历算全书 - 第 189 页/共 206 页

如依辛巳己丑丑癸癸辛四边平剖之而去其丁角【以丁角为尖辛巳丑癸为底成扁方锥甲丙乙戊尖并同】则所剖处成辛巳丑癸平方面【去甲壬辛庚锥成卯壬辛庚面去丙庚己寅锥成庚酉寅己面并同一法余可类推】 　　八等面体有六角皆依法剖之成平方面六而剖之后各存原八等面中小三角等边面八与立方剖其八角者正同 　　灯形之高濶皆得八等面之半 　　如辛丑高得甲乙之半 　　己癸濶得丙戊之半 　　其边亦为八等面原边之半 　　其积得八等面八之五 　　何以知之曰同类之体积以 　　其边上立方积为比例故边 　　得二之一其积必八之一也 　　今所剖去之各尖俱以平 　　方为底而成方锥两方锥合 　　为一八等面体皆等面等边 　　与原体为同类而其边正得 　　原边二之一则其积为八之 　　一也　原体六尖各有所成之锥体皆相等合之成同类八等面之体凡三其积共为原积八之三以为剖去之数则所存灯体得八之五也 　　如上图甲乙二锥合为八等面体一丙戊二锥合为八等面体一　丁尖及所对之尖其二锥合为八等面体一　通共剖去同类之形三 　　假如八等面之边一百则其积四十七万一千四百○四其所容灯体边五十其积必二十九万四千六百二十七五　以八等面积五因八归之见积 　　或用捷法竟以十六归进位所得灯积亦同 　　右法乃八等面内容灯体比例也 　　若灯体之边与八等面同大则其积五倍大于八等面假如灯体边一百则其积二百三十五万七千○二十以八等面边一百之积四十七万一千四百○四加五倍得之　此法则灯体与八等面同为立方所容之比例亦即为灯内容八等面之比例 　　准此而知灯内容八等面八等面又容灯则内灯体为外灯体八之一 　　灯体内容八等面　五之一　【用畸零乘法化大分为小分以八等面母数八乘五之一】八等面内容灯体　八之五　【得八乘母数五得四十】 　　外灯体四十　八等面体八　内灯体五　合之为内体得外体四十之五约为八之一 　　又八等面容灯灯又容八等面内八等面亦为外八等面八之一　其体之比例既同则其所容之比例亦同也立方内容灯体灯内又容立方则内立方边得外立方边三之二内立方积得外立方积二十七之八 　　以三之二自乘再乘为三加之比例也 　　六　之　五　一百三十五 　　二十七之八　四十八 　　准此而知灯内容立方则内立方积得灯积一百三十五之四十八　若灯容立方立方又容灯则内灯积亦为外灯积二十七之八其为所容者之比例即能容者之比例故也求方灯所去锥体 　　三角锥棱皆五十即原边之 　　半【甲乙甲丙甲丁】　底之边皆七十 　　○【七一○七】即灯体之边【丙乙乙丁丁丙】其半三十五【三五五三乙戊戊丁】 　　求甲戊斜垂线 　　法曰乙丁为甲乙之方斜线则甲戊为半斜与乙戊戊丁等皆三十五【三五五三】其幂皆一千二百五十 　　求丙戊中长线 　　以戊丁幂三因之为丙戊幂平方开之得六十一【二三七二】为丙丁乙等边三角形中长线 　　求甲己中高线 　　法以戊丁幂【一千二百五十】取三之一为己戊幂【四百一十六六六六六】与甲戊幂【即丁戊幂】相减余【八百三十三三三三三】为甲己中高幂开方得甲己中高二十八【八六七五】 　　又以己戊幂开方得己戊二十○【四一二四】以己戊【二十○四一二四】乘戌丁【三十五三五五三】得【七百二十一六八六五】又三因之得【二千一百六十四○五七五】为乙丙丁三等边幂 　　又以中高甲己【二十八八六七五】乘之得数三除之得三角锥积二万○八百二十三【六六三五】又八乘之得一十六万六千五百八十七【三○】为所去八三角锥共积即立方一百万六之一与前所推合【本该一十六万六千六百六十六六六不尽因积算尾数有欠然不过万分之一耳】 　　圆灯为十二等面二十等面所变体势并同而比例亦别 　　公法皆于原边之半作斜线相联则各平面之中成小平面此小平面与原体之平面皆相似即为内容灯体之面　依此小平面之边平剖之去原体之锐角此所去之锐角皆成锥体锥体之底平割锥体则原体挫锐为平亦成平面于灯体原有若干锐亦成若干面而与先所成之小平面不同类然其边则同 　　