御制数理精蕴 - 第 147 页/共 595 页
二十五两三角形相当两腰各等若一形底大则腰间角亦大
二十六两三角形相当之两角等及相当之一边等则余两边必等余一角亦等其一边不论在两角之内及一角之对
二十七两直线有他直线交加其上若相对内两角等则两直线必平行如甲乙丙丁两线加戊己线交于庚辛而甲庚辛角与丁辛庚角等则甲乙丙丁两线必平行
二十八两直线有他直线交加其上若外角与同方相对之内角等或同方两内角与两直角等其两直线必平行如甲乙丙丁两线加戊己线
交于庚辛其戊庚甲外角与庚辛丙内角等或甲庚辛丙辛庚两内角与两直角等则甲乙丙丁两线必平行二十九两平行线有他直线交加其上则内相对两角必等外角与同方相对之内角亦等同方两内角亦与两直角等
三十两直线与他直线平行则元两线亦平行【此论同面不同面线后别有论】如甲乙丙丁两线与戊己平行则甲乙
与丙丁亦平行
三十一一防上求作直线与所设直线平行如甲防与乙丙线先从甲向乙丙线任指丁防作甲丁线成甲丁乙角次于甲作戊甲丁角与甲丁乙角
等再引戊甲至己则己戊线与乙丙平行又法作甲丁线以丁为心任作戊己圜界次用元度以甲为心作庚辛圜界稍长于戊己乃取戊己为度截取庚辛再作甲辛线各引长之即得用法设丙角甲乙两线求作有法四边形先作丁己庚角与丙角等次截己庚与甲等丁己与乙等再依丁己平
行作戊庚己庚平行作丁戊即得
三十二凡三角形之外角与相对之内两角并等三角形之内三角并与两直角等如甲乙丙角形引乙丙至丁则甲丙丁外角与内甲乙两角并等
又甲乙丙三角并如甲丙丁角既等于甲乙两角又加丙甲岂不与戊丙乙戊丙丁两直角等乎从此推之如后图甲当两直角乙当四直角丙当六直角
丁当八直角自此可至无穷其多
边求当几直角者以其所有之边内减二倍其余即得如丁形六边减二存四倍八故知当八直角也 凡诸种角形之三角并俱相等 凡两腰等角形若腰间直角则余两角每当直角之半腰间钝角则余两角俱小于半直角腰间锐角则余两角俱大于半直角 平边角形每角当直角三分之二 平边角形若从一角向对边作垂线分为两角形此分形各有一直角在垂线下两旁则垂线上两旁角毎当直角三分之一其余两角每当直角三分之二
三十三两平行相等线之界有两线聫之其两线亦平行亦相等如甲丙乙丁两平行相等线有甲乙丙丁两线聫之则甲乙丙丁亦平行相等线
三十四凡平行线方形毎相对两边线各等每相对两角各等对角线分本形两平分
三十五两平行方形若同在平行线内又同底则两形等如甲乙丙丁两平行线内有丙丁戊甲丙
丁乙己两平行方形同丙丁底则此二形等或戊己同防其甲戊丁丙戊乙丁丙两形亦等或己在戊外其丙丁戊甲丙丁乙己两
形亦等此言形等者非腰等角等乃所函之地等也后言形等者仿此
三十六两平行线内有两平行方形若底等则形亦等三十七两平行线内有两三角形若同底则两形必等如甲乙丙丁两平行线内有甲丙丁乙丙丁两三角形
同丙丁底则两形等
三十八两平行线内有两三角形若底等则两形必等又凡角形任于一边任作一防求从防分本形为两平分如取丁防先向甲角作直线次平分
乙丙于戊作戊己线与甲丁平行末作己丁直线即分本形为两平分
三十九两三角形其底同其形等必在两平行线内如甲乙丙形与丁丙乙形同乙丙底而两形复等则自丁
至甲作直线必与乙丙平行
四十两三角形其底等其形等必在两平行线内四十一两平行线内有一平行方形一三角形同底则方形倍大于三角形如甲乙丙丁两平行线内有甲丙戊丁方形乙丁丙三角形同丙丁底则
方形必倍大于角形
四十二有三角形求作平行方形与之等而方形角与所设角等如甲乙丙角形先两平分乙丙边于戊作丙戊己角与所设丁角等次自甲作直线与乙丙平行而遇戊己线于己末自丙作直线与戊己
平行为丙庚得己戊丙庚平行方形与甲乙丙角形等四十三凡方形对角线旁两余方形自相等如甲乙丙丁方形有甲丙对角线则两旁之乙壬庚戊与庚己丁辛两形必等
四十四一直线上求作平行方形与所设三角形等而方形角有与所设角等如甲线乙角形丙角先作丁戊己庚平行方形与乙角形等而戊己庚角与丙角等次引庚己至辛作己辛线与甲线等次作辛壬线与戊己平行又引丁戊至壬次自壬至己作对角线引出至癸又引丁
