历算全书 - 第 162 页/共 206 页

解曰此以和和除句股倍积得容员半径也 　　如图从容员心作对角线分其形为三【一甲心丙一甲心乙一丙心乙】乃于甲丙句线两端各引长之截子甲如乙甲股截丙丑如丙乙则子丑线即和和也乃自员心作癸壬直线与丑子平行两端各聫之成长方又作辛丙线分为三长方形其濶并如员半径其长各如句如股如 　　而各为所分三小形之倍积【甲辛长方 　　如甲丙句之长而以心戊半径为濶即为甲心丙分形之倍甲癸长 　　方如乙甲股之长而以同心己之半径为濶即为乙心甲形之倍丙 　　壬长方如丙乙之长而以同心庚之半径为濶即为乙心丙形之 　　倍】合之即为本形倍积与句股相 　　乗同也【句股相乗为倍积见求积条】故以和 　　和除句股相乗积得容员半径 　　假如【甲乙丙】句股形甲丙句【八十八尺】甲乙股【一百零五尺】乙丙【一百三十七尺】求容员径 　　术以句股相乗而半之得积【四千六百二十尺】为实并句股数而半之【一百六十五尺】为法除之得数倍之为容员径凡求得内容员径五十六尺 　　解曰此以半周除句股形积而得容员半径也【半周即和和之半】 　　如图从容员心分本形为六小句股则同角之句股各 　　相等可以合之而各成小方形【同甲角之 　　两句股成丁己小方形同丙角之两句股可合之成丁辛长方形以心辛 　　丙形等丙戊心也同乙角之两句股可合之成己庚长方形以乙庚心形 　　等心戊乙也】乃移己庚长方为辛癸长方 　　则癸甲即同半周而癸己大长方即 　　为半周乗半径而与句股积等也【六小形之句皆原形之周变为长方则两两相得而各用其半是半周也癸甲及壬己之长并半周壬癸及己甲辛丙之间并同心丁是半周乗半径也辛癸长方与己庚等积即与乙角旁两句股等积又丁辛长方与丙角旁两句股等积再加丁己形即与原设乙甲丙句股形等积矣】然则以句股相乗而半之者句股形积也故以半周除之即容员半径矣 　　或以和和除四倍积得容员全径并同前论 　　论曰句股形古法以和较为容员径与和和互相乗除乃至精之理测员海镜引伸其例以为测望之用其变甚多三角容员盖从此出故为第一支 　　假如【甲乙丙】锐角形乙丙邉【五十六尺】甲丙邉【七十五尺】甲乙邉【六十一尺】求容员径 　　术以乙丙邉为底求得甲丁中长线【六十尺○法见求积】以乗底得数【三千三百六十尺】倍之【六千七百二十尺】为实合计三邉【共一百九十二尺】为法除之得容员径 　　凡求得内容员径三十五尺 　　解曰此以全周除四倍积得容员 　　径也 　　如图自容员心作对角线分为 　　小三角形三各以员半径为髙 　　各邉为底若于各邉作长方而 　　各以邉为长半径为濶必倍大 　　于各小三角形【如壬丙长方倍大于丙心乙形 　　丙丑长方倍大于丙心甲形甲丁长方倍大于甲心乙形】又 　　作加一倍之长方则四倍大于 　　各小三角【如未乙长方倍大于丙壬长方必四倍于】 　　【丙心乙三角则夘甲亦四倍于丙心甲而甲酉亦四倍于甲心乙】于是而通为一大长方【移夘甲长方为亥丙移甲酉为乙辰则成亥午大长方形矣】必四倍原形之幂而以三邉合数为长以容员之径为濶然则以中长线乗底而倍之者正为积之四倍也以三邉除之岂不即得员径乎 　　或以全周除倍积得容员半径 　　或以半周除积得容员半径并同 　　若钝角形亦同上法 　　论曰锐角钝角并以周为法此与句股形用和和同但必先求中长线故为第二支 　　