历算全书 - 第 193 页/共 206 页

浑圆根一○○○体积五二三八○九三三三用为公积 　　立方 　　置公积即浑圆积【五二三八○九三三三】立方开之得立方根八○六二○二七一七是为与浑圆等积之立方 　　方锥 　　置公积【五二三八○九三三三】以三因之得数立方开之得高濶相等之方锥形根一一六二二四四四四七是为与浑圆等积之方锥 　　方 　　锥 　　圆柱 　　置公积【同上】十四因之十一除之为实立方开之得高濶相等之圆柱形根八七四二三九四二是为与浑圆之积之圆柱 　　【圆柱】 　　圆锥 　　置公积【同前】以三因之【变圆锥形积为圆柱积】再以十四因之十一除之为实【变圆柱积为立方积】立方开之得高濶相等之圆锥形根一二五九四七五九是为与浑圆等积之圆锥　或置积以四十二因之十一除之立方开之亦同 　　【圆锥】 　　按变体线本法有四等面八等面十二等面二十等面诸数表皆未及其同者惟有浑圆立方二形其余三形皆比例规解及测量全义之所未备今以法求之则皆长濶相等而不为浑圆立方者耳夫不为浑图立方而仍可以法求者以其长濶相等则仍为有法之形也然而与今西书所载合者二不合者一意者其传之有误耶或其所用非径七围二十二之率耶俟攷 　　浑圆以径求积 　　置径自乘又以半径乘之又四因之又以十一乘之以十四除之又以三除之见积 　　解曰平圆与平方之比例知其周与周假如七则方周二十八圆周二十二两率各折半为十四与十一　径自乗则为平方形以十一乗十四除则平方变为平圆矣以平圆为防半径乗之成圆柱形再以三归之成圆角形【即圆锥】浑圆面幂为防半径为髙之角形四倍大于此圆角形故又四因之即成浑积也 　　防法　径自乗以乗半径乃以四十四因四十二除见积　或径上立方形二十二因四十二除或用半数十一因二十二除见积并同 　　浑圆以积求径 　　置积以三因之四除之又以十四因之十一除之再加一倍立方开之得圆径 　　解曰圆积是圆角形四今三因之变为圆柱形四矣故用四除则成一圆柱此圆柱形是半径为髙全径之平圆为防今以十四乗十一除则变为全径之平方为防半径为髙矣故加一倍即成全径之立方 　　防法　积倍之以四十二因四十四除立方开之得圆径　或用本积以八十四乗四十四除立方开之　或用半数以四十二乘二十二除立方开之　或又折半以二十一乗乗十一除立方开之得积并同 　　按径七围二十二者乃祖冲之古法至今西人用之可见其立法之善虽异城有同情也虽其于真圆之数似尚有盈朒然所差在防忽之间而已吾及锡山杨昆生柘城孔林宗另有法其所得之周俱小于径七围二十二之率则其所得圆积亦必小于古率矣 　　杨法立圆径一○○○○积五二三八○九二五六四孔法立圆径一○○○○积五二三五九八七七五 　　约法 　　立方与立圆之比例若二十一与十一　平圆与外方若十一与十四　平圆与内方若十一与七 　　圆内容方之余【即四小弧矢形】若七与四圆外余方【即四角减弧矢】若十一与三准此则余圆【即小弧矢】与余方若四与三而小弧矢与其所减之余方角若一与七五亦若四与三也 　　厯算全书卷五十八 　　少广拾遗序 　　少广爲九章之一其开平方法爲薄海内外测量家所需非隶首不能作也平方而外有立方以爲凿筑土方之用课工作者犹能言之若三乗方以上知之者葢已尠矣尝见九章比类厯宗算会算法统宗俱载有开方作法本原之图而仅及五乗竝无算例同文算指稍变其图具七乗方算法而不适于用诠释不无譌误西镜録演其图爲十乗方而举数仅详平立三乗一式而已余皆未及康熙壬申余在都门有友人传逺问属询四乗方十乗方法葢诸乗方法独此二端不可以借用他法而问者及之窃喜朋侪中固自有留心学问之人遂稍取古图防绎发其指趣爲作十二乗方算例颇觉详明然后知今日所用开平方法廼算数家径捷之用而不及古图之简括精深也宣城梅文鼎 　　钦定四库全书 　　厯算全书卷五十九 　　宣城梅文鼎撰 　　少广拾遗 　　开方求亷率作法本原图 　　自开平方至开八乗方 　　古图附説 　　