历算全书 - 第 191 页/共 206 页

上则其数变矣假如以七小圆 　　均布于大圆周之内而切于 　　边则中心一小圆必大于七 　　小圆而后能相切【以上仿此】 　　甲大浑圆内容八小立圆 　　法以小圆径作立方【如乙庚方】求 　　其立方心至角数【即外切浑圆半径如 　　乙丁】再加小圆半径【如甲乙】为大 　　浑圆半径【如甲丁】 　　按八小员半径十【甲乙】则其全径二十内斜线【乙丁】十七加【甲乙】共二十七内减小圆径二十余七倍之得十四是比小圆半径为小其比例为十之七安得复容一稍大小圆在内乎 　　又二十等面有十二尖可作十二小圆以居大浑圆之内而为所容 　　又八等面有六尖可作六小圆为大浑圆所容　四等面有四尖可作四小圆 　　又方灯亦有十二尖可作十二小圆为大浑圆所容其中容空处仍容一小圆为十三小圆皆等径也 　　十二等面有二十尖用为小浑圆之心可作二十小立圆以切大浑圆内有稍大浑圆夹之 　　圆灯尖三十可作三十小球亦皆以内稍大浑圆夹之公法皆以心至尖为小浑圆心距体心之度皆以小浑圆径为所作虚体边 　　如作内容二十小浑圆联其心成十二等面虚体虚体之各边皆如小浑圆径也虚体之各尖距心皆等此距心度以小浑圆半径加之为外切之大浑圆半径以小浑圆半径减之为内夹稍大浑圆半径 　　浑圆内容各种有法之体以查曲线弧面之细分公法凡有法之体在浑圆体内其各尖必皆切于浑圆之面 　　凡浑圆面与内容有法体之尖相切成防皆可以八线知其弧度所当 　　内惟八等面皆以弧线十字相交为正角余皆鋭角其十二等面则钝角 　　十二等面每面五边等析之从每面之角至心成平三 　　角形五则辏心之角 　　皆七十二度半之三 　　十六度即甲心乙角 　　其余心乙甲角必五 　　十四度倍之为甲乙 　　丁角则百○八度故 　　为钝角 　　凡浑圆面切防依内切各面之界联为曲线以得所分浑体之弧面皆如其内切体等面之数之形 　　如四等面则其分为弧面者亦四而皆为三角弧面十二等面则亦分弧面为十二而皆成五边弧形八等面则弧面亦分为八二十等面弧面亦分二十而皆为三角弧形内惟六等面为立方体所分弧面共六皆为四边弧形 　　凡浑圆面上以内切两防联为线皆可以八线知其几何长 　　其法以各体心到角之线命为浑圆半径以此半径求其周作圈线即为圆浑体过极大圈以八线求两防所当之度即知两防间曲线之长 　　凡浑圆面以曲线为界分为若干相等之弧面即可以知所分弧面之幂积 　　假如四等面外切浑圆依切防聨为曲线分浑圆面为四则此四相等三角形弧面各与浑圆中剖之平圆面等幂何也浑圆全幂得浑体中剖平圆面之四倍今以浑幂分为四即与浑圆中剖之平圆等幂矣 　　推此而知六等面分外切浑圆幂为六即各得中剖平圆三之二 　　八等面分浑圆幂为八即各得中剖平圆之半幂十二等面分浑圆幂为十二即各得中剖平圆三之一二十等面分浑圆幂为二十即各得中剖平圆五之一凡依等面切浑所剖之圆幂又细剖之皆可以知其分幂 　　假如四等面所分为浑圆幂 　　四之一而作三角弧面若中 　　分其边而防于中心则一又 　　剖为三为浑圆幂十二之一 　　与十二等面所分正等但十 　　二等面所剖为三边弧线等此所分为四边弧线形如方胜而边不等若自各角中防于心成三边形其幂亦不等也 　　再剖则一剖为六为浑圆面幂二十四之一【皆得十二等面所剖之半而边不等】若但一剖为二则得浑圆幂八之一与八等面所剖正等但八等面三边等又三皆直角此则边不等又非直角 　　假如八等面所剖为浑幂八 　　之一若一剖为二则十六之 　　一剖为四则三十二之一可 　　以剖为六十四至四千九十 　　六　若以三剖则浑幂二十四之一如十二等面之均剖亦如四等面之六剖也再细剖之可以剖为九十是依度剖也可以剖为五千四百则依分剖也再以秒防剖之可至无穷 　　惟八等面可以细细剖之者以腰围为底而两防于极其形皆相似故剖之可以不穷 　　又以此知曲面之容倍于平面何也八等面所剖之浑体腰围即平圆周也以平圆周之九十度为底两端皆 　　以平径为两以防于平圆 　　之心则其幂为平圆四之一 　　若浑体四面以腰围九十度 　　为底两端各以曲线为两 　　以防于浑圆之极则其幂为 　　平圆二之一矣 　　假如六等面【即立方】在浑圆内 　　剖浑幂为六得浑幂六之一 　　若一剖为二则与十二等面 　　所剖等剖为四则二十四之 　　一再剖则一为八而得四十 　　八之一 　　假如十二等面剖浑幂为十 　　二各得浑幂十二之一若剖 　　一为五则得六十之一再剖 　　一为十则得百二十之一而 　　与八等面所剖为十五之一 　　假如二十等面剖浑幂为二十各得浑幂二十之一若一剖二则四十之一若一剖三则六十之一若一剖六则百二十之一皆与十二等面所剖之幂等而边不必等也 　　凡球上所剖诸幂以为底直剖至球之中心成锥形即分球体为若干分 　　如四等面之幂得球幂四之一依其边直剖至球心成三角锥其锥积亦为球体四之一推之尽然 　　防何补编【补遗】 　　平三角六边形之比例 　　平三角等边形 　　甲丁丙三边等形其边【丁甲】折半 　　【丁乙】自乘而三之即为对角中 　　长线幂开方得中长线丙乙 　　既得中长线丙乙以乘丁 　　乙半边即等边三角形积　若以丙乙幂丁乙幂相乘得数平方开之得三等边形之幂积 　　防法不求中长线但以丁乙幂三因之与丁乙幂相乘开方得根即三等边幂积　或用原边丁甲自乘得数乃四分之取四之一与四之三相乘得数开方得三等边积亦同 　　论曰边与边横直相乘得积若边之幂乘边之幂亦必得积之幂矣故开方得积 　　法曰以原边之幂三因四除之又以原边之半乘之两次为实平方为法开之得三等边形幂积 　　解曰原边幂四之三即中长幂也半边乘二次以幂乘也　又法以原边与半边幂相减相乘开方见积平三角等边形幂积自乘之幂与平方形幂积自乘之幂若三与十六【理同前条】 　　解曰甲戊庚丁为平方形丁 　　丙甲为等边三角形其边同 　　为甲丁题言丁甲线上所作