如图 　　十二等面每面五边等今自 　　其各边之半联为斜线则成 　　小平面于内亦五等边为同 　　类 　　依此斜线剖之而去其角所 　　去者皆成三角锥锥体既去 　　即成三等面为异类 　　原有十二面故所存小平面 　　同类者亦有十二 　　原有二十尖故所剖锥体而 　　成异类之面者亦二十 　　求灯体边 　　法以十二等面边为理分中末之大分求其全分而半之即为内容灯体之边 　　一率　理分中末之大分　　六十一【八○三三九八】二率　理分中末全分之半　五十○ 　　三率　十二等面之边　　　一百○○ 　　四率　内容灯体之边　　　八十○【九○一七】 　　灯体边原为大横线之半十二等面边与其大横线若小分与大分则亦若大分与全分也而十二等面边与灯边亦必若大分与全分之半矣 　　总乘较为实戊丙底为法法 　　除实得丙辛以丙辛减戊丙 　　得戊辛折半为戊己 　　法当以所得戊己自乘为句 　　幂用减甲戊幂余为甲己幂 　　开方得一十七【八四一一】为中高 　　今改用捷法【省求丙辛】取戊丙幂 　　九之一为戊己幂【戊己为戊内三之一 　　故其幂为九之一】得五百四十五【四二 　　三七】 　　或径用戊丁幂三之一亦同 　　又捷法不求甲戊斜垂线但以戊丁幂三分加一以减甲丁【即甲丙或甲乙】幂为甲己幂开方即得甲己中高比前法省数倍之力 　　戊丁幂　一千六百三十六【二七一二】 　　三之一　　　五百四十五【四二三七】 　　并得　　二千一百八十七【六九四九】 　　甲丁【即甲丙幂】二千五百○○ 　　相减余【甲乙幂】　三百一十八【三○五一】　　与前所得同解曰原以戊丁幂减甲丁幂得甲戊幂复以戊丁幂三之一减甲戊幂得甲己幂今以戊丁三分加一而减甲丁幂即径得甲己幂其理正同 　　前之捷法有求丙辛及较总相乘后用底除诸法可谓捷矣今法径不求甲戊斜垂线捷之捷矣凡三角锥底濶等者当以为式 　　订定三角锥法【圆灯所去】 　　用捷法以戊丁幂三分加一减甲丁幂为甲己幂 　　甲丁【甲乙甲丙】皆设五十 　　丙丁【丁乙乙丙】皆八十○【九○一七】其 　　半【戊丁戊乙】四十○【四五○八半】丙戊七十○【○六二九】为底之垂线 　　甲己一十七【八四一一】为中高 　　丙乙丁底幂二千八百三十四 　　【一○三八】 　　法以半边【戊丁】乘中长【丙戊】得底幂【丙乙丁】　以中高【甲己】乘底幂【丙乙丁】得三角柱积五万○五百六十三【五二九三】　三除之得锥积一万六千八百五十四【五○九七】　又以二十乘之为灯体所去之积三十三万七千○九十○【一九四○】十二等面边设一百前推其积为七百六十八万三千二百一十五今减去积三十三万七千○九十存灯积七百三十四万五千一百二十五　内容灯体边八十○【九○一七】 　　依测量全义凡同类之体皆以其边上立方为比例可以推知二十等面所变之灯体 　　二十等面边设一百则灯体之边五十 　　捷法求得一百七十三万三千九百四十八为设边五十之灯积 　　一　灯体边八十○【九○一七】之立方五十二万九千○百○八【五】二　灯体积七百三十四万五千一百二十五 　　三　灯体边五十之立方一十二万五千 　　四　灯体五十之积一百七十三万三千九百四十八圆灯 　　边设三十○【九○一七即理分中末之大分乙丁】外切立圆半径五十【即理分中末之全分丁中乙中】外切立圆全径一百【即外切立方】体积四十○万三千三百四十九 　　内有三角锥计二十共计一十二万 　　八千七百五十二 　　五棱锥计十二共积二十七万四千 　　五百九十六 　　丁中丙乙三角锥为圆灯分体之一　乙丁丙三等边面巳为平面心　中为体心　中巳为分体之中高戊丁为半边丁中自体心至角线为分体之棱　戊中为斜垂线 　　乙癸中辛五棱锥亦圆灯分体之一　乙丁癸壬辛五等边面庚为平面心　中庚为分体中高　其戊丁半边丁中分体棱戊中斜垂线与前三角锥皆同一线何以知两种锥形得同诸线乎曰乙戊丁边两种分体所同用而两种锥体皆以体心中为其顶尖故诸线不得不同观上图自明