十五分之三分戊乙为十五分之二分乙己为十五分之一分也依度作十五合圜线如求盖甲乙圜分为三分圜之一即命三甲戊圜分为五分圜之一即命五三五相乗得十五即知两分法可作十五边形也又如甲乙命三甲戊命五三五相较得二即知戊乙得十五分之二也以此法为例 　　又从甲防作数形之各一边如甲乙为六边形之一边甲丙为五边形之一边甲丁为四边形之一边甲戊为三边形之一边甲乙命 　　六甲丙命五较数一乗数三十即知乙丙圜分为所作三十边等边等角形之一边也又如后图甲乙丙与丁戊两圜同己心求于甲乙丙大圜丙作多边切形不至丁戊小圜其多边为偶数而等先从己心作甲丙径线截丁戊圜于戊 　　从戊作庚辛切线而为甲戊之垂线乃于甲庚丙圜分减半存乙丙又减半存壬丙又减半存癸丙小于庚丙而止作癸丙合圜线此即所求切圜形之一边也 　　论比例 　　一此数几何彼数几何此之各率同几倍于彼之各率则此之并率亦几倍于彼之并率如甲乙二几何大于丙丁二几何各三倍则 　　甲乙并亦大于丙丁并三倍 　　二六几何其第一倍第二之数等于第三倍第四之数而第五倍第二之数等于第六倍第四之数则第一第五并倍第二之数等于第三第六并倍第四之数如甲乙【一】倍丙【二】之数若丁 　　戊【三】倍己【四】之数又乙庚【五】倍丙之数若戊辛【六】倍己之数则甲乙乙庚并倍丙之数若丁戊戊辛并倍己之数 　　三四几何其第一之倍于第二若第三之倍于第四次 　　倍第一又倍第三其数等则第一所 　　倍之与第二若第三所倍之与第四 　　如甲【一】所倍于乙【二】若丙【三】所倍于丁【四】次作戊己两几何同若干倍于甲于丙则以平理推之戊倍乙之数若己倍丁 　　四四几何其第一与二偕第三与四比例等第一第三同任为若干倍第二第四同任为若干倍则第一所倍与第二所倍第三所倍与第四所倍比例等如甲【一】与乙【二】偕丙【三】与丁【四】比 　　例等作戊与己同任若干倍于甲丙别作庚与辛同任若干倍于乙丁则戊与庚偕己与辛比例亦等 　　五大小两几何此全所倍于彼全若此全截取之分所倍于彼全截取之分则此全之分余所倍于彼全之分余亦如之如甲乙大几何倍于丙丁小几何若所截之甲戊倍于丙己则分余之戊 　　乙亦倍于己丁 　　六此两几何各倍于彼两几何其数等于此两几何每减一分其一分之各倍于所当彼几何其数等则其分余或各与彼几何等或尚各倍于彼几何其数亦等如甲乙丙丁两几何各倍 　　于戊己两几何其数等减甲庚丙辛若所减之倍戊己等则所余之倍等戊己亦等 　　七此两几何等则与彼几何各为比例必等而彼几何与此相等之两几何各为比例亦等如甲乙两几何等彼几何丙不论其等大小于甲乙 　　则甲与丙偕乙与丙各为比例必等即丙与甲偕丙与乙各为比例亦等