历算全书 - 第 194 页/共 206 页

<子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷五十九> <子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷五十九> 　　诸乗方根同而积不同本易知也惟根之一者积同为一似乎无别矣然有幂积之一有体积之一有三乗以上诸乗方之一虽曰积同为一其实不同也今以方根之为单一为一十为一百者为例如右 <子部,天文算法类,推步之属,历算全书,卷五十九> 　　因有续商故方根以十数见例方积以尾○定位无次商者去尾○用之则方根只为单数 　　多【如第一亷用初商立积二亷则初商幂逓减以至三亷则初商只用根】近小隅者次商乗之遍数多【如第一亷只用次商根第二亷则次商亦用幂三亷则逓加而用次商立积】各乗方皆如是 　　开诸乗方大法 　　诸乗方法惟平方为用最多因有専法今自平方立方推之三乗以上至于多乗而通为一法是为大法【诸乗方大法可以开平方而平方専法不可以开诸乗方】 　　总法　凡诸乗方皆先列实　次作防分段　次查表以定初商　次求亷隅以定续商 　　列实之法　依勿庵笔算作平行两直线以设积纪于右直线之右皆自上而下至单数止无单数者作○存其位 　　作防分段之法　皆于原积末位单数作一防起【凡减隅积必至单位故分段之法以此为宗同文算指但言起末位殊混】依各乗方宜以若干位为一段即隔若干位防之【或作实防丶或作虚防□俱可然虚防尤便以减商积时有借上位之防免凌杂也】如平方以每两位为一段则隔一位防之立方以三位为一段则隔两位防之乃至十二乗方以十三位为一段则隔十二位之并同一法 　　谨案作防分段其用有二一以定开方有若干次也如有一防则只开一次有两防则开二次三防则开三次之类一以定开方所得为何等数也如只有一防则初商即单数二防则初商是十数三防则初商是百数之类是故初商减积必至于最上防而止也次商减积必至于次防而止也每开一次必减积一次而所减之数必各尽于其作防之位亦可以验开方之无误也又最上防以上初商实也次以上次商实也每商皆以防位截实此法于初商尤为扼要 　　又案开方分段古人旧法之精钱塘吴信民九章比类山隂周述学厯宗算防悉着其説而同文算指西镜录本其意以作防定之施于笔算为极善也【鼎于三十年前见同文算指作防之法惊叹其竒后读诸书始知其有所祖述非西人创也】 　　初商之法　皆以最上一防截原积若干位为初商实乃查初商表视本乗方下数有与实相同或较小于 　　实者录之纪于左线之左【皆以表数末位对右线上原实最上纪之】是为初商应减之积　即于本表旁行查方根纪于左线之右【皆对所纪表数首位进一位纪之】是为初商数 　　以初商应减之积【左行所纪】与初商实【右行最上防所截原实】对位相减【皆以左减右须依笔算从小数减起如左行减数大右行实数反小而不及减则作防于上一位借十数减之】减不尽者为余实以待续商 　　凡原实有二则初商为十数而有次商有三防初商为百数而有次商及三商以上仿论如实只一防则初商即是单数无续商 　　次商之法　皆以第二截余实为次商实 　　凡初商皆为方积次商以后则有亷积隅积 　　先求亷率　查亷率立成本乗方亷率有若干等等有若干数平列之为若干行谓之定率【如平方只一种亷其定率二立方有二种亷曰平亷曰长亷其定率并三若三乗方则有三种亷曰一亷曰二亷曰三亷其定率曰四四六曰四详后式】每増一乗即亷増一等而定率増一行【有亷之等有亷之数如平方有二亷立方有三平亷三长亷此亷之数也平方之两亷同积共为一等立方之三平亷同积为一等三长亷同积为一等共为二等此亷之等也亷率中兼此二义】 　　求亷泛积　以各亷定率乗初商应有各数各依本乗方减小一等用之亷多者又递减挨次乗之至根数止是为泛积【有初商数即各带有自乗幂积二乗立积乃至三乗以上各积是为应有各数也今求泛积当依本乗方减小一等用之如平方只用根数立方用初商幂积乃至十二乗方用初商十一乗此为减小一等也至第二亷则立方用初商根三乗方用初商再乗乃至十二乗方用初商十乗此为亷多者二亷以上又逓减挨次乗之也逓减至初商根则为末后一亷矣故曰至根数止】 　　求防商数以泛积约余实得之 　　求亷定积　以各亷泛积乗次商数亷多者逓増一等挨次乗之至本乗方减小一等止是为定积【凡第一亷泛积皆乗次商根而得定积有第二亷则以次商自乗积乗之有三亷则以次商立方积乗之是为逓増一等也然增不得至本乗方但增至本乗方减小一等数即为末后一亷矣】 　　求隅积　以次商数查初商表各依本乗方取之【以次商对横行根数以本乗方对直行纵横相遇得之】列于亷积之后一行是为隅积【小隅体势并同初商大方如平方则隅即小平方立方则隅即小立方三乗方之隅亦为小三乗方四乗以上并同故可借初商表用之】 　　求亷隅共积　以所得各亷定积及隅积用并法并之即得 　　求次商定数　以所得亷隅共积纪左线之左【又在表数之左以末位对第二防纪之为次商应减之数】与次商实【右行第二防所截】对位相减【以左减右】减不尽者又为余实以待三商遂纪次商数于初商之下为次商定数　如亷隅共积大于次商实不及减则改次商至及减而止乃为次商定数 　　三商以后并同上法 　　不论三商四商乃至多商其亷定率不变但求泛积时三商则并初商次商两位商数合而用之四商则并前三次商数皆取其应有各数以乗定率而得泛积亦如上法之用初商　其求定积则三商即用三商之数四商即用四商之数以乗泛积而得定积亦如上法之用次商　余法并同次商 　　审○位之法　凡亷泛积大于余实或仅相等而无隅不能商一数是次商为○位也即纪○位于先商之次而并下一防余实为续商余实 　　次商单一之法　凡泛积与实仅同而有隅一是商得一数也即以泛积为定积不必更乗次商【惟单一则然若商得一十一百一千仍须如法乗之】 　　开平方【即一乗方】 　　设平方积三千三百四十四万三千○八十九问方根若干 　　答曰五千七百八十三 　　列实法【先作两直线次以方积三三四四三○八九列 　　右线之右】　作【法于实末位单数作一防起逆上每 　　隔一位防之有四防宜商四次初商是千】初商法曰 　　【用最上一防截原实两位三三为初商实查表有小于实三三】 　　【者是二五其方根五即以五为初商对实首上一位书于左线之右却以表数二五对实三三书左线之左与原实对减先于实次位减五实系三不足减作防借上一数为十三减去五余八改书八于实三之右次于实首减二原实是三因借下去一只得二减尽乃作线抹去三三存八以待次商亦于左作线抹去减数二五】 　　求次商　用第二防上余实八四四为次商实 　　隅　　　　　　　　　　次商自乗　四九○○○○ 　　亷隅共积　　　并　　得　　　　七四九○○○○次商法曰【置亷率立成内定率二乗初商五千得一万为泛积乃约实作七百定为次商即以泛积乗之得定积七百万再用次商自乗为隅其积四十九万并定积成七百四十九万即亷隅共积也俱如式列之于是将次商七续书初商五之下又将共积七四九对实八四四书左线之左以减实余九五乃作线抹去八四四亦于左作线抹去七四九】 　　求三商　用第三防上余实九五三○为三商实 　　隅　　　　　　　　　三商自乗　　　　六四○○