图最上书一者本数也本数者即大方也大方无隅无乘除之可言而数从此起也次并列【一一】者方邉也西法谓之根数即一十一也左一即本数因有次商而进位成一十为初商之根右单一为次商之根既有根数即有平幂故第三层　者幂积也西法谓之面即一百二十一也左一百为初商自乗之幂即大方积也右单一为次商自乗之幂即隅积也小平方也中二十则两亷积也并长方也 　　如图大小两方幂以 　　一角相聫必得两亷 　　以辅之而其方始全 　　故平方亷积二也 　　第四层　者立方积也西法谓之体积即一千三百三十一也左一千初商再乗之积大立方也右单一为次商再乗之积隅积也小立方也中三百三十皆亷积也三百为三平亷积扁立方也三十为三长亷积长立方也 　　如图析观之则初商大立方体与次商隅积小立方体相连于一角必得三平亷之扁立方体补于大立方之三面又有三长亷之长立方体补于小立方之三面及三平亷之隙而方体始全故立方之亷积有二等而其数各三也 　　第五层　者三乘方也即一万四千六百四十一也左一万者大三乗方也初商方积也右单一者小三乗方也次商隅积也大方积既以三乗之故而积陞至万小 　　【隅虽　　　　　三　　　　　乘】 　　【仍单一也其相隔已三位故必有第一亷为】【千数第二亷为百数第三亷为十数以补之其数始足其理亦如平方立方也三乘方以】【上不可为图诸书有强为之图者非也然其理则有可言者焉以其相生之序言之则皆】【加一筭法也初商次商如十与一而其幂则如百与一故于之下各加即成如十一之自】【乘也此平方率也又以十一乗之成即立方率也又以一十乗之成即三乗方率四乗】【以上凖此加之皆加一法　也曰若是则诸乗】【方皆以十一逓乗而得非十一者何以处之】【曰根非十一而其理皆如十与一何则凡増一乗积陞一等而亦増一亷亷与亷之积亦】【皆如十与一也幂幂旧名方法旧名上亷旧名下亷一一一一音觅周礼幂人掌共巾幂説文覆也开平方四邉俱等中函纵横之积亦如覆物之巾有经纬缕文故谓之幂亦谓之面同上省文也见张参五经文字书或小写】 　　亷率立成附説 　　凡开方一位除尽者无亷隅也亷隅皆生于次商次商之根必小于初商一等而其小隅之体必与初商之大方同状【如再乗之隅即小立方三乘方之隅即小三乘方】此可借初商表而降等求之不必更立隅法也亷法则不然每増一乗则亷増一等【如平方但有亷立方则有平亷长亷三乗方则有三种亷四乘方则有四种亷其亷之等并与其乘数同増】而亷亦加多【如平方只二亷立方则平亷长亷各三三乗方则三种亷共有十四乗以上则更増而多如图所列】此亷率所由立也 　　问亷既有等【如平方亷为十立方亷为十为百之类】而今亷率只作单数用何也曰此亷之数也非亷之积也亷积有等则既于其次序分之矣挨次乗之其等自见【如第一亷必小于初商大方一等第二亷又小一等其最末之亷必大于小隅一等各乗方皆如是】若同一等中应各有若干亷必先知之而后可用故立成中所列皆单数问古图以右为隅法其序自左而右今亷率之序自右而左何也曰既皆作单数用则左右一也今依笔算自右而左便于取用故也【亷法相生之序左右同数如立方平亷三长亷亦三也三乗方第一亷四第三亷亦四也其近大方有若干亷则其近小隅亦有若干亷故左右并同可以左为初商大方右为小隅亦可以右为大方而左为小隅此亦见古图之妙也】 　　问旧有方法亷法之目今防曰亷法何也曰开方法有方有亷有隅其初商自乗即方也次商自乗即隅也方与隅之间次商初商相乗而得者皆亷也旧以立方之平亷有似扁方故名之方法而三乗方因之遂又有上亷下亷之目故不如一切去之但以一二三四为序较画一耳 　　问平方之亷皆平幂也立方之平亷长亷皆体积也不知三乗方以上之亷积亦能与方隅并状乎曰凡诸乗方之亷积无不与方隅之乗数等也试以三乗方言之其第一亷有四皆初商之再乗积而又以次商根乗之是三乗也其第二亷有六皆初商自乗之平幂也而又以次商之平幂乗之第三亷有四皆初商之根数而又以次商之立积乗之皆三乗也又以四乗方言之其第一亷有五皆初商三乗积也又乗次商根是四乗也其第二亷有十皆初商再乗积也又以乗次商幂亦四乗也其第三亷亦十皆初商幂积也又以乗次商再乗积其第四防有五皆初商根也又以乗次商之三乗积皆四乗也五乗方以上俱如是观后算例自明