庚至癸相遇再作癸子线与庚辛平行又引壬辛至子引戊己至丑得巳丑子辛平行方形如求与乙角形等四十五有多边直线形求作一平行方形与之等而方形角有与所设角等如甲乙丙五边形丁角先分五边形为甲乙丙三其三角形次作戊己庚辛平行方形与甲等而有丁角次于戊
辛己庚两平行线引长之作庚辛壬癸平行方形与乙等又引前线作壬癸子丑平行方形与丙等并为戊己子丑平行方形与五边形等而有丁角
又甲与乙两直线形不等甲大乙小以乙减甲求较几何先任作丁丙己戊平行方
形与甲等次于丙丁线上依丁角作丁丙辛庚平行方形与乙等得辛庚戊己平行方形为相减之较矣四十六一直线上求立直角方形如丙丁线上两界各立垂线甲丙乙丁与丙丁等再作甲乙线即得
四十七凡三边直角形对直角边上所作直角方形与余两边上所作两直角方形并等如甲乙丙角形甲为直角对甲之乙丙边上作子直角
方形与甲丙甲乙两边所作丑寅两直角方形并等通曰此幂内有勾股二幂也乙丙也
又凡直角方形之对角线如甲丙则甲丙线上
所作直角方形必倍大于甲乙丙丁形
又设不等两直角方形一以甲为边一以乙为边求别作两直角方形自相等并之又与
元设两形并等先作丙戊线与甲等次作戊丙丁直角而丙丁与乙等作戊丁线相聫再于丁戊两角各作一角皆半于直角者为己戊己丁相等而遇于己则己戊己丁两线上所作两直角方形自相等而并之又与丙戊丙丁两线上所作两直角方形并等其曰半直角者己戊丁半于庚戊丁己丁戊半于辛丁戊也
又多直角方形求并作一直角方形
与之等如五直角方形以甲乙丙丁
戊为边先作己庚辛直角而己庚线
与甲等庚辛线与乙等次作己辛线即作己辛壬直角而壬辛与丙等次作壬己线即作己壬癸直角而壬癸与丁等次作己癸线即作己癸子直角而癸子与戊等末作己子线于此线上作直角方形如求
四十八凡三角形之一边上所作直角方形与余边所作两直角方形并等则对一边之角必直角
论线
一两直线任以一线任分为若干分其两元线矩内直角形与不分线偕诸分线矩内直角形并等如甲乙乙丙两线以乙丙三分之为乙庚庚戊戊丙则甲乙偕乙丙之矩线内直角形与甲乙偕乙
庚甲乙偕庚戊甲乙偕戊丙三矩线内直角形并等二一直线任两分之其元线上直角方形与元线偕两分线两矩内直角形并必等如甲乙线任两分于丙则甲乙上直角方形与甲乙偕甲丙甲乙
偕丙乙两矩线内直角形并等
三一直线任两分之其元线任偕一分线矩内直角形与分余线偕一分线矩内直角形及一分线上直角方形并等如甲乙线分于丙甲乙偕甲丙矩内直角形与分余丙乙偕甲丙矩内直角形及甲丙上直角方形并必等或如后图甲乙偕丙乙矩内直角形与分余甲丙偕丙乙矩内直角形及
丙乙上直角方形并亦等
四一直线任两分之其元线上直角方形与各分上两直角方形及两分互偕矩线内直角形并等如甲乙线分于丙甲乙线上直角方形与甲
丙丙乙线上两直角方形及甲丙偕丙乙丙乙偕甲丙
<子部,天文算法类,算书之属,数度衍,附録 几何约>甲丙上及分内线丙丁上两直角方形相并成庚辛丁磬折形盖子与子等丑寅与丑寅等卯辰与卯辰等故也
十一直线两平分之又任引增一线共为一全线其全线上及引増线上两直角方形并倍大于平分半线上及分余半线偕引增线上两直角方形并
通曰如甲乙线平分于丙又任引增为乙丁则甲丁线上直角方形如丁戊者与乙丁线上直角方形如乙己者相并成戊己乙磬折形倍大于甲丙线上直角方形如甲庚者与丙丁线上直角方形如辛丙者相并成辛庚甲磬折形盖子丑与子丑等寅卯与寅卯等故也
十一 一直线求两分之而元线偕初分线矩内直角形与分余线上直角方形等如甲乙线先作甲丙直角方形次以甲丁平分于戊作戊乙线
从戊甲引至己令戊己与戊乙等乃于甲乙线截取甲庚与甲己等则甲乙偕庚乙矩线内直角形与甲庚上直角方形等
十二三边钝角形之对钝角边上直角方形大于余边上两直角方形并之较为钝角旁任用一边偕其引増线之与对角所下垂线相遇者矩内直角形二如甲乙丙形乙为钝角从余角如甲下一垂线与钝角旁一边如丙乙引长之遇于丁为直角则对钝角之甲丙边上直角方形大于甲乙乙丙边上两
