历算全书 - 第 164 页/共 206 页

如图甲乙丙锐角形任以甲丙邉 　　平分之于戊作庚戊丁十字线又 　　任以乙丙邉平分之于壬作癸壬 　　丁十字线两直线稍引长之相遇 　　于丁以丁为心作员则甲乙丙三角并切员周而丁癸丁庚皆半径 　　论曰试于余一邉再平分之作十字正线亦必防于此防故此防必员心【如甲乙邉再平分之于辛作子辛丁十字线亦必相遇于丁防】 　　右锐角形外切平员之心在形之内 　　假如钝角形求形外切员　术同锐角 　　如图甲乙丙形甲为钝角任分甲 　　丙于戊分甲乙于辛各作十字线 　　防于丁心从丁作员则丁庚丁癸 　　皆半径而三角并切员周若用大 　　邉平分于壬作壬丁子线亦同 　　论曰试于丁心作线至丙至乙至甲必皆成员半径与丁庚丁癸同故丁为员心也 　　右钝角形外切平员之心在形之外 　　总论曰此与容员之法不同何也内容员之心即三角形之心故其半径皆与各邉为垂线而不能平分其邉然从心作线至角即能分各角为两平分此分角求心之法所由以立也外切员之心非三角形之心其心或在形内或在形外距邉不等而能以十字线剖各邉为两平分此分邉求心之法所由以立盖即三防串员之法也 　　附三防串员 　　有甲乙丙三防欲使之并在员周 　　术任以甲为心作虚员分用元度 　　以丙为心亦作虚员分两员分相 　　交于戊于辛作戊辛直线又任以 　　乙为心以丙为心各作同度之虚员分相交于庚于壬作庚壬直线两直线相遇于丁以丁为心作员则三防并在员周 　　员周有三防不知其心亦用此法 　　厯算全书卷五十二 <子部,天文算法类,推步之属,历算全书> 　　钦定四库全书 　　厯算全书卷五十三 　　宣城梅文鼎撰 　　三角法举要卷四 　　或问【三角大意畧具首卷中而入算取用仍有疑端喜同学之好问事事必求其所以然故不惮为 　　之详复以畅厥防】 　　一三角形用正为比例之理 　　一和较相求之理 　　一用切线分外角之理 　　一三较连乗之理 　　附三较求角 　　问各角正与各邉皆不平行何以能相为比例曰凡三角形一邉必对一角其角大者正大而所对之邉亦大角小者正小而所对之邉亦小故邉与邉之比例如正与正也 　　两正为两邉比例图 　　乙丙丁三角形丁乙邉大对丙角 　　丁丙邉小对乙角术为以丁乙邉 　　比丁丙邉若丙角之正与乙角 　　之正 　　解曰试以丁丙为半径作丁甲线为丙角正又截戊乙如丁丙半径作戊己线为乙角正丁甲正大于戊己故丁乙邉亦大于丁丙 　　问丁甲何以独为丙角正也曰此以丁丙为半径故也若以丁乙为半径则丁甲即为乙角之正如图用丁乙为半径作丁甲线为乙角正又引丙丁至戊令戊丙如丁乙半径作戊己线为丙角正 　　即见乙角之正丁甲小于戊己 　　故丁丙邉亦小于丁乙 　　解曰正者半径所生也故必两 　　半径齐同始可以较其大小前图 　　截戊乙如丁丙此图引丁丙如丁乙所以同之也 　　三正逓相为三邉比例图 　　乙丁丙钝角形丁钝角对乙丙大邉丙次大角对乙丁次大邉乙小角对丁丙小邉其各邉比例皆各角正之比例 　　试以乙丁为半径作丁甲线为乙 　　小角之正又引丙丁邉至戊使 　　戊丙如乙丁作戊己线为丙角之 　　正又展戊丙线至庚使庚丙如乙 　　丙作庚辛线为丁钝角之正【如此则三邉皆若三正皆若股】其比例为以乙丙大邉【同庚丙】比乙丁次邉【同戊丙】若丁钝角之正庚辛与丙角之正戊己 　　又以乙丁次大邉【同戊丙】比丁丙小邉若丙角之正戊己与乙角之正丁甲 　　又以丁丙小邉比乙丙大邉【同庚丙】若乙小角之正丁甲与丁钝角之正庚辛 　　问庚辛何以为丁角正曰凡钝角以外角之正为正试作乙癸线为丁角正【乙丁癸角外角也故其正即为丁钝角正】必与庚辛等何也庚丙辛句股形与乙丙癸形等【庚丙既同乙丙又同用丙角辛与癸又同为方角故其形必等】则庚辛必等乙癸而乙癸既丁角正矣等乙癸之庚辛又安得不为丁角正乎【凡取正必齐其半径此以丁甲为乙角正是用乙丁为半径也而取丙角正戊己必引戊丙如乙丁其丁角正庚辛又即外角之正乙癸是三半径皆乙丁也】 　　试取壬丙如丁丙作庚壬线即同 　　乙丁半径则壬角同丁角壬外角 　　即丁外角而庚辛正之半径仍 　　为乙丁【庚壬同乙丁故】 　　此以庚壬当乙丁易乙丁丙形为 　　庚壬丙则庚辛正亦归本位与前图互明 　　试以各角正同居一象限较其弧度 　　如图甲乙丙形丙角最大其正乙丁亦最大所对甲乙邉亦最大甲角次大其正丑壬亦次大所对 　　乙丙邉亦次大乙角最小其正 　　丙夘亦小所对丙甲邉亦最小【丙乙 　　二角正并乙丙为半径甲角取正截丑甲如乙丙亦以乙丙为 　　半径】乃别作一象弧【如戊己】仍用乙丙 　　为半径【取戊庚如乙丙】而以先所得各角 　　之余取度于丁作乙丁为丙角 　　之正于壬作丑壬为甲角之正 　　于夘作丙夘为乙角之正即 　　如元度而各角之差数覩矣【戊庚半径既同乙丙则丁庚即丁丙而为丙角余又壬庚即甲壬为甲角余夘庚即夘乙为乙角余】 　　解曰角无大小以弧而知其大小今乙丁正其弧乙己是丙角最大也丑壬正其弧丑己是甲角次大也丙夘正其弧丙己是乙角最小也而对邉之大小亦如之故皆以正为比例也 　　或疑钝角之度益大其正反渐小而其所对之邉则渐大何以能相为比例乎曰此易知也凡钝角正即外角之正而外角度原兼有余两角之度故钝角之正必大于余两角而得为大邉之比例也如乙丙甲钝角形丙钝角最大其正乙丁亦最大而所对乙甲邉亦最大乙角次大其正丙夘亦次大而所对甲丙邉亦次大甲角最小其正丑壬亦小而所对乙丙邉亦最小【截甲丑如乙丙从丑作丑壬即甲角正】 　　乃从乙作乙庚弧【以丙为心乙丙为半径】为 　　丙外角之度又作辛丙半径与甲 　　乙平行分乙庚弧度为两则辛庚 　　即甲角之弧度其余辛乙亦即乙 　　角之弧度从辛作辛未正与丑 　　壬等又自庚截癸庚度如辛乙则 　　癸庚亦乙角之弧作癸子正与丙夘等此显丙外角之度兼有乙甲两角之度其正必大于两角正也虽丙钝角加大而外角加小则乙甲两角必又小于外角又何疑于钝角正必为大邉比例乎