三角容员第三术 　　以中垂线为员半径曰以量代算 　　假如【甲乙丙】三角形求容员径【既不用算故不言邉角之数】 　　如求积术均分甲乙二角之度各 　　作虚线交于己即己为容员之心 　　次以己为心尽一邉为界运规作 　　员此员界必切三邉 　　于是从己心向三邉各作十字垂线必俱在切员之防而等为员半径知半径知全径矣【半径各如己庚线】 　　论曰此容员心即三角形之心【故以容员半径乗半总即得积也】又案此术亦句股及锐钝两角通用 　　三角容员第四术 　　用三较连乗 　　假如【甲乙丙】钝角形乙丙邉【四百三十二尺】甲丙邉【五百尺】甲乙邉【一百四十八尺】求容员径 　　术以半总【五百四十尺】求得乙丙邉较 　　【一百○八尺】甲丙邉较【四十尺】乙甲邉较 　　【三百九十二尺】三较连乗得数【一百六十九万三千 　　四百四十尺】以半总除之得数【三千一百三十】 　　【六尺】四因之【一万二千五百四十四尺】为实平方开之得容员径凡求得内容员径一百一十二尺 　　锐角同法 　　解曰此所得者为容员径上之自乗方幂故开方得径 　　三角容方第一术 　　合底与髙除倍积得容方径 　　内分二支 　　一句股形即以句股为底为髙【即句股和也其容方依正方角】一三角形以一邉为底求其垂线为髙【句股形以为底锐角形三邉皆可为底钝角形以大邉为底其容方并依为底之邉】 　　假如【甲乙丙】句股形甲丙股【三十六尺】乙丙句【一十八尺】求容方依正方角而以容方之一角切于 　　术以句股相乗得数【六百四十八尺】为实以句股和【五十四尺】为法除之得所求 　　求到内容方径一十二尺 　　如图作寅乙线与股平行作寅甲 　　线与句平行成寅丙长方为句股 　　形倍积 　　次引寅甲线横出截之于癸引乙 　　丙句横出截之于夘使引出两线 　　【甲癸及丙夘】皆如甲丙股仍作夘癸线聫之 　　乃从癸作斜线至乙割甲丙股于戊则戊丙为所求容方之邉又从戊作申未横线与上下两线平行割甲乙于己则己戊为所求容方之又一邉末从己作午辛立线割丙乙句于辛则己辛及辛丙又为两对邉而四邉相等为句股形内所容之方 　　解曰寅夘大长方以癸乙斜线分两句股则相等而寅戊与戊夘两长方等则寅丙长方与申夘长方亦等【寅丙内减寅戊而加相等之戊夘即成申夘】夫寅丙者句股倍积而申夘者句股和乗容方径也【乙丙句丙夘股合之为申夘形之长申乙及未夘并同方径为濶】故以句股和除倍积得容方径 　　又解曰寅丙长方分两句股而等则寅戊与午丙两长方等【寅己与己丙既等则于寅戊内减寅己而加相等之己丙即成午丙】而寅戊原等戊夘则午丙亦与戊夘等夫午丙形之丙甲与戊夘形之丙夘皆股也则两形等积又等邉矣其长等其濶亦等【甲丙与丙夘既等则辛丙与戊丙亦等】而对邉悉等即成正方形 　　论曰此以句为底股为髙也若以股为底句为髙所得亦同其容方依正方角乃古法也三角以底濶合中长除积盖生于此是为第一术之第一支 　　假如【甲乙丙】句股形乙丙二十八尺其积一百六十八尺求容方依线而以容方之两角切于句股术以除倍积【三百三十六尺】得对角线【一十二尺】与相并【四十尺】为法倍积为实法除实得所求 　　求到容方径八尺四寸 　　如图作寅丑线与乙丙平行又作 　　寅丙及丑乙与甲丁对角线平行成 　　丑丙长方为句股形倍积 　　次引乙丙至夘引寅丑线至癸使 　　癸丑及夘乙并同甲丁仍作癸夘线