直角方形并之较为丙乙偕乙丁矩内直角形二反说之则甲乙乙丙上两直角方形及丙乙偕乙丁矩线内直角形二相并与甲丙上直角方形等
十三三边锐角形之对锐角边上直角方形小于余边上两直角方形并之较为锐角旁任用一边偕其对角所下垂线旁之近锐角分线矩内直角形二如甲乙丙三边锐角形从一角如甲向对边乙丙下一垂线分乙丙于丁则甲丙乙锐角
之相对甲乙边上直角方形小于乙丙甲丙边上两直角方形并之较为乙丙偕丁丙矩线内直角形二反说之则乙丙甲丙上两直角方形并与甲乙上直角方形及乙丙偕丁丙矩线内直角形二并等
十四有直线形求作直角方形与之等如甲无法四边形先作乙丁形与之等而直角次任用一边引长之如丁丙引至己而丙己与乙丙等次以丁己两平分于庚其庚防若在丙即乙丁是直角方形与甲等矣若庚防在
丙外则以庚为心丁己为界作丁辛己半圜再从乙丙线引长之遇圜界于辛即丙辛上直角方形与甲等又直角方形之对角线所长于本形边之较为甲乙而求本形边先于甲乙上作甲丙直
角方形次作乙丁对角线又引长之为丁戊线而丁戊与甲丁等即得乙戊线如求
论圜
一有圜求防其心如甲乙丙丁圜先于圜之两界任作一甲丙直线次两平分于戊再于戊上作乙丁垂线两平分于己己即圜心因显圜内有直线
分他线为两平分而作直角即圜心在其内
二圜界任取二防以直线相聨则直线全在圜内三直线过圜心分他直线为两平分其分处必为两直角为两直角必两平分如乙丙丁圜有丙戊线过甲心分乙丁线为两平分则己旁必两直角
甲己为垂线故也
四圜内不过心两直线相交不得俱为两平分如甲丙乙丁圜内有甲乙丙丁两直线俱不过己心而交于戊若甲乙为两平分则丁丙不得两平分
若一过心一不过心即两线亦不得俱为两平分五两圜相交必有同心
六两圜内相切必不同心
七圜径离心任取一防从防至圜界任出几线其过心最大不过心最小余线愈近心者愈大愈近不过心者愈小诸线中止两线等如甲丙丁戊乙圜其径甲乙其心己离心任取一防为庚从庚至圜界
任出几线为庚丙庚丁庚戊庚乙庚甲惟过心庚甲最大不过心庚乙最小庚丙大于庚丁庚丁大于庚戊而庚乙两旁止可出两线等如庚辛等庚戊庚壬等庚丁也
八圜外任取一防从防任出几线其至规内则过圜心线最大余线愈离心愈小其至规外则过圜心线为径之余者最小余线愈近径余愈小而诸线中止两线等
如乙己壬圜之外从甲防任出几
线其一为过癸心之甲壬其余为
甲辛甲庚甲己皆至规内则过心
之甲壬最大近心之甲辛大于甲
庚甲己最小规外之甲乙为乙壬径余者最小近径余之甲丙小于甲丁甲戊为大矣甲乙丙旁止可出两线等如甲子等甲丙也
九圜内从一防至界作三线以上皆等即此防必圜心如从甲防至乙丙丁作三线为甲乙甲丙甲丁若三线等则甲防必圜心
十两圜相交止于两防
十一两圜内相切作直线聫两心引出之必至切界如甲乙丙甲丁戊两圜内切于甲己为甲乙丙之心庚为甲丁戊之心作己庚直线聫两心又引
己至圜界必至相切之甲防
十二两圜外相切以直线聫两心必过切界如甲乙两圜外切于丁甲心为丙乙心为戊作丙戊直线聫之必过丁界
十三圜相切不论内外止于一防
十四圜内两直线等即距心之逺近等距心逺近等即两直线等如甲乙丙丁圜心戊圜内甲乙丁丙两线等则庚戊己戊逺近必等
十五径为圜内之大线其余线近心大于逺心
十六圜径末之直角线全在圜外而直线偕圜界所作切边角不得更作一直线入其内其半圜分角大于各直线锐角切边角小于各直线锐角如甲丙径末之甲戊垂线全在圜外戊甲垂线偕乙甲圜
界所作切边角不得更作一直线入其内丙甲线偕乙甲圜界所作丙甲乙圜分角大于各直线锐角而戊甲线偕乙甲圜界所作切边角小于各直线锐角又有两种几何一大一小以小率半増之递增至于无穷以大率半减之递减至于无穷其元大者恒大元小者恒小
如后图直线切圜之戊甲乙切边角
为小率壬庚辛直线锐角为大率今
别作甲丙甲丁各圜俱切戊己线于
甲其切边角愈增愈大别以庚癸庚子线作角分壬庚辛角于庚愈分愈小恒大恒小终不得相比
又甲丙径甲不动引丙线向己渐移其所经乙丁戊中间无数凡割圜皆为锐角即